专题07 相似三角形判定在二次函数中的综合问题-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

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（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）直线AF⊥x轴，垂足为点F，AF上取一点G，使△GBA∽△AOD，求此时点G的坐标；
（3）过直线AF左侧的抛物线上点M作直线AB的垂线，垂足为点N，若∠BMN=∠OAF，求直线BM的函数表达式．
【答案】（1）y=x2-4x；（2，-4）；（2）G（2， -83）；（3）y=-13x-2或y=-3x+6．
【解析】（1）解：将原点O（0,0）、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），分别代入y=ax2+bx+c，
得 ，解得 ，
∴y=x2-4x= ，
∴顶点为（2，-4）.
（2）解：设直线AB为y=kx+b，
由点A（2，-4），B（3，-3），得
解得 ，
∴直线AB为y=x-6.
当y=0时，x=6，∴点D（6，0）.
∵点A（2，-4），D（6,0），B（3，-3），
∴OA= ，OD=6，AD= ，AF=4，OF=2，DF=4，AB= ，
∴DF=AF，又∵AF⊥x轴，
∴∠AD0=∠DAF=45°，
∵△GBA∽△AOD，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴FG=AF-AG=4- ，
∴点G（2， ）.
（3）解：如图1，
∵∠BMN=∠OAF， ，
∴∠MBN=∠AOF，
设直线BM与AF交于点H，
∵∠ABH=∠AOD，∠HAB=∠ADO，
∴
∴ ，
则 ，解得AH= ，
∴H（2， ）.
设直线BM为y=kx+b，∵将点B、G的坐标代入得 ，解得 ．
∴直线BM的解析式为y= ；
如图2，
BD=AD-AB= ．
∵∠BMN=∠OAF，∠GDB=∠ODA，
∴△HBD∽△AOD．
∴ ，即 ，解得DH=4．
∴点H的坐标为（2，0）．
设直线BM的解析式为y=kx+b．
∵将点B和点G的坐标代入得： ，解得k=-3，b=6．
∴直线BM的解析式为y=-3x+6．
综上所述，直线MB的解析式为y= 或y=-3x+6．
2、在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为.
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标.
【答案】(1) y=－x2－5x－6；(2)符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。
【思路引导】
(1)利用待定系数法进行求解即可得；
(2)由关于原点对称的点的坐标特征可知点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，利用待定系数法求得抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，根据PD⊥y轴，可得点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，可得PD＝m，OD＝m2－5m＋6，再由Rt△POD与Rt△AOB相似，分Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，根据相似三角形的性质分别进行求解即可得.
【解析】
(1)由题意，得，
解得：，
∴L：y=－x2－5x－6；
(2)∵抛物线L关于原点O对称的抛物线为，
∴点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，
∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6，
将A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5，
∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，
∵A(－3，0)，B(0，－6)，
∴AO＝3，OB＝6，
设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，
∵PD⊥y轴，
∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，
∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6，
∵Rt△PDO与Rt△AOB相似，
∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，
①当Rt△PDO∽Rt△AOB时，则，即，
解得m1＝1，m2＝6，
∴P1(1，2)，P2(6，12)；
②当Rt△ODP∽Rt△AOB时，则，即，
解得m3＝，m4＝4，
∴P3(，)，P4(4，2)，
∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，
∴符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).
【方法总结】
本题考查的是二次函数综合题，涉及了待定系数法、关于原点对称的抛物线的特点、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键.
3、如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线交二次函数图象的对称轴于点，若点C为的中点.

（1）求的值；
（2）若二次函数图象上有一点，使得，求点的坐标；
（3）对于（2）中的点，在二次函数图象上是否存在点，使得∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）或；（3）不存在，理由见解析.
