专题08 圆内接四边形在圆中的应用-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

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推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
1、将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB(其中∠ABD＝90°，∠D＝60°，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°)如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD相交于点E，分别连结EB，EC.
(1)求证：EC平分∠AEB；
(2)求eq \f(S△ACE,S△BEC)的值．
解：(1)证明：∵ ∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴ △ACB是等腰直角三角形，∴ AC＝BC，
∴ ∠AEC＝∠BEC，∴ EC平分∠AEB；
答图
(2)如答图，作CM⊥AE，CN⊥BE，垂足分别为点M，点N，
∵ ∠ACB＝90°，∴ AB是直径，
∴ ∠AEB＝90°，即EB⊥AD，
在Rt△ADB中，∠ABD＝90°，∠D＝60°，
∴ ∠DAB＝30°，
在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠DAB＝30°，
∴EB＝eq \f(\r(3),3)AE，
∵ EC平分∠AEB，CM⊥EA，CN⊥EB，∴ CM＝CN，
∴eq \f(S△ACE,S△BEC)＝eq \f(\f(1,2)AE·MC,\f(1,2)BE·CN)＝eq \f(AE,BE)＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3).
2、如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB＝BD，BM⊥AC于M，求证：AM＝DC＋CM.
【思路生成】首先在MA上截取ME＝MC，连结BE，由BM⊥AC，根据垂直平分线的性质，即可得到BE＝BC，得到∠BEC＝∠BCE；再由AB＝BD，得到∠ADB＝∠BAD，而∠ADB＝∠BCE，则∠BEC＝∠BAD，根据圆内接四边形的性质得∠BCD＋∠BAD＝180°，易得∠BEA＝∠BCD，从而可证出△ABE≌△DBC，得到AE＝CD，即有AM＝DC＋CM.
答图
证明：如答图，在MA上截取ME＝MC，连结BE，
∵BM⊥AC，∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵AB＝BD，∴eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，
∴∠ADB＝∠BAD，而∠ADB＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BAD，又∵∠BCD＋∠BAD＝180°，∠BEA＋∠BEC＝180°，
∴∠BEA＝∠BCD，∵∠BAE＝∠BDC，
∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC，
∴AM＝AE＋EM＝DC＋CM.
3、在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片,则这个正方形纸片的边长应为 .
答案52
解析如图所示,连接OB、OC,过O作OE⊥BC,设此正方形的边长为a.
∵OE⊥BC,
∴OE=BE=a2.
即a=52.
4、如图，⊙O的内接四边形ABMC中，AB>AC，M是eq \(BC,\s\up8(︵))的中点，MH⊥AB于H，求证：BH＝eq \f(1,2)(AB－AC)．
证明：如答图，作MD⊥AC，交AC的延长线于D，
∵M是eq \(BC,\s\up8(︵))的中点，∴BM＝CM，∠BAM＝∠CAM，
∵MH⊥AB，MD⊥AC，∴HM＝DM，AH＝AD，
∵四边形ABMC内接于⊙O，∴∠B＋∠ACM＝180°，
∵∠MCD＋∠ACM＝180°，∴∠B＝∠MCD，
在△BHM和△CDM中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠B＝∠MCD，,∠MHB＝∠MDC，,MH＝MD，))
∴△BHM≌△CDM(AAS)，∴CD＝BH，
∴AB－AC＝2BH，∴BH＝eq \f(1,2)(AB－AC)．
5、如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为( D )
A.eq \f(3\r(2),2) B.eq \f(\r(6),2) C.eq \f(3,2) D.eq \f(2\r(3),3)
【解析】 如答图，连结BD，OD，作OE⊥AD于点E，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD＝120°，
答图
∴∠BAD＝60°，
∵AD＝AB＝2，∴△ABD是等边三角形．∵OE⊥AD，
∴DE＝eq \f(1,2)AD＝1，∠ODE＝eq \f(1,2)∠ADB＝30°，
∴OD＝eq \f(2\r(3),3).
6、如图，四边形OABC中，OA＝OB＝OC，∠2是∠1的4倍，那么∠4是∠3的__4__倍．
【解析】 如答图，∵四边形OABC中，OA＝OB＝OC，
∴A，B，C在以O为圆心，以OA为半径的圆上，
∵∠2＝4∠1，∠4＝eq \f(1,2)∠2，∠3＝eq \f(1,2)∠1，∴∠4＝4∠3.
7、如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC，BD交于点E，延长DA，CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE.
求证：
(1)AB＝AF；
(2)A为△BEF的外心(即△BEF外接圆的圆心)．
证明：(1)∠ABF＝∠ADC＝120°－∠ACD＝120°－∠DEC＝120°－(60°＋∠ADE)＝60°－∠ADE，
∵∠F＝60°－∠ACF，∠ACF＝∠ADE，
∴∠ABF＝∠F，∴AB＝AF；
(2)∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ABD＝∠ACD，
又∵DE＝DC，∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，
∴∠ABD＝∠AEB，
∴AB＝AE.
∵AB＝AF，
∴AB＝AF＝AE，即A是三角形BEF的外心．
8、如图，在边长为1的正方形ABCD的边AB上任取一点E(A，B两点除外)，过E，B，C三点的圆与BD相交于点H，与正方形ABCD的外角平分线相交于点F，与CD相交于点G.
(1)求证：四边形EFCH是正方形；
(2)设BE＝x，△CGH的面积是y，求y与x的函数关系式，并求y的最大值．
解：(1)证明：∵E，B，C，H，F在同一圆上，且∠EBC＝90°，
∴∠EHC＝90°，∠EFC＝90°.
又∵∠FBC＝∠HBC＝45°，∴ CF＝CH.
∵∠HBF＋∠HCF＝180°，
∴∠HCF＝90°.
∴ 四边形EFCH是正方形；
(2)∵∠GHB＋∠GCB＝180°，
∴∠GHB＝90°，由(1)知∠CHE＝90°，
∴∠CHG＋∠CHB＝∠EHB＋∠CHB.
∴∠CHG＝∠EHB.
∴CG＝BE＝x，∴DG＝DC－CG＝1－x.
∴△CGH中，CG边上的高为eq \f(1,2)DG＝eq \f(1,2)(1－x)．
∴y＝eq \f(1,2)x·eq \f(1,2)(1－x)＝－eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,16).
当x＝eq \f(1,2)时，y有最大值eq \f(1,16).