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高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.3 函数的最值课时练习
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这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.3 函数的最值课时练习，共7页。试卷主要包含了函数f=lnxx的最大值为等内容，欢迎下载使用。
2.6.3 函数的最值
1.函数f(x)=lnxx的最大值为( )
A.1e B.e C.e2 D.103
【答案】A
【解析】令f'(x)=(lnx)'x-lnx·x'x2=1-lnxx2=0，解得x=e.当x>e时，f'(x)<0;当00.f(x)的极大值为f(e)=1e，且函数在定义域内只有一个极值，所以f(x)max=1e.
2.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f'(x)
C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)
【答案】A
【解析】令F(x)=f(x)-g(x)，∵f'(x)
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max=F(a)=f(a)-g(a).
3.已知函数f(x)=ex-x+a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(-1，+∞) B.(-∞，-1)
C.[-1，+∞) D.(-∞，-1]
【答案】A
【解析】f'(x)=ex-1，令f'(x)>0，解得x>0，令f'(x)<0，解得x<0，
故f(x)在(-∞，0)内单调递减，在(0，+∞)内单调递增，故f(x)min=f(0)=1+a.
若f(x)>0恒成立，则1+a>0，解得a>-1，故选A.
4.函数f(x)=-x3+3x在区间(a2-12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A.(-1，11) B.(-1，2)
C.(-1，2] D.(1，4)
【答案】C
【解析】由题意知f'(x)=3-3x2，
令f'(x)>0，解得-1
由此知函数在(-∞，-1)内单调递减，在(-1，1)内单调递增，在(1，+∞)内单调递减，
∴函数f(x)在x=-1处取得极小值-2.
由题意知，-1∈(a2-12，a)，即a2-12<-1
【答案】2 -2
【解析】f'(x)=4(x2+1)-4x×2x(x2+1)2
=4(1-x2)(x2+1)2=4(1+x)(1-x)(x2+1)2，
令f'(x)=0，得x1=-1，x2=1，
且f(-2)=-85，f(-1)=-2，f(1)=2，f(2)=85，
∴f(x)max=2，f(x)min=-2.
6.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是 .
【答案】(-∞，2ln 2-2]
【解析】由题意知方程ex-2x+a=0有根，
即方程a=2x-ex有根，
设g(x)=2x-ex，
则令g'(x)=2-ex=0，解得x=ln 2.
∴g(x)在(-∞，ln 2)内单调递增，
在(ln 2，+∞)内单调递减，
∴g(x)max=2ln 2-eln 2=2ln 2-2，
∴a≤2ln 2-2.
7.已知函数f(x)=aln x-bx2，a，b∈R，且曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-12相切.
(1)求a，b的值;
(2)求f(x)在1e，e上的最大值.
解(1)f'(x)=ax-2bx，x>0.
由曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-12相切，得f'(1)=0,f(1)=-12,即a-2b=0,-b=-12,解得a=1,b=12.
(2)由(1)，得f(x)=ln x-12x2，定义域为(0，+∞).
f'(x)=1x-x=1-x2x.
令f'(x)>0，得01，
所以f(x)在1e，1上单调递增，在(1，e]上单调递减，
所以f(x)在1e，e上的最大值为f(1)=-12.
8.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是( )
①f(x)>0的解集是{x|0
③f(x)没有最小值，也没有最大值;
④f(x)有最大值，无最小值.
A.①③ B.①②③
C.② D.①②④
【答案】D
【解析】由f(x)>0，可得(2x-x2)ex>0，∵ex>0，
∴2x-x2>0，∴02或x<-2，由f'(x)>0，得-2
A.-1 B.0 C.1 D.e
【答案】C
【解析】令f(x)=ln x-x+3，则f'(x)=1x-1=1-xx，
∴f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，+∞)内单调递减，
∴f(x)max=f(1)=ln 1-1+3=2，
令g(y)=ey+e-y，则ey+e-y≥2，当且仅当y=0时取等号，
又ey+e-y≤2，∴ln x-x+3=ey+e-y=2，
∴x=1，y=0，x+y=1.
故选C.
