专题17 二次函数中的动点有关的综合问题-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

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专题17 二次函数中的动点有关的综合问题
1、如图①，已知抛物线y＝ax2﹣4amx+3am2（a、m为参数，且a＞0，m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．
（1）求点B的坐标（结果可以含参数m）；
（2）连接CA、CB，若C（0，3m），求tan∠ACB的值；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l：x＝2，点P是抛物线上的一个动点，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）B（3m，0）；（2）tan∠ACB＝；
（3）点P的坐标是：（）或（）或（）或（）．
【解析】
解：（1）令y＝0，则有ax2﹣4amx+3am2＝0，
解得：x1＝m，x2＝3m，
∵m＞0，A在B的左边，
∴B（3m，0）；
（2）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，

由（1）可知B（3m，0），则△BOC为等腰直角三角形，
∵OC＝OB＝3m，
∴BC＝3m，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝2m，
∴m，CD＝2m，
∴tan∠ACB＝；
（3）∵由题意知x＝2为对称轴，
∴2m＝2，
即m＝1，
∵在（2）的条件下有（0，3m），
∴3m＝3am2，
解得m＝，即a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，
①当P在对称轴的左边，如图2，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，
易得△OMP≌△PNF，
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m＝或，
∴P的坐标为（，）或（）；
②当P在对称轴的右边，
如图3，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：x＝或；
P的坐标为（）或（）；
综上所述，点P的坐标是：（）或（）或（）或（）．
2、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x-ax-4a