专题22 圆位置关系在二次函数中的综合问题-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

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专题22 圆位置关系在二次函数中的综合问题
1、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求面积的最大值；
（3）在（2）中面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）4；（3）存在，Q的坐标为或
【解析】
解：将、的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
则抛物线的解析式为：；
过点M作y轴的平行线，交直线BC于点K，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，
则直线BC的表达式为：，
设点M的坐标为，则点，
，
，有最大值，
当时，
最大值为4，
点M的坐标为；
如图所示，存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，切点为N，
过点M作直线平行于y轴，交直线AC于点H，

点M坐标为，设：点Q坐标为，
点A、C的坐标为、，，
轴，
，
，则，
将点A、C的坐标代入一次函数表达式：得：，
则直线AC的表达式为：，
则点，
在中，，，
，
解得：或，
即点Q的坐标为或．
2、如图1，对于平面内的点P和两条曲线L1、L2给出如下定义：若从点P任意引出一条射线分别与L1、L2交于Q1、Q2，总有PQ1PQ2是定值，我们称曲线L1与L2“曲似”，定值PQ1PQ2为“曲似比”，点P为“曲心”．
例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为r1、r2(都是常数)的两个同心圆C1、C2，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因为总有O'MO'N=r1r是定值，所以同心圆C1与C2曲似，曲似比为r1r2，“曲心”为O'．
(1)在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与抛物线y=x2、y=12x2分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使⊙O与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
(3)在(1)、(2)的条件下，若将“y=12x2”改为“y=1mx2”，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．

【答案】（1）两抛物线曲似，理由详见解析；（2）存在k值，使⊙O与直线BC相切，k=±3；（3）m>1，k2=m2-1．
【解析】
(1)是，
过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C，

依题意可得A(k,k2)、B(2k,2k2)，
因此D(k,0)、C(2k,0)，
∵AD⊥x轴、BC⊥x轴，
∴AD//BC，
∴OAOB=ODOC=k2k=12，
∴两抛物线曲似，曲似比为12；
(2)假设存在k值，使⊙O与直线BC相切，
则OA=OC=2k，
又∵OD=k、AD=k2，并且OD2+AD2=OA2，
∴k2+(k2)2=(2k)2，
解得：k=3(负值舍去)，
由对称性可取k=-3，
综上，k=±3；
(3)根据题意得A(k,k2)、B(mk,mk2)，
因此D(k,0)、C(mk,0)，
∵⊙O与直线BC相切，
∴OA=OC=mk，
由OA>OD可得mk>k，
则m>1，
由OD=k、AD=k2，并且OD2+AD2=OA2，
∴k2+(k2)2=(mk)2，[来源:Z#xx#k.Com]
整理，得：k2=m2-1．
3、已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于两点（在的左侧），且点坐标为．平行于轴的直线过点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段AB为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；
（3）把二次函数的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 t 个单位（t＞0），二次函数的图象与x 轴交于 M，N 两点，一次函数图象交y 轴于 F 点．当 t 为何值时，过 F，M，N 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？
【答案】（1）一次函数的解析式为；二次函数解析式为．
（2）相切，证明见解析
（3）当时，过三点的圆面积最小，最小面积为．
【解析】
把代入得
一次函数的解析式为
二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴，
二次函数的解析式为,将代入解析式得
二次函数的解析式为
由解得或，，取的中点，
过作直线的垂线,垂足为,则
，而直径

，即圓心到直线的距离等于半径，
以为直径的圆与直线相切.

平移后二次函数的解析式为,
令得
过三点的國的圆心一定在平移后抛物线的对称轴.上,要使圓面积最小,圆半径应等于点到直线2的距离,点坐标为.
此时,半径为,面积为
设圆心为的中点为,连接,则，
在三角形中，
，而
当时，过三点的圓面积最小,最小面积为.
4、如图1，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的函数关系式；
②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；
③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．