10.当x>1时，函数y=(ln x)2+aln x+1的图象在直线y=x的下方，则实数a的取值范围是( )
A.(-∞，e) B.-∞，e2-52
C.-∞，4e-52 D.(-∞，e-2)
【答案】D
【解析】由题意得(ln x)2+aln x+11)，
由x>1，得ln x>0，
故a
令t(x)=1+ln x-x(x>1)，则t'(x)=1-xx<0，
故t(x)在(1，+∞)内单调递减，
故t(x)
故a
11.函数f(x)=x-ln x与g(x)=xex-ln x-x的最小值分别为a，b，则( )
A.a=b B.a>b
C.a 【答案】A
【解析】f(x)的定义域是(0，+∞)，
f'(x)=1-1x=x-1x，
令f'(x)<0，解得0
∴f(x)在(0，1)内单调递减，在(1，+∞)内单调递增，
∴f(x)的最小值是f(1)=1，故a=1.
g(x)=xex-ln x-x，定义域(0，+∞)，
g'(x)=(x+1)ex-1x-1=x+1x(xex-1)，
令h(x)=xex-1，则h'(x)=(x+1)ex，
∴h(x)在(0，+∞)内单调递增，且h(0)<0，h(1)>0，
故存在x0∈(0，1)使得h(x)=0，即x0ex0=1，即x0+ln x0=0，
当x∈(0，x0)时，h(x)<0，g'(x)<0，函数g(x)单调递减，
当x∈(x0，+∞)时，h(x)>0，g'(x)>0，函数g(x)单调递增，
故当x=x0时，函数g(x)取得最小值g(x0)=x0ex0-ln x0-x0=1-ln x0-x0=1，即b=1，
∴a=b.
12.设直线x=t与函数f(x)=x2，g(x)=ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时，t的值为( )
A.1 B.12 C.52 D.22
【答案】D
【解析】当x=t时，|MN|=|f(t)-g(t)|=|t2-ln t|(t>0).
令φ(t)=t2-ln t(t>0)，
所以φ'(t)=2t-1t=2t2-1t.
所以当t∈0,22时，φ(t)单调递减;
当t∈22,+∞时，φ(t)单调递增.
所以当t=22时，φ(x)min=12+12ln 2>0，
即|MN|min=φ(x)min.
故|MN|取最小值时t=22.
13.已知a≤4x3+4x2+1对任意x∈[-2，1]都成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】(-∞，-15]
【解析】设f(x)=4x3+4x2+1，x∈[-2，1]，则f'(x)=12x2+8x，令f'(x)=0，得x=0或x=-23.所以在区间-2，-23上，f'(x)>0，f(x)为增函数，在区间-23，0上，f'(x)<0，f(x)为减函数，在区间(0，1)上，f'(x)>0，f(x)为增函数，因此在闭区间[-2，1]上，函数f(x)在x=-23处取得极大值f-23，在x=0时函数取得极小值f(0)，且f(0)=1，f(1)=9，f(-2)=-15，所以f(-2)=-15是最小值，所以实数a≤-15.
14.已知函数f(x)=aexx，x∈[1，3]，且∀x1，x2∈[1，3]，x1≠x2，f(x1)-f(x2)x1-x2<2恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】-∞，9e3
【解析】设x1>x2，f(x1)-f(x2)x1-x2<2可化为f(x1)-2x1
∴g'(x)=aex(x-1)x2-2≤0在x∈[1，3]上恒成立，
即a≤2x2ex(x-1)在x∈(1，3]内恒成立，
令h(x)=2x2ex(x-1)，x∈(1，3]，
则h'(x)=-2x[(x-1)2+1]ex(x-1)2<0在x∈(1，3]内恒成立，∴函数h(x)在x∈(1，3]内单调递减，∴a≤h(3)=9e3.则实数a的取值范围是-∞，9e3.
15.已知函数f(x)=xln x.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若对任意x≥1都有f(x)≥ax-1，求实数a的取值范围.
解(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=1+ln x，
令f'(x)>0，解得x>1e，令f'(x)<0，解得0
(2)依题意知，f(x)≥ax-1在[1，+∞)上恒成立，
即不等式a≤ln x+1x对于x∈[1，+∞)恒成立.
