高中第二章导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.3 函数的最值授课课件ppt

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知识点　函数最值的定义1.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都不超过f(x0)(如图所示).
由上图可以看出,最大值或者在极大值点(也是导数的零点)取得,或者在区间的端点取得.因此,要想求函数的最大值,一般首先求
出函数导数的零点,然后将所有导数零点与区间端点的函数值进行比较,其中最大的值即为函数的最大值.函数的最小值点和最小值也是用类似的方法定义.2.函数的最大值和最小值统称为　　　　.
名师点睛1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)= 在区间(0,2)内的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值.2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最值,例如函数在[-1,1]上只有最大值,而没有最小值.
3.函数的最值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个定义的区间内所有函数值中的最大值(最小值).函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有.4.极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能是最值,最值只要不在端点处则一定是极值.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数的最大值不一定是函数的极大值.(　　)(2)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(　　)(3)有极值的函数一定有最值,有最值的函数不一定有极值.(　　)
2.你能类比最大值点和最大值的定义方法,给出最小值点和最小值的定义吗?
提示函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都大于或等于f(x0),函数的最小值可以在区间的内部取得,也可以在区间的端点处取得,要想求函数的最小值,一般首先求出函数导数的零点,然后将所有导数零点与区间端点的函数值进行比较,其中最小的值即为函数的最小值.
探究点一　求函数的最值
角度1.求函数在闭区间上的最值【例1】求下列函数在相应区间上的最值:(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];(2)f(x)=2sin x-x,x∈
解 (1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
规律方法　求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的方法
变式训练1[2023四川绵阳江油中学校考阶段练习]函数f(x)=cs x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]上的最大值为(　　)
角度2.求函数在开区间或无穷区间内的最值【例2】求下列函数的最值:(1)f(x)= ;(2)f(x)=(x2-3)ex.
解 (1) ,令f'(x)=0,得x=-1或3,容易验证函数在x=-1处取得极小值,在x=3处取
得极大值,又因为当x=1时y=0,当x<1时y<0,当x>1时y>0.据此可以画出函数的大致图象,如图所示.
(2)函数的定义域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex =ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3规律方法　求函数在开区间或无穷区间内最值的方法求函数在无穷区间(或开区间)内的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.
令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得0探究点二　含有参数的函数最值问题
【例3】已知f(x)=ax-ln x,a∈R.(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程.(2)是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]上的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
规律方法　对参数进行讨论,其实质是讨论导函数f'(x)大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒大于等于0或小于等于0,且使f'(x)=0成立的值是孤立的,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.
变式训练3已知函数f(x)=xln x-2x,求:(1)函数f(x)的单调区间;(2)函数f(x)在区间[1,a]上的最小值.
解 (1)由题设,f'(x)=ln x-1,x>0,令f'(x)>0,解得x>e,令f'(x)<0,解得0e时,f(x)在区间[1,e)内单调递减,在区间[e,a]上单调递增,∴f(x)min=f(e)=eln e-2e=-e.
探究点三　由函数的最值求参数
【例4】 (1)已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,在x∈[-1,2]上的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.(2)已知h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,求k的取值范围.
解 (1)由题设知a≠0,否则f(x)=b为常函数,与题设矛盾.求导得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f'(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).①当a>0,且当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也是函数在[-1,2]上的最大值, ∴f(0)=b=3.又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3②当a<0时,同理可得当x=0时,f(x)取得极小值b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=b=-29.又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),∴f(2)=-16a-29=3,解得a=-2.综上可得a=2,b=3或a=-2,b=-29.
(2)h(x)=x3+3x2-9x+1,h'(x)=3x2+6x-9.令h'(x)=0,解得x1=-3,x2=1,当x变化时,h'(x)及h(x)的变化情况如下表:
当x=-3时,h(x)取极大值28;当x=1时,h(x)取极小值-4.而h(2)=3规律方法　1.已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.2.理解运算对象,选择运算方法,求得运算结果,体现了数学运算的数学核心素养.
变式训练4设函数f(x)=ln x+ ,m>0,求f(x)的最小值为2时的m的值.
解 ∵f'(x)= (x>0),∴当x∈(0,m)时,f'(x)<0,f(x)在(0,m)内单调递减,当x∈(m,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(m,+∞)内单调递增,∴当x=m时,f(x)取得极小值,也是最小值,又最小值为2,∴f(m)=ln m+ =2,∴m=e.
1.知识清单:(1)求函数的最值.(2)含有参数的函数的最值问题.(3)由函数的最值求参数.2.方法归纳:分类讨论、数形结合.3.常见误区:(1)忽略函数的定义域;(2)分类讨论的标准分析不清.
1.[2023四川绵阳江油中学校考期中]函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,以下说法错误的是(　　)A.函数y=f(x)在x=-4处取得最小值B.x=0是函数y=f(x)的极值点C.y=f(x)在区间(-4,1)内单调递增D.y=f(x)在x=1处切线的斜率大于零
解析对于A,因为当x<-4时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减,当x≥-4时,f'(x)≥0,此时f(x)单调递增,所以y=f(x)在x=-4处取得最小值,故A正确;对于B,当-40,当x>0时,f'(x)>0,所以x=0不是函数y=f(x)的极值点,故B错误;对于C,当-40,y=f(x)在x=1处切线的斜率大于零,故D正确.故选B.
3.(多选题)[2023长春实验中学校考阶段练习]对于函数f(x)=x3-3x,下列结论中正确的是(　　)A.f(x)是奇函数B.f(x)在区间(-1,1)内单调递减C.在x=-1处取得极大值-2D.函数f(x)的值域是[-2,2]
解析因为对∀x∈R,f(-x)=-x3+3x=-f(x),根据奇函数定义可知函数f(x)是R上的奇函数,即A正确;因为f(x)=x3-3x,则f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f'(x)>0可得x<-1或x>1,令f'(x)<0可得-1

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