数学选择性必修第二册6.3 函数的最值复习练习题

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这是一份数学选择性必修第二册6.3 函数的最值复习练习题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1.下列命题中正确的是( )
A. 一个函数的极大值总是比极小值大B. 函数的导数为0时对应的点不一定是极值点
C. 一个函数的极大值总比最大值小D. 一个函数的最大值可以比最小值小
2.函数y=xlnx的最小值为( )
A. −e−1B. −eC. e2D. −103
3.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为[a,b]，且f′(x)A. f(a)−g(a)B. f(b)−g(b)C. f(a)−g(b)D. f(b)−g(a)
4.函数y=13x3−4x+4在区间[0,3]上的最大值是( )
A. 12B. 15C. 4D. 1
5.函数f(x)=x4−4x(|x|<1)( )
A. 有最大值，无最小值B. 有最大值，也有最小值
C. 无最大值，有最小值D. 既无最大值，也无最小值
6.若函数f(x)=3x−x3在区间(a2−4,a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A. (−1, 3)B. (−1,4)C. (−1,2]D. (−1,2)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
7.已知函数f(x)=xlnx，则( )
A. f(x)的单调递增区间为(e,+∞)B. f(x)在(0,1e)上是减函数
C. 当x∈(0,1]时，f(x)有最小值−1eD. f(x)在定义域内无极值
8.已知函数f(x)=13x3+x2−2在区间(a−2,a+3)上存在最小值，则整数a可以取( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
9.已知函数f(x)=x3+3x2−9x+1，若f(x)在区间(k,2]上的最大值为28，则实数k的值可以是( )
A. −5B. −4C. −3D. −2
10.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，x∈[−2,2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为−1，以下命题正确的是( )
A. f(x)的解析式为f(x)=x3−4x，x∈[−2,2]
B. f(x)的极值点有且仅有一个
C. f(x)的极大值为16 39
D. f(x)的最大值与最小值之和等于零
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.已知函数f(x)=ex−a− 2sinx在(0,+∞)上仅有两个零点，则实数a的取值范围是______.
12.若对∀x∈(2,+∞)，ex+2a>aln(ax−2a)恒成立，则实数a的取值范围为______.
13.已知函数f(x)=(x2−2x)sin(x−1)+x+a(a∈R)在区间[−1,3]上的最大值与最小值的和为18，则实数a的值为______.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：一个函数的极大值有可能比某个极小值小，A不正确；
B中，函数f(x)=x3的导函数f′(x)=3x2，
当x=0时，f′(x)=0，但x=0不是函数f(x)=x3的极值点，B正确；
一个函数的极大值可能是最大值，C不正确；
一个函数的最大值不可能比最小值小，D不正确．
故选：B.
根据极值的定义，以及极值和最值之间的关系，对选项进行逐一分析即可．
本题主要考查极值的定义，极值与最值的关系等知识，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：函数y=xlnx，x∈(0,+∞)；
所以y′=lnx+1，
令y′=0，得lnx=−1，解得x=1e，
所以x∈(0,1e)时y′<0，函数y=xlnx单调递减；
x∈(1e,+∞)时y′>0，函数y=xlnx单调递增；
所以函数y=xlnx的极小值，也是最小值为1eln1e=−1e=−e−1.
故选：A.
对函数y=xlnx求导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数在定义域内的极小值，也是最小值．
本题考查了利用导数判断函数的单调性和求极值、最值的应用问题，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为f(x)，g(x)均为[a,b]上的可导函数，在[a,b]上连续，
令h(x)=f(x)−g(x)，
则h′(x)=f′(x)−g′(x)，
因为f′(x)所以h′(x)是减函数，
所以函数h(x)=f(x)−g(x)在[a,b]上的最大值h(a)=f(a)−g(a)，
故选：A.
令h(x)=f(x)−g(x)，则h′(x)=f′(x)−g′(x)，由f′(x)本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：令y=f(x)=13x3−4x+4，x∈[0,3]，
∴f′(x)=x2−4，
令f′(x)=0，解得x=2，
当0≤x<2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
当2≤x≤3时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，
∵f(0)=4，f(3)=9−12+4=1，
∴函数y=13x3−4x+4在区间[0,3]上的最大值是4，
故选：C.