令g(x)=ln x+1x，则g'(x)=1x−1x2=x-1x2，
当x>1时，g'(x)>0，故g(x)在(1，+∞)内单调递增，所以g(x)的最小值是g(1)=1.
因此a≤g(x)min=g(1)=1，故a的取值范围为(-∞，1].
16.已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a，b，c∈R)，
(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值，试求a，b的值;
(2)在(1)的条件下，当x∈[-2，6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围.
解(1)f'(x)=3x2-2ax+b，
∵函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值，
∴-1，3是方程3x2-2ax+b=0的两根.
∴-1+3=2a3,-1×3=b3,∴a=3,b=-9.
(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c，
f'(x)=3x2-6x-9.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
x
-2
(-2，-1)
-1
(-1，3)
3
(3，6)
6
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
c-2
↗
极大值
c+5
↘
极小值
c-27
↗
c+54
而f(-2)=c-2，f(6)=c+54，
∴当x∈[-2，6]时，f(x)的最大值为c+54，
要使f(x)<2|c|恒成立，只要c+54<2|c|即可，当c≥0时，c+54<2c，
∴c>54;
当c<0时，c+54<-2c，
∴c<-18，
∴c∈(-∞，-18)∪(54，+∞).
故c的取值范围为(-∞，-18)∪(54，+∞).
17.设函数y=f(x)在(a，b)上的导函数为f'(x)，f'(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”.已知当m≤2时，f(x)=16x3-12mx2+2x+2在(-1，2)上是“凸函数”，则f(x)在(-1，2)上( )
A.既没有最大值，也没有最小值
B.既有最大值，也有最小值
C.有最大值，没有最小值
D.没有最大值，有最小值
【答案】A
【解析】f'(x)=12x2-mx+2，f″(x)=x-m;
∵函数f(x)在(-1，2)上是“凸函数”，
∴f″(x)=x-m<0在(-1，2)上恒成立，
∴m>x在(-1，2)上恒成立，
∴m≥2，又m≤2，∴m=2.
∴f'(x)=12x2-2x+2=12(x-2)2>0，所以f(x)在(-1，2)内单调递增，所以该函数在该区间上既没有最大值，也没有最小值.
2.6.3 函数的最值
1.函数f(x)=lnxx的最大值为( )
A.1e B.e C.e2 D.103
【答案】A
【解析】令f'(x)=(lnx)'x-lnx·x'x2=1-lnxx2=0，解得x=e.当x>e时，f'(x)<0;当0
2.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f'(x)
C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)
【答案】A
【解析】令F(x)=f(x)-g(x)，∵f'(x)
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max=F(a)=f(a)-g(a).
3.已知函数f(x)=ex-x+a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(-1，+∞) B.(-∞，-1)
C.[-1，+∞) D.(-∞，-1]
【答案】A
【解析】f'(x)=ex-1，令f'(x)>0，解得x>0，令f'(x)<0，解得x<0，
故f(x)在(-∞，0)内单调递减，在(0，+∞)内单调递增，故f(x)min=f(0)=1+a.
若f(x)>0恒成立，则1+a>0，解得a>-1，故选A.
4.函数f(x)=-x3+3x在区间(a2-12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A.(-1，11) B.(-1，2)
C.(-1，2] D.(1，4)
【答案】C
【解析】由题意知f'(x)=3-3x2，
令f'(x)>0，解得-1
由此知函数在(-∞，-1)内单调递减，在(-1，1)内单调递增，在(1，+∞)内单调递减，
∴函数f(x)在x=-1处取得极小值-2.
由题意知，-1∈(a2-12，a)，即a2-12<-1
【答案】2 -2
【解析】f'(x)=4(x2+1)-4x×2x(x2+1)2
=4(1-x2)(x2+1)2=4(1+x)(1-x)(x2+1)2，
令f'(x)=0，得x1=-1，x2=1，
且f(-2)=-85，f(-1)=-2，f(1)=2，f(2)=85，
∴f(x)max=2，f(x)min=-2.
6.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是 .
