专训四十三、垂径定理的应用-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

计算力专训四十三、垂径定理的应用

牛刀小试

1．（2021·杭州市实验外国语学校初三月考）如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ）

A． B． C． D．12

【答案】C

【解析】

【分析】

作OM⊥CD，连接OC，先求得半径和OP，根据等腰直角三角形的性质求得OM，再根据勾股定理求得CM，结合垂径定理即可求得CD，

【详解】

解：∵，，

∴AB=12，AO=6，

∴PO=2，

作OM⊥CD，连接OC，

∵，

∴∠AOM=45°，△MOP为等腰直角三角形，

∴，

在Rt△OCM中根据勾股定理

，

∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查勾股定理，垂径定理等．注意垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2．（2021·江苏江都·初三月考）如图，过点B、C，圆心O在等腰的内部，，，．则的半径为（    ）

A．5 B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

过O作OD⊥BC，由垂径定理可知BD=CD= BC，根据△ABC是等腰直角三角形可知∠ABC=45°，故△ABD也是等腰直角三角形，BD=AD，再由OA=1可求出OD的长，在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出OB的长．

【详解】

解：过O作OD⊥BC，

∵BC是⊙O的一条弦，且BC=8，

∴BD=CD= ，

∴OD垂直平分BC，又AB=AC，

∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O及D三点共线，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

∴△ABD也是等腰直角三角形，

∴AD=BD=4，

∵OA=1，

∴OD=AD-OA=4-1=3，

在Rt△OBD中，
OB= ．
故答案为A．

【点睛】

本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

3．（2021·无锡市东北塘中学月考）下列语句，错误的是（　　）

A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等

C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦

【答案】B

【解析】

【分析】

将每一句话进行分析和处理即可得出本题答案.

【详解】

A.直径是弦，正确.

B.∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,

∴相等的圆心角所对的弧相等，错误.

C.弦的垂直平分线一定经过圆心，正确.

D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦，正确.

故答案选：B.

【点睛】

本题考查了圆中弦、圆心角、弧度之间的关系，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.

4．（2021·江苏南京·文昌初级中学月考）如图为一半径为3m的圆形会议室区域，其中放有4个宽为1m的长方形会议桌，这些会议桌均有两个顶点在圆形边上，另两个顶点紧靠相邻桌子的顶点，则每个会议桌的长为_________．

【答案】

【解析】

【分析】

如解图所示，O为圆心，连接OA、OB，过点O作OC⊥BF于C，交AE于D，由题意可得OD⊥AE，AB=1m， OB=3m，△OAD为等腰直角三角形，根据垂径定理可得OD=AD=BC=AE，设OD=x，利用勾股定理列出方程即可求出x，从而求出结论．

【详解】

解：如下图所示，O为圆心，连接OA、OB，过点O作OC⊥BF于C，交AE于D

由题意可得OD⊥AE，AB=1m， OB=3m，△OAD为等腰直角三角形

∴OD=AD=BC=AE，CD=AB=1m

设OD=x，则AD=BC =x，OC=x＋1，AE=2x

∵OB2－OC2=BC2

∴32－（x＋1）2=x 2

解得：x=或（不符合实际，故舍去）

∴AE=

即每个会议桌的长为

故答案为：．

【点睛】

此题考查的是垂径定理、勾股定理、正方形的性质和矩形的性质，掌握垂径定理、勾股定理、正方形的性质和矩形的性质是解题关键．

5．（2021·常州市武进区遥观初级中学初三月考）如图，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，则CD=______．

【答案】2

【解析】

【分析】

根据垂径定理和勾股定理计算即可；

【详解】

∵OD⊥AB，OD过圆心O，

∴，

由勾股定理可得：

，

∴；

故答案是2．

【点睛】

本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．

熟能生巧

6．（2021·兰溪市实验中学初三月考）已知的半径为，弦，是上任意一点，则线段的最小值为_____．

【答案】4

【解析】

【分析】

由点到直线的距离，垂线段最短，连接作ON⊥AB，直接利用垂径定理得出AN的长，再结合勾股定理得出答案．

【详解】

解：连接 作ON⊥AB，

根据垂径定理，AN=AB=×6=3，

根据勾股定理，ON=，

即线段OM的最小值为：4．

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，垂径定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题关键．

7．（2021·北京市三帆中学初三月考）如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点．若，则的半径是_________．

【答案】

【解析】

【分析】

连接OA，根据垂径定理推论得出OC⊥AB，由勾股定理可得出OA的长．

【详解】

解：连接OA

∵C是AB的中点，OA=OB，AB=4

∴AC=AB=2，OC⊥AB，

∴OA2=OC2+AC2，

∵CD=1

∴OA2=（OA-1）2+22，
解得，OA=

故答案为：

【点睛】

题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理推论判断出OC垂直平分AB是解答此题的关键．

8．（2021·滨海县滨淮初级中学初三月考）如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，，垂足为，且，，则直径的长为__________．

【答案】10

【解析】

【分析】

连接OC，设圆的半径为r，则有OD=r-2，然后根据垂径定理及勾股定理进行求解即可．

【详解】

解：连接OC，如图：

设圆的半径为r，则有OD=r-2，

是⊙O的直径，，，，

∠ODC=90°，

在Rt△ODC中，

，即，

解得，

AB=2OC=10；

故答案为10．

【点睛】

本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理的联系是解题的关键．

9．（2021·浙江温州·初三月考）如图，是弦的中点，是上一点，与交于点，已知，．

（1）求线段的长．

（2）当时，求，的长．

【答案】（1）线段的长为；（2）ED，EO=

【解析】

【分析】

（1）连接OB，先根据垂径定理得出OD⊥BC，BD=BC，在Rt△BOD中，根据勾股定理即可得出结论；
（2）在Rt△EOD中，设BE=，则OE=，DE=，再根据勾股定理即可得出结论．

【详解】

解：（1）连接OB．

∵OD过圆心，且D是弦BC中点，
∴OD⊥BC，BD=BC，

在Rt△BOD中，OD2+BD2=BO2．
∵BO=AO=8，BD=6．
∴OD=；

（2）在Rt△EOD中，OD2+ED2=EO2．
设BE=，则OE=，DE=，

，

整理得：，

解得：(舍去)．

∴BE=4，ED=，EO=．

【点睛】

本题考查了垂径定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

10．（2021·杭州市实验外国语学校初三月考）如图，在中，是的直径，是的弦，的中点在直径上．已知，．

（1）求的半径；

（2）连接，过圆心向作垂线，垂足为，求的长．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）连接OA，根据AB=8cm，CD=2cm，C为AB的中点，设半径为r，由勾股定理即可求出r；

（2）先求出AE的长，根据垂径定理可知：OF⊥AE，FE=FA，再利用勾股定理即可求得OF的长．

【详解】

解：（1）连接，如图所示

∵为的中点，，

∴又∵

设的半径为，则

解得：

（2），

∴

∵OF⊥AE，∴FE=FA，

∴

∴．

【点睛】

本题主要考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是解答本题题的关键．

庖丁解牛

11．（2021·全国初三课时练习）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（　　）

A．17 B．18 C．19 D．20

【答案】C

【解析】

【分析】

连接OP，OQ，根据M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BC的中点，利用中位线定理得到OH+OI=（AC+BC）=13和PH+QI=6，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．

【详解】

连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，

∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，

∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，

∴H、I是AC、BC的中点，

∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，

∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，

∴PH+QI＝13﹣7＝6，

∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，

故选C．

【点睛】

本题考查了中位线定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，题目中还考查了垂径定理和轴对称的知识，有难度．