【答案】（1）（1，﹣4a）；（2）①y=﹣x2+2x+3；②M（，）、N（，）；③点Q的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
【思路引导】
（1）将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D的坐标．
（2）①以AD为直径的圆经过点C，即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出△ACD是个直角三角形，且∠ACD＝90°，A点坐标可得，而C、D的坐标可由a表达出来，在得出AC、CD、AD的长度表达式后，依据勾股定理列等式即可求出a的值．
②将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，说明了PM正好和x轴平行，且PM＝OB＝1，所以求M、N的坐标关键是求出点M的坐标；首先根据①的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：BF＝2MF作为等量关系进行解答即可．
③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，由C、D两点的坐标不难判断出∠CDQ＝45°，那么△QGD为等腰直角三角形，即QD ²＝2QG ²＝2QB ²，设出点Q的坐标，然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长，根据上面的等式列方程即可求出点Q的坐标．
【解析】
（1）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，
∴D（1，﹣4a）．
（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；
由y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），则：
AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4
由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，
化简，得：a2=1，由a＜0，得：a=﹣1，
②∵a=﹣1，
∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3，D（1，4）．
∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，
∴PM∥x轴，且PM=OB=1；
设M（x，﹣x2+2x+3），则OF=x，MF=﹣x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；
∵BF=2MF，
∴x+1=2（﹣x2+2x+3），化简，得：2x2﹣3x﹣5=0
解得：x1=﹣1（舍去）、x2=.
∴M（，）、N（，）．
③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如下图：

∵C（0，3）、D（1，4），[来源:学科网ZXXK]
∴CH=DH=1，即△CHD是等腰直角三角形，
∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD2=2QG2；
设Q（1，b），则QD=4﹣b，QG2=QB2=b2+4；
得：（4﹣b）2=2（b2+4），
化简，得：b2+8b﹣8=0，解得：b=﹣4±2；
即点Q的坐标为（1，）或（1，）．
【方法总结】
此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点；后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD和⊙Q半径间的数量关系是解题题目的关键．
5、抛物线y＝﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y＝t(t＜)上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．
(1)点A，B，D的坐标分别为　 　，　 　，　 　；
(2)如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内(含边界)时，求t的取值范围；
(3)如图②，当t＝0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（，0）；B（3，0）；D（，）；（2）≤t≤；（3）存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．
【解析】
解：（1）当y=0时，﹣x2+x﹣1=0，
解得x1=,x2=3,
∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3,0），
∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x-）2+,
∴点D的坐标为（，）；
（2）∵点E、点D关于直线y=t对称，
∴点E的坐标为（，2t﹣）．
当x=0时，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，
∴点C的坐标为（0，﹣1）．
设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，
将B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，
，解得：，
∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．
∵点E在△ABC内（含边界），
∴，
解得：≤t≤．
（3）当x＜或x＞3时，y=﹣x2+x﹣1；

当≤x≤3时，y=﹣x2+x﹣1．
假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m．
①当m＜或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣x2+x﹣1）（如图1），
∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，
∴CP⊥PQ，

∴CQ2=CP2+PQ2，
即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，
整理，得：m1=，m2=，
∴点P的坐标为（，0）或（，0）；
②当≤m≤3时，点Q的坐标为（m,x2-x +1）（如图2），
∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，
∴CP⊥PQ，
∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，
整理，得：11m2﹣28m+12=0，
解得：m3=，m4=2，
∴点P的坐标为（，0）或（1，0）．
综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．
6、如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点（0，5），且过点（﹣3，），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：

（应用）问题1，如图2，线段AB＝d（定值），将其弯折成互相垂直的两段AC、CB后，设A、B两点的距离为x，由A、B、C三点组成图形面积为S，且S与x的函数关系如图所示（抛物线y＝ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上）：
（1）填空：线段AB的长度d＝　 　；弯折后A、B两点的距离x的取值范围是　 　；若S＝3，则是否存在点C，将AB分成两段（填“能”或“不能”）　 　；若面积S＝1.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是　 　；
（2）填空：在如图1中，以原点O为圆心，A、B两点的距离x为半径的⊙O；画出点C分AB所得两段AC与CB的函数图象（线段）；设圆心O到该函数图象的距离为h，则h＝　 　，该函数图象与⊙O的位置关系是　 　．
（提升）问题2，一个直角三角形斜边长为c（定值），设其面积为S，周长为x，证明S是x的二次函数，求该函数关系式，并求x的取值范围和相应S的取值范围．
【答案】抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5；（1）20＜x＜2，不能，+和﹣；（2），相离或相切或相交；（3）相应S的取值范围为S＞c2．
【解析】
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点（0，5），
∴y＝ax2+5，
将点（﹣3，）代入，
得＝a×（﹣3）2+5，
∴a＝ ，
∴抛物线的解析式为：y＝ ；
（1）∵S与x的函数关系如图所示（抛物线y＝ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上），
在y＝，当y＝0时，x1＝2，x2＝﹣2，
∴M（2，0），
即当x＝2时，S＝0，
∴d的值为2；
∴弯折后A、B两点的距离x的取值范围是0＜x＜2；
当S＝3 时，设AC＝a，则BC＝2﹣a，[来源:学科网]
∴a（2﹣a）＝3，
整理，得a2﹣2a+6＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝﹣4＜0，
∴方程无实数根；
当S＝1.5时，设AC＝a，则BC＝2﹣a，
∴a（2﹣a）＝1.5，
整理，得a2﹣2a+3＝0，
解得，
∴当a＝时，2﹣a＝，
当a＝时，2﹣a＝，
∴若面积S＝1.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是和；
故答案为：2，0＜x＜2，不能，和；
（2）设AC＝y，CB＝x，
则y＝﹣x+2，如图1所示的线段PM，
则P（0，2），M（2，0），
∴△OPM为等腰直角三角形，
∴PM＝OP＝2，
过点O作OH⊥PM于点H，
则OH＝PM＝，
∴当0＜x＜时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相离；
当x＝时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相切；
当＜x＜2时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相交；
故答案为：，相离或相切或相交；
（3）设直角三角形的两直角边长分别为a，b，
则 ，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴（x﹣c）2＝c2+2ab，
∴，
即S＝，
∴x的取值范围为：x＞c，
则相应S的取值范围为S＞．