【答案】(-∞，2ln 2-2]
【解析】由题意知方程ex-2x+a=0有根，
即方程a=2x-ex有根，
设g(x)=2x-ex，
则令g'(x)=2-ex=0，解得x=ln 2.
∴g(x)在(-∞，ln 2)内单调递增，
在(ln 2，+∞)内单调递减，
∴g(x)max=2ln 2-eln 2=2ln 2-2，
∴a≤2ln 2-2.
7.已知函数f(x)=aln x-bx2，a，b∈R，且曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-12相切.
(1)求a，b的值;
(2)求f(x)在1e，e上的最大值.
解(1)f'(x)=ax-2bx，x>0.
由曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-12相切，得f'(1)=0,f(1)=-12,即a-2b=0,-b=-12,解得a=1,b=12.
(2)由(1)，得f(x)=ln x-12x2，定义域为(0，+∞).
f'(x)=1x-x=1-x2x.
令f'(x)>0，得0
所以f(x)在1e，1上单调递增，在(1，e]上单调递减，
所以f(x)在1e，e上的最大值为f(1)=-12.
8.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是( )
①f(x)>0的解集是{x|0
③f(x)没有最小值，也没有最大值;
④f(x)有最大值，无最小值.
A.①③ B.①②③
C.② D.①②④
【答案】D
【解析】由f(x)>0，可得(2x-x2)ex>0，∵ex>0，
∴2x-x2>0，∴0
A.-1 B.0 C.1 D.e
【答案】C
【解析】令f(x)=ln x-x+3，则f'(x)=1x-1=1-xx，
∴f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，+∞)内单调递减，
∴f(x)max=f(1)=ln 1-1+3=2，
令g(y)=ey+e-y，则ey+e-y≥2，当且仅当y=0时取等号，
又ey+e-y≤2，∴ln x-x+3=ey+e-y=2，
∴x=1，y=0，x+y=1.
故选C.
10.当x>1时，函数y=(ln x)2+aln x+1的图象在直线y=x的下方，则实数a的取值范围是( )
A.(-∞，e) B.-∞，e2-52
C.-∞，4e-52 D.(-∞，e-2)
【答案】D
【解析】由题意得(ln x)2+aln x+1
由x>1，得ln x>0，
故a
令t(x)=1+ln x-x(x>1)，则t'(x)=1-xx<0，
故t(x)在(1，+∞)内单调递减，
故t(x)
故a
11.函数f(x)=x-ln x与g(x)=xex-ln x-x的最小值分别为a，b，则( )
A.a=b B.a>b
C.a 【答案】A
【解析】f(x)的定义域是(0，+∞)，
f'(x)=1-1x=x-1x，
令f'(x)<0，解得0
∴f(x)在(0，1)内单调递减，在(1，+∞)内单调递增，
∴f(x)的最小值是f(1)=1，故a=1.
g(x)=xex-ln x-x，定义域(0，+∞)，
g'(x)=(x+1)ex-1x-1=x+1x(xex-1)，
令h(x)=xex-1，则h'(x)=(x+1)ex，
∴h(x)在(0，+∞)内单调递增，且h(0)<0，h(1)>0，
故存在x0∈(0，1)使得h(x)=0，即x0ex0=1，即x0+ln x0=0，
当x∈(0，x0)时，h(x)<0，g'(x)<0，函数g(x)单调递减，
当x∈(x0，+∞)时，h(x)>0，g'(x)>0，函数g(x)单调递增，
故当x=x0时，函数g(x)取得最小值g(x0)=x0ex0-ln x0-x0=1-ln x0-x0=1，即b=1，
∴a=b.
12.设直线x=t与函数f(x)=x2，g(x)=ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时，t的值为( )
A.1 B.12 C.52 D.22
【答案】D
【解析】当x=t时，|MN|=|f(t)-g(t)|=|t2-ln t|(t>0).
令φ(t)=t2-ln t(t>0)，
所以φ'(t)=2t-1t=2t2-1t.
所以当t∈0,22时，φ(t)单调递减;
当t∈22,+∞时，φ(t)单调递增.
所以当t=22时，φ(x)min=12+12ln 2>0，
即|MN|min=φ(x)min.