先求导数，然后求极值，函数在区间端点处的函数值，其中最大者为最大值．
本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查学生的运算能力．
5.【答案】D
【解析】解：f′(x)=4x3−4=4(x3−1)，
又∵|x|<1，∴−1∴x3<1，
∴f′(x)<0在(−1,1)上恒成立，
∴函数f(x)在(−1,1)上单调递减，
∴函数f(x)在(−1,1)上既无最大值，也无最小值，
故选：D.
先求出导函数f′(x)，检验方程f′(x)=0在(−1,1)上是否有解即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的最值，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵函数f(x)=3x−x3在区间(a2−4,a)上有最小值，
令f′(x)=3−3x2=0，求得x=1，或x=−1，
在(−∞,−1)、(1,+∞)上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
在(−1,1)上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故当x=−1时，函数f(x)取得极小值．
∴a2−4<−1故选：A.
利用导数研究函数的单调性，可得当x=−1时，函数取得极值，结合题意，a2−4<−1本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的极值，属于中档题．
7.【答案】BC
【解析】解：由题意得f′(x)=lnx+1，函数定义域为(0,+∞)，
由f′(x)=0得x=1e，由f′(x)>0得x>1e，由f′(x)<0得0∴f(x)的单调递增区间为(1e,+∞)，单调递减区间为(0,1e)，故A错误，B正确；
∴当x=1e时，f(x)取得极小值也是最小值，f(x)min=f(1e)=1eln1e=−1e，故C正确，D错误，
故选：BC.
求出f′(x)=lnx+1，函数定义域为(0,+∞)，利用导数和函数单调性的关系，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的值的求法，考查分析问题解决问题的能力，数形结合的解题思想，是中档题．
求出函数的导数，判断函数的单调性，画出示意图，利用数形结合转化求解即可．
【解答】
解：由f(x)=13x3+x2−2，得f′(x)=x2+2x=x(x+2)，
故f(x)在(−∞,−2)，(0,+∞)上是增函数，
在(−2,0)上是减函数，作出其大致图象如图所示，
令13x3+x2−2=−2，得x=0或x=−3，
则结合图象可知，−3≤a−2<0a+3>0，
解得：a∈[−1,2),又a∈Z，
∴a可以取−1，0，1.
故选：BCD.
9.【答案】AB
【解析】解：因为，f(x)=x3−9x+3x2+1，
所以f′(x)=3x2+6x−9=0，x=1，x=−3，
f′(x)=3x2+6x−9>0，x>1或x<−3，
f′(x)=3x2+6x−9<0，−3f(−3)=28，f(1)=−4，f(2)=3，
∵在区间(k,2]上的最大值为28，
∴k<−3.
故选：AB.
根据导数判断出函数的单调性，求出极值，f(−3)=28，f(1)=−4，f(2)=3，可判断−3∈(k,2],即可求解．
本题考查了导数在闭区间上的最值，判断单调性，求解切线问题，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：∵f(x)=x3+ax2+bx+c，∴f′(x)=3x2+2ax+b，由题意可得f(0)=c=0f′(1)=3+2a+b=−1f′(−1)=3−2a+b=−1，
解得{a=0b=−4,则f(x)=x3−4x,x∈[−2,2],c=0f′(x)=3x2−4，
令f′(x)=0，得x=±2 33∈[−2,2].
当−2≤x<−2 33或2 330；当−2 33所以，函数y=f(x)有两个极值点，且函数y=f(x)的极大值为f(−2 33)=16 39，极小值为f(2 33)=−16 39.
∵f(−2)=(−2)3−4×(−2)=0=f(2)，所以，f(x)max=16 39,f(x)min=−16 39.
所以，函数y=f(x)的最大值和最小值之和为零．
综上所述，A、C、D选项正确，B选项错误．
故选：ACD.