7、如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；
（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；
（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．

【答案】（1）抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1；（2）MN=t2+2；（3）t的值为1或0；（4）满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（35，195）、（45，125）
【解析】（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），
∴1=4a-2b-1-1=a-b-1，解得：a=1b=1，
∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1；
（2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M，
∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1，
∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2；
（3）共分两种情况
①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1），
∴AN=t﹣（﹣2）=t+2，
∵MN=t2+2，
∴t2+2=t+2，
∴t1=0（舍去），t2=1，
∴t=1；
②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1），
∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，
∵MN=t2+2，
∴t2+2=t+2，
∴t1=0，t2=1（舍去），
∴t=0，
故t的值为1或0；
（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：

易得K（0，3），B、O、N三点共线，
∵A（﹣2，1），N（1，1），P（0，﹣1），
∴点K、P关于直线AN对称，
设⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2），
∴Q2与点O关于直线AN对称，
∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP，
则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1、Q2关于KN的对称点Q3、Q4也满足∠KNQ=∠BNP，
由图形易得Q1（﹣1，3），
设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=22，
由∵⊙K半径为1，
∴a-12+b-12=222a2+b-32=12，解得：a1=35b1=195，a2=-1b2=3，[来源:学科网]
同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=2，
∴a-12+b-12=22a2+b-32=12，解得：a3=45b3=125，a4=0b4=2，
∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（35，195）、（45，125）.
8、如图，直线与抛物线交于、两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与直线交于点．

（1）当四边形是菱形时，求点的坐标；
（2）若点为直线上一动点，求的面积；
（3）作点关于直线的对称点，以点为圆心，为半径作，点是上一动点，求的最小值．
【答案】（1）；（2）3；（3）
【解析】
(1) ，， 菱形


(2)①与抛物线交于两点，
∴联立，，
解得，
∵点在点的左侧
，

∴直线的解析式为，直线的解析式为
，两直线之间距离


(3) ，
，
由点坐标，点坐标可知以为半径的圆的半径为
取的中点，连接，
则，
，，
，
，

由三角形三边关系，当三点共线时最小，
∵直线的解析式为，
∴直线与对称轴夹角为45°，
∵点关于对称轴对称，
，
由勾股定理得，最小值
故答案为：.
9、如图，已知以E(3，0)为圆心，5为半径的☉E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A，B，C三点，顶点为F.
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标；
(3)已知M为抛物线上的一动点(不与C点重合)，试探究：①若以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；
②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与☉E的位置关系，并说明理由.