【思路引导】
（1）设对称轴与轴交于点，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA的长，进而可得点A的坐标，再把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出m的值；
（2）设点Q的横坐标为n，当点在轴上方时，过点Q作QH⊥x轴于点H，利用可得关于n的方程，解方程即可求出n的值，进而可得点Q坐标；当点在轴下方时，注意到，所以点与点关于直线对称，由此可得点Q坐标；
（3）当点为x轴上方的点时，若存在点P，可先求出直线BQ的解析式，由BP⊥BQ可求得直线BP的解析式，然后联立直线BP和抛物线的解析式即可求出点P的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否成比例即可判断点P是否满足条件；当点Q取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可.
【解析】
解：（1）设抛物线的对称轴与轴交于点，如图1，∴轴，∴，
∵抛物线的对称轴是直线，∴OE=1，∴，∴
∴将点代入函数表达式得：，∴；
（2）设，
①点在轴上方时，，如图2，过点Q作QH⊥x轴于点H，∵，∴，解得：或（舍），∴；
②点在轴下方时，∵OA=1，OC=3，∴，∵，∴点与点关于直线对称，∴；
（3）①当点为时，若存在点P，使∽，则∠PBQ=∠COA=90°，
由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：，
联立方程组：，解得：，，∴，
∵，，
∴，∴不存在；

②当点为时，如图4，由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：，
联立方程组：，解得：，，∴，
∵，，
∴，∴不存在.
综上所述，不存在满足条件的点，使∽.
【方法总结】
本题考查了平行线分线段成比例定理、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数和两个函数的交点等知识，综合性强、具有相当的难度，熟练掌握上述知识、灵活应用分类和数形结合的数学思想是解题的关键.
4、如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，［a，b，c］称为“抛物线系数”．
（1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是______（填“真”或“假”）命题；
（2）若一条抛物线系数为［1，0，－2］，则其“抛物线三角形”的面积为________；
（3）若一条抛物线系数为［－1，2b，0］，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；
（4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OAB，如果存在，求出P点坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）假；（2）22；（3）y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x；（4）P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3）或（－1，1）．
【解析】（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；
（2）由题意得：y=x2-2，令y=0，得：x=±2，∴ S=12×22×2=22；
（3）依题意：y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；
当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．
∵y＝－x2＋2bx=-(x-b)2+b2，∴顶点为（b，b2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：b2=12×2b，∴b2=b，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，
∴y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x．
（4）①当抛物线为y＝－x2＋2x 时．
∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，
∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2＋2a），∴Q（（a，0），
则｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即a(a-2)=a-2．
∵a－2≠0，∴a=1，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1， －3）．
②当抛物线为y＝－x2－2x 时．
∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，
∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2－2a），∴Q（（a，0），
则｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即a(a+2)=a+2．
∵a+2≠0，∴a=1，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．
综上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．
5、如图1，一次函数y＝﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、D两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），若ABAD=23；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连结AC、BD，问在x轴上是否存在一个动点Q，使A、C、Q三点构成的三角形与△ABD相似．如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，且在直线AD下方，（点P不与点A、点D重合），过点P作y轴的平行线l与直线AD交于点M，点N在直线AD上，且满足△MPN∽△ABD，求△MPN面积的最大值．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）见解析;（3）△MPN的面积的最大值为:24364．
【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则D（3，0）；
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则A（3，0），
