北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.1 数列的概念课后练习题

1.1.1　数列的概念

1.已知数列{an}的通项公式为an=，n∈N+，则该数列的前4项依次为(　　)

A.1，0，1，0 B.0，1，0，1

C.，0，，0 D.2，0，2，0

【答案】A

【解析】当n分别等于1，2，3，4时，a1=1，a2=0，a3=1，a4=0.

2.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是(　　)

A.an=n2-n+1 B.an=

C.an= D.an=n2+1

【答案】C

【解析】令n=1，2，3，4，代入A，B，C，D检验，即可排除A，B，D，故选C.

3.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50，n∈N+，则-8是该数列的(　　)

A.第5项 B.第6项

C.第7项 D.非任何一项

【答案】C

【解析】解n2-n-50=-8，得n=7或n=-6(舍去).

4.数列，…的第10项是(　　)

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为an=，n∈N+，当n=10时，a10=.

5.(2021浙江湖州期中)在数列0，，…，，…中，第3项是　　　;是它的第　　　　项. 

【答案】　7

【解析】根据题意，设该数列为{an}，则数列的通项公式为an=，则其第3项a3=，若an=，可解得n=7.

6.数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式是　　　　　　　　　　　　　　　　. 

【答案】an=2n+1，n∈N+

7.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.

(1)-1，7，-13，19，…;

(2)0.8，0.88，0.888，….

解(1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示，其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an=(-1)n(6n-5).

(2)将数列变形为(1-0.1)，(1-0.01)，(1-0.001)，…，∴an=1-.

8.已知数列{an}的通项公式为an=-n2+n+110.

(1)20是不是{an}中的一项?

(2)当n取何值时，an=0.

解(1)令an=-n2+n+110=20，

即n2-n-90=0，∴(n+9)(n-10)=0，

∴n=10或n=-9(舍).

∴20是数列{an}的第10项.

(2)令an=-n2+n+110=0，

即n2-n-110=0，

∴(n-11)(n+10)=0，

∴n=11或n=-10(舍)，

∴当n=11时，an=0.

9.数列，-，-，…的一个通项公式是(　　)

A. B.-

C.(-1)n D.(-1)n+1

【答案】C

【解析】各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.

把第1项变为-，因此原数列可化为-，-，….

故原数列的一个通项公式为an=(-1)n·.

10.设an=+…+(n∈N+)，那么an+1-an等于(　　)

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】∵an=+…+，

∴an+1=+…+，

∴an+1-an=.

11.如图是由7个有公共顶点O的直角三角形构成的图案，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　)

A.an=n，n∈N+

B.an=，n∈N+

C.an=，n∈N+

D.an=n2，n∈N+

【答案】C

【解析】∵OA1=1，OA2=，OA3=，…，OAn=，…，∴a1=1，a2=，a3=，…，an=，….

12.(多选题)已知数列0，2，0，2，0，2，…，则前六项适合的通项公式为(　　)

A.an=1+(-1)n

B.an=2cos

C.an=2sin

D.an=1-cos(n-1)π+(n-1)(n-2)

【答案】AC

【解析】对于选项A，由an=1+(-1)n得前六项为0，2，0，2，0，2，满足条件;对于选项B，由an=2cos得前六项为0，-2，0，2，0，-2，不满足条件;对于选项C，由an=2sin得前六项为0，2，0，2，0，2，满足条件;对于选项D，由an=1-cos(n-1)π+(n-1)(n-2)得前六项为0，2，2，8，12，22，不满足条件.

13.(多选题)下列选项中能满足数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有(　　)

A.an=

B.an=sin2

C.an=cos2

D.an=

【答案】ABCD

【解析】可以验证，当n为奇数时，选项ABCD中的通项公式均得出1，当n为偶数时，选项ABCD中的通项公式均得出0.

14.已知数列{an}的通项公式an=，n∈N+，则a1=　　　　　;an+1=　　　　　　　. 

【答案】1　

【解析】a1==1，

an+1=

=.

15.323是数列{n(n+2)}的第　　　　项. 

【答案】17

【解析】由an=n2+2n=323，解得n=17，或n=-19(舍去).

∴323是数列{n(n+2)}的第17项.

16.在数列{an}中，a1=2，a17=66，通项公式an=kn+b，其中k≠0.

(1)求{an}的通项公式;

(2)判断88是不是数列{an}中的项?

解(1)∵a1=2，a17=66，an=kn+b，k≠0，

∴

解得

∴an=4n-2，n∈N+.

(2)令an=88，即4n-2=88，

解得n=22.5∉N+.

∴88不是数列{an}中的项.

17.已知数列{an}的通项公式是an=(n∈N+)，则a3+=　　　. 

【答案】

【解析】a3=2-3=，a4=，

∴，∴a3+.

18.已知数列，n∈N+.请问在区间内有无数列中的项?若有，有几项;若没有，请说明理由.

解设an=，令，

∴<n<，

∴当且仅当n=2时，上式成立，

故区间内有数列中的项，且只有一项为a2=.