根据题意得出关于a、b、c的方程组，求出a、b、c的值，可判断A选项的正误，利用导数可判断B、C、D的正误，综合可得出结论．
本题考查利用导数研究函数的极值．考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】(π4,9π4)
【解析】解：f(x)在(0,+∞)上仅有两个零点，即f(x)=0在(0,+∞)上仅有两个根，
即g(x)=ex−a与h(x)= 2sinx的图象在(0,+∞)上仅有两个交点，
设函数g(x)，h(x)的图象的公切点A(x0,y0)，
即点A同时在函数g(x)，h(x)图象上，在点A处的切线斜率相等，
就有g(x0)=ex0−a=h(x0)= 2sinx0，g′(x0)=ex0−a=h′(x0)= 2csx0，
则 2csx0= 2sinx0，有x0=2kπ+π4(k∈Z)，
函数g(x)=ex−a的图象向右平移便可知，仅有两个零点，
所以g(x)=ex−a的图象介于过点A和点B之间，
所以a的取值范围为(π4,9π4).
故答案为：(π4,9π4).
由题意可知函数g(x)=ex−a与h(x)= 2sinx的图象在(0,+∞)上仅有两个交点，设函数g(x)，h(x)的图象的公切点A(x0,y0)，利用导数的几何意义求出点A的横坐标，进而可得实数a的取值范围．
本题主要考查了导数的几何意义，考查了函数的零点与方程根的关系，以及数形结合的数学思想，属于中档题．
12.【答案】(0,e3)
【解析】解：ex+2a>aln(ax−2a)可变形为ex>aln(ax−2a)−2a=a[ln(ax−2a)−2]，
即ex>alnax−2ae2，所以exe2>ae2⋅lnax−2ae2，
即ex−2>ae2⋅lnax−2ae2，
由x>2，得(x−2)⋅ex−2>ae2⋅(x−2)⋅lnax−2ae2，
即(x−2)ex−2>lnax−2ae2⋅elnax−2e2，
构造函数f(x)=xex，
则f′(x)=(x+1)ex>0，
所以函数f(x)在(2,+∞)上单调递增，
且原不等式等价于f(x−2)>f(lnax−2ae2)，
当lnax−2ae2<0时，原不等式显然成立；
当lnax−2ae2≥0时，因为f(x)=xex在(2,+∞)上单调递增，
所以x−2>lnax−2ae2，解得a令g(x)=exx−2，则g′(x)=(x−3)ex(x−2)2，
所以g(x)在(2,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，
从而x=3是g(x)的极小值，也是g(x)的最小值，
且g(3)=e3，于是0故a的取值范围为(0,e3).
故答案为：(0,e3).
将原不等式变形为(x−2)ex−2>lnax−2ae2⋅elnax−2e2，令f(x)=xex，利用导数得f(x)在(2,+∞)上单调递增，从而可得x−2>lnax−2ae2，即有a本题考查了转化思想、导数的综合运用，难点是得出(x−2)ex−2>lnax−2ae2⋅elnax−2e2，属于难题．
13.【答案】8
【解析】解：令t=x−1，则t∈[−2,2]，
所以原函数变为y=(t2−1)sint+t+1+a，
令g(t)=(t2−1)sint+t，t∈[−2,2]，则函数g(t)为奇函数且y=g(t)+1+a，
所以f(x)max=g(t)max+1+a，f(x)min=g(t)min+1+a，
所以f(x)max+f(x)min=g(t)max+g(t)min+2+2a，
因为g(t)为奇函数，所以g(t)max+g(t)min=0，
所以f(x)max+f(x)min=2+2a=18，
所以a=8.
用换元法令t=x−1，则t∈[−2,2]，可得原函数变为y=(t2−1)sint+t+1+a，令g(t)=(t2−1)sint+t，t∈[−2,2]，则函数g(t)为奇函数且y=g(t)+1+a，推出g(t)max+g(t)min=0，f(x)max+f(x)min=2+2a=18，进而解出a的值．
本题考查函数的奇偶性，解题中注意换元法的应用，属于中档题．x
(−∞,−3)
−3
(−3,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

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