∵OD＝OA，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∴AD＝32，
∵ABAD=23，
∴AB＝2，
∴B（1，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把D（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣3）＝3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3；
（2）作CH⊥x轴，如图1，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴C（2，﹣1）
∴AH＝CH＝1，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴∠CAH＝45°，AC＝2，
∵△OAD为等腰直角三角形，
∴∠DAO＝45°，
∵∠CAQ＝∠DAB，
∴当AQAD=ACAB时，△AQC∽△ADB，即AQ32=22，解得AQ＝3，此时Q（0，0）；
当AQAB=ACAD时，△AQC∽△ABD，即AQ2=232，解得AQ＝23，此时Q（73，0）；
综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（73，0）；
（3）作PE⊥AD于E，如图2，
∵△MPN∽△ABD，
∴MNAD=MPAB，
∴MN＝322MP，
设P（x，x2﹣4x+3），则M（x，﹣x+3），
∴MP＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣32）2+94，
当x＝32时，MP有最大值94，
∴MN的最大值为322×94＝2728，
∵∠PME＝45°，
∴PE＝22PM，
∴PE的最大值为22×94＝928，
∴△MPN的面积的最大值为12×2728×928＝24364 ．
6、已知，抛物线（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；
（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使，求点P的坐标；
（4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．
【答案】（1），顶点D（1，4）；（2）证明见解析；（3）P（，）或（，）；（4）（0，0）或（9，0）或（0，﹣）．
【解析】
解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=1，点A（3，0），∴根据抛物线的对称性知点B的坐标为（﹣1，0），OA=3，将A（3，0），B（﹣1，0）代入抛物线解析式中得：，解得：，∴抛物线解析式为；当x=1时，y=4，∴顶点D（1，4）．
（2）当=0时，∴点C的坐标为（0，3），∴AC= =，CD==，AD= =，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，∴AD为△ACD外接圆的直径，∵点E在 轴C点的上方，且CE=，∴E（0，），∴AE= =，DE= =，∴DE2+AD2=AE2，∴△AED为直角三角形，∠ADE=90°，∴AD⊥DE，又∵AD为△ACD外接圆的直径，∴DE是△ACD外接圆的切线；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，根据题意得：，解得：，∴直线AC的解析式为y=﹣x+3，∵A（3，0），D（1，4），∴线段AD的中点N的坐标为（2，2），过点N作NP∥AC，交抛物线于点P，设直线NP的解析式为y=﹣x+c，则﹣2+c=2，解得：c=4，∴直线NP的解析式为y=﹣x+4，由y=﹣x+4，y=﹣x2+2x+3联立得：﹣x2+2x+3=﹣x+4，解得：x=或x=，∴y=，或y=，∴P（，）或（，）；
（4）分三种情况：①M恰好为原点，满足△CMB∽△ACD，M（0，0）；
②M在x轴正半轴上，△MCB∽△ACD，此时M（9，0）；
③M在y轴负半轴上，△CBM∽△ACD，此时M（0，﹣）；
综上所述，点M的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，﹣）．
7、如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】 (1) y＝－12x2＋52x－2;(2)点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).
【解析】解：(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，
∴可设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2.
将A(4，0)，B(1，0)代入，得16a+4b-2=0a+b-2=0，解得 a=-12b=52 ，
∴此抛物线的解析式为y＝－12x2＋52x－2.
(2)存在，
设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为－12m2＋52m－2，
当1＜m＜4时，AM＝4－m，PM＝－12m2＋52m－2.又∵∠COA＝∠PMA＝90°，
∴①当AMPM＝AOOC＝21时，△APM∽△ACO，即4－m＝2(－12m2＋52m－2)．
解得m1＝2，m2＝4(舍去)，∴P(2，1)．
②当AMPM＝OCOA＝12时，△APM∽△CAO，即2(4－m)＝－12m2＋52m－2.
解得m1＝4，m2＝5(均不合题意，舍去)，∴当1＜m＜4时，P(2，1)．
类似地可求出当m＞4时，P(5，－2)．
当m＜1时，P(－3，－14)或P(0，－2)，
综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).
8、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 抛物线的解析式为y=x2-2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值是，点P（，﹣）；(3) Q（4,1）或（-3，1）.
【解析】
解：(1)将A(0，1)，B(9，10)代入函数解析式得：
×81＋9b＋c＝10，c＝1，解得b＝−2，c＝1，
所以抛物线的解析式y＝x2−2x＋1；
(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，
∴x2−2x＋1＝1，解得x1＝6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(6，1)，
∵点A(0，1)，点B(9，10)，
∴直线AB的解析式为y＝x＋1，设P(m，m2−2m＋1)，∴E(m，m＋1)，
∴PE＝m＋1−(m2−2m＋1)＝−m2＋3m.
∵AC⊥PE，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC⋅EF＋AC⋅PF
＝AC⋅(EF＋PF)＝AC⋅EP
＝×6(−m2＋3m)＝−m2＋9m.
∵0