北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用6 平面向量的应用6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例练习

2.6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例

1.(多选)点P是△ABC所在平面内一点，满足||-|-2|=0，则△ABC的形状不可能是(　　)

A.钝角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

【解析】因为P是△ABC所在平面内一点，

且||-|-2|=0，

所以||-|()+()|=0，

即||=||，

所以||=||，两边平方并化简得=0，所以，

所以∠A=90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形.故选AD.

【答案】AD

2.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是(　　)

A.

B.

C.

D.

【解析】·()=

==||2，A是正确的，同理B也正确.

=||·||cos∠ACD=||2，故C不正确.

又

=2=||2.

故D正确.

【答案】C

3.两个大小相等的共点力F1、F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为              (　　)

A.40 N B.10 N

C.20 N D.40 N

【解析】如

图，以F1，F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力.

由题意，易知|F|=|F1|，|F|=20 N，

所以|F1|=|F2|=10 N.

当它们的夹角为120°时，以F1，F2为邻边作平行四边形，

此平行四边形为菱形，此时|F合|=|F1|=10 N.

【答案】B

4.(2019天津高考模拟)已知点O是△ABC内一点，满足+2=m，则实数m为(　　)

A.2 B.-2

C.4 D.-4

【解析】由+2=m，得.

设，则，所以A，B，D三点共线.

如图所示.

因为反向共线，

所以，

所以，

解得m=-4.故选D.

【答案】D

5.(2019北京高考模拟)如图，在菱形ABCD中，∠B=，AB=4.

(1)若P为BC的中点，则=　　　　; 

(2)点P在线段BC上运动，则||的最小值为　　　　. 

【解析】(1)在菱形ABCD中，∠B=，AB=4，P为BC的中点，

所以BP=2，AP=2，

所以AP2+BP2=AB2，即AP⊥BP，

则=0.

(2)点P在线段BC上运动，

可设BP=x(0≤x≤4)，M为AB中点，

则||=2||.

在△BPM中，||2=22+x2-2×2x×=x2-2x+4=(x-1)2+3，

当x=1时，PM有最小值，即||=2||的最小值为2.

【答案】(1)0　(2)2

6.(2019山东东明第一中学高一期末)已知向量a，b满足|a|=2，|b|=，且(a+b)2=1.

(1)求<a，b>;

(2)在△ABC中，若=a，=b，求||.

解(1)因为(a+b)2=a2+b2+2a·b=22++2a·b=1，

所以a·b=-3，

所以cos<a，b>==-，

又夹角在[0，π]上，所以<a，b>=.

(2)因为=b-a，

所以=(b-a)2=b2+a2-2b·a=+22-2×(-3)=13，

所以BC边的长度为||=.

1.已知作用在点A的三个力F1=(3，4)，F2=(2，-5)，F3=(3，1)，且A(1，1)，则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为(　　)

A.(9，1) B.(1，9)

C.(9，0) D.(0，9)

【解析】F=F1+F2+F3=(3，4)+(2，-5)+(3，1)=(8，0)，设合力F的终点为P(x，y)，则+F=(1，1)+(8，0)=(9，1).

【答案】A

2.(2019山东高考模拟)已知在△ABC中，||=2，=-2.点P为BC边上的动点，则·()的最小值为(　　)

A.2 B.- C.-2 D.-

【解析】以BC的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

可得B(-1，0)，C(1，0)，设P(a，0)(-1≤a≤1)，A(x，y)(y≠0)，

由=-2，

可得(x+1，y)·(2，0)=2x+2=-2，即x=-2，

则·()

=(1-a，0)·(x-a-1-a+1-a，y+0+0)

=(1-a)(x-3a)=(1-a)(-2-3a)=3a2-a-2=3，

当a=时，·()的最小值为-.故选D.

【答案】D

3.某人从点O向正东方向走30 m到达点A，再向正北方向走30 m到达点B，则此人的位移的大小是　　　　 m，方向是东偏北　　　　. 

【解析】如

图所示，此人的位移是，且，

则||==60 m，

tan∠BOA=.所以∠BOA=60°.

【答案】60　60°

4.(2020天津中学高三月考)如图所示，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=90°，点D是BC的中点，且M点在△ACD的内部(不含边界)，若+m，则的取值范围是　　　　. 

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，

因为D为BC中点，AB=AC=3，所以D.

A(0，0)，B(3，0)，C(0，3)，

则+m

=(3，0)+m(0，3)=(1，3m)，

则M点的坐标为(1，3m).

又因为M点在△ACD的内部(不含边界)，所以1<3m<2，

即<m<.

则=-，3m-·(-2，3m)

=1+3m3m-=9m2-m+1

=9，

因为<m<，所以∈，2.

【答案】，2

5.如图，用两根绳子把重10 kg的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)

解设A，B处所受力分别为F1，F2，10 kg的重力用F表示，则F1+F2+F=0.

以重力作用点C为F1，F2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，

则=-F2，=-F1，=F.

∠ECW=180°-150°=30°，

∠FCW=180°-120°=60°，

∠FCE=90°，

所以四边形CEWF为矩形.

所以||=||cos 30°=5，

||=||cos 60°=5.

即A处所受的力为5 kg，B处受力为5 kg.

6.　(2020首都师范大学附属中学高一期末)延长正方形ABCD的边CD至E，使得DE=CD.若动点Ρ从点Α出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到Α点，若=λ+μ，下列判断正确的是(　　)

A.满足λ+μ=2的点Ρ必为ΒC的中点

B.满足λ+μ=1的点Ρ有且只有一个

C.λ+μ的最小值不存在

D.λ+μ的最大值为3

【解析】设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，

所以A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，E(-1，1)，则=(1，0)，=(-1，1)，设=(a，b)(0≤a≤1，0≤b≤1)，由=λ+μ，得(a，b)=λ(1，0)+μ(-1，1)，

(a，b)=(λ-μ，μ)，所以

当P在线段AB上时，0≤a≤1，b=0，此时μ=0，λ=a，此时λ+μ=a，所以0≤λ+μ≤1;

当P在线段BC上时，a=1，0≤b≤1，此时μ=b，λ=a+μ=1+b，即λ+μ=1+2b，所以1≤λ+μ≤3;

当P在线段CD上时，0≤a≤1，b=1，此时μ=1，λ=a+μ=a+1，此时λ+μ=a+2，所以1≤λ+μ≤3;

当P在线段DA上时，a=0，0≤b≤1，此时μ=b，λ=a+μ=b，此时λ+μ=2b，所以0≤λ+μ≤2.

由以上讨论可知，当λ+μ=2时，P可为BC的中点，也可以是点D，所以A错;使λ+μ=1的点有两个，分别为点B与AD的中点，所以B错;当P运动到点A时，λ+μ有最小值0，故C错，当P运动到点C时，λ+μ有最大值3，所以D正确.故选D.

【答案】D