故|MN|取最小值时t=22.
13.已知a≤4x3+4x2+1对任意x∈[-2，1]都成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】(-∞，-15]
【解析】设f(x)=4x3+4x2+1，x∈[-2，1]，则f'(x)=12x2+8x，令f'(x)=0，得x=0或x=-23.所以在区间-2，-23上，f'(x)>0，f(x)为增函数，在区间-23，0上，f'(x)<0，f(x)为减函数，在区间(0，1)上，f'(x)>0，f(x)为增函数，因此在闭区间[-2，1]上，函数f(x)在x=-23处取得极大值f-23，在x=0时函数取得极小值f(0)，且f(0)=1，f(1)=9，f(-2)=-15，所以f(-2)=-15是最小值，所以实数a≤-15.
14.已知函数f(x)=aexx，x∈[1，3]，且∀x1，x2∈[1，3]，x1≠x2，f(x1)-f(x2)x1-x2<2恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】-∞，9e3
【解析】设x1>x2，f(x1)-f(x2)x1-x2<2可化为f(x1)-2x1
∴g'(x)=aex(x-1)x2-2≤0在x∈[1，3]上恒成立，
即a≤2x2ex(x-1)在x∈(1，3]内恒成立，
令h(x)=2x2ex(x-1)，x∈(1，3]，
则h'(x)=-2x[(x-1)2+1]ex(x-1)2<0在x∈(1，3]内恒成立，∴函数h(x)在x∈(1，3]内单调递减，∴a≤h(3)=9e3.则实数a的取值范围是-∞，9e3.
15.已知函数f(x)=xln x.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若对任意x≥1都有f(x)≥ax-1，求实数a的取值范围.
解(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=1+ln x，
令f'(x)>0，解得x>1e，令f'(x)<0，解得0
(2)依题意知，f(x)≥ax-1在[1，+∞)上恒成立，
即不等式a≤ln x+1x对于x∈[1，+∞)恒成立.
令g(x)=ln x+1x，则g'(x)=1x−1x2=x-1x2，
当x>1时，g'(x)>0，故g(x)在(1，+∞)内单调递增，所以g(x)的最小值是g(1)=1.
因此a≤g(x)min=g(1)=1，故a的取值范围为(-∞，1].
16.已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a，b，c∈R)，
(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值，试求a，b的值;
(2)在(1)的条件下，当x∈[-2，6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围.
解(1)f'(x)=3x2-2ax+b，
∵函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值，
∴-1，3是方程3x2-2ax+b=0的两根.
∴-1+3=2a3,-1×3=b3,∴a=3,b=-9.
(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c，
f'(x)=3x2-6x-9.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
x
-2
(-2，-1)
-1
(-1，3)
3
(3，6)
6
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
c-2
↗
极大值
c+5
↘
极小值
c-27
↗
c+54
而f(-2)=c-2，f(6)=c+54，
∴当x∈[-2，6]时，f(x)的最大值为c+54，
要使f(x)<2|c|恒成立，只要c+54<2|c|即可，当c≥0时，c+54<2c，
∴c>54;
当c<0时，c+54<-2c，
∴c<-18，
∴c∈(-∞，-18)∪(54，+∞).
故c的取值范围为(-∞，-18)∪(54，+∞).
17.设函数y=f(x)在(a，b)上的导函数为f'(x)，f'(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”.已知当m≤2时，f(x)=16x3-12mx2+2x+2在(-1，2)上是“凸函数”，则f(x)在(-1，2)上( )
A.既没有最大值，也没有最小值
B.既有最大值，也有最小值
C.有最大值，没有最小值
D.没有最大值，有最小值
【答案】A
【解析】f'(x)=12x2-mx+2，f″(x)=x-m;
∵函数f(x)在(-1，2)上是“凸函数”，
∴f″(x)=x-m<0在(-1，2)上恒成立，
∴m>x在(-1，2)上恒成立，
∴m≥2，又m≤2，∴m=2.
∴f'(x)=12x2-2x+2=12(x-2)2>0，所以f(x)在(-1，2)内单调递增，所以该函数在该区间上既没有最大值，也没有最小值.
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