【答案】（1）A(-2，0)，B(8，0)，C(0，-4)；（2）抛物线的解析式为y=14x2-32x-4，F3，-254；(3)①所点M的坐标为(6，-4)，(41+3，4)，(-41+3，4)；②若M点位于第四象限，则M点即为M1点，此时直线MF和☉E相切，理由见解析.
【解析】
(1)由题图可得点A的横坐标为3-5=-2，点B的横坐标为3+5=8，
连接CE，则CE=5，又OE=3，
∴OC=CE2-OE2=4，
∴A(-2，0)，B(8，0)，C(0，-4).
(2)把(-2，0)，(8，0)，(0，-4)代入y=ax2+bx+c，得.
4a-2b+c=0，64a+8b+c=0，c=-4，解得a=14，b=-32，c=-4.
∴抛物线的解析式为y=14x2-32x-4.
∵EF∥y轴，∴点F的横坐标为3.
把x=3代入y=14x2-32x-4，得y=- 254，
∴F3，-254.
(3)①如图所示，连接AC，BM1，BC，
易知S△ABM1=S△ABC，△ABM1与△ABC同底等高，
点C与点M1关于直线x=3对称，
M1(6，-4).
把y=4代入y=14x2-32x-4，得14x2-32x-4=4，
解得x1=41+3，x2=-41+3，
∴M2(41+3，4)，M3(-41+3，4).
∴所有符合条件的点M的坐标为(6，-4)，(41+3，4)，(-41+3，4).
②若M点位于第四象限，则M点即为M1点，此时直线MF和☉E相切.
理由如下：M1(6，-4)，圆心E(3，0)，点F3，-254，
连接M1E.
利用勾股定理得M1E=5，M1F=154，又EF=254，
∴M1E2+M1F2=EF2，即∠FM1E=90°，
∴M1E⊥M1F.
∵M1E是☉E的半径，
∴直线M1F和☉E相切，
即当M点位于第四象限时，直线MF与☉E相切.
10、若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称次抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．
（1）若“路线”l的表达式为y=2x﹣4，它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，求“带线”L的表达式；
（2）如果抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系，求m，n的值；
（3）设（2）中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A．已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标．

【答案】（1）“带线”L的表达式为y=2x2+4x﹣4；（2）m=2，n=﹣2；（3）点P的坐标为（，）．
【解析】
（（1）∵“带线”L的顶点横坐标是﹣1，且它的“路线”l的表达式为y=2x﹣4
∴y=2×（﹣1）﹣4=﹣6，
∴“带线”L的顶点坐标为（﹣1，﹣6）．
设L的表达式为y=a（x+1）2﹣6，
∵“路线”y=2x﹣4与y轴的交点坐标为（0，﹣4）
∴“带线”L也经过点（0，﹣4），将（0，﹣4）代入L的表达式，解得a=2
∴“带线”L的表达式为 y=2（x+1）2﹣6=2x2+4x﹣4；
（2）∵直线y=nx+1与y轴的交点坐标为（0，1），
∴抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与y轴的交点坐标也为（0，1），解得m=2，
∴抛物线表达式为y=2x2﹣4x+1，其顶点坐标为（1，﹣1）
∴直线y=nx+1经过点（1，﹣1），解得n=﹣2；
（3）如图，设“带线L”的顶点为B，则点B坐标为（1，﹣1），过点B作BC⊥y轴于点C，
∴∠BCA=90°，
又∵点A 坐标为（0，1），
∴AO=1，BC=1，AC=2．
∵“路线”l是经过点A、B的直线
且⊙P与“路线”l相切于点A，连接PA交 x轴于点D，
∴PA⊥AB，
∴∠DAB=∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
又∵∠DAO+∠BAC=90°，
∴∠ADO=∠BAC，
∴Rt△AOD≌Rt△BCA，
∴OD=AC=2，
∴D点坐标为（﹣2，0）
∴经过点D、A的直线表达式为y=x+1，
∵点P为直线y=x+1与抛物线L：y=2x2﹣4x+1的交点，
解方程组： 得 ：（即点A舍去）， ，
∴点P的坐标为．

11、如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．
（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；
（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）(1.5，0) (-1，0)（2）；（3）存在，.
【解析】
解：（1）∵对称轴x=，[来源:Zxxk.Com]
∴点E坐标（，0），
令y=0，则有ax2﹣3ax﹣4a=0，
∴x=﹣1或4，
∴点A坐标（﹣1，0）．
故答案分别为（，0），（﹣1，0）．
（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，

∵DE=OE=，EB=，OC=﹣4a，
∴DB=，
∵tan∠OBC=，
∴，解得a=，
∴抛物线解析式为y=．
（3）如图②中，由题意∠M′CN=∠NCB，

∵MN∥OM′，
∴∠M′CN=∠CNM，
∴MN=CM，
∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），
∴ 直线BC解析式为y=﹣x+3，BC=5，
∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，
∵sin∠BCO=，
∴，
∴CM=m，
①当N在直线BC上方时，﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=m，
解得：m=或0（舍弃），
∴Q1（，0）．
②当N在直线BC下方时，（﹣m+3）﹣（﹣m2+m+3）=m，
解得m=或0（舍弃），
∴Q2（，0），
综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．