专题11 反比例函数与几何图形的综合问题-备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练

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备战2022年中考复习重难点与压轴题型专项训练
专题11 反比例函数与几何图形的综合问题
【专题训练】
一、解答题
1．（2020·新疆九年级三模）如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y=（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点．
（1）求k，m的值；
（2）写出函数y=图象在菱形ABCD内x的取值范围．

【答案】
解：（1）∵点E（﹣4，）在y=上，∴k=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣．
∵F（m，2）在y=上，∴m=﹣1．
（2）函数y=图象在菱形ABCD内x的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2020·江西九年级三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的对角线BO在x轴上，若正方形ABCO的边长为4，点B在x负半轴上，反比例函数的图象经过C点．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于正方形ABCO的面积，求点P的坐标．

【答案】
解：（1）连接AC，交x轴于点D．∵四边形ABCO为正方形，∴AD=DC=OD=BD，且AC⊥OB．∵正方形ABCO的边长为4，∴DC=OD==4，∴C（﹣4，﹣4），把C坐标代入反比例函数解析式得：k=16，则反比例函数解析式为y=；
（2）∵正方形ABCO的边长为4，∴正方形ABCO的面积为32，分两种情况考虑：
若P1在第一象限的反比例函数图象上，连接P1B，P1O．∵S△P1BO=BO•|yP|=S正方形ABCO=32，而OB=CO=8，∴×8×|yP|=32，∴yP1=8，把y=8代入反比例函数解析式得：x=2，此时P1坐标为（2，8）；
若P2在第三象限反比例图象上，连接OP2，BP2，同理得到yP2=﹣8，把y=﹣8代入反比例函数解析式得：x=﹣2，此时P2（﹣2，﹣8）．
综上所述：点P的坐标为（2，8）或（﹣2，﹣8）．

点睛：本题属于反比例函数综合题，主要考查了坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式以及勾股定理的综合运用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
3．（2020·河南郑州市·郑州外国语中学九年级其他模拟）如图，平面直角坐标系中，点A（0，2），点B（3，﹣2），以AB为边在y轴右侧作正方形ABCD，反比例函数（x＞0）恰好经过点D．
（1）求D点坐标及反比例函数解析式；
（2）在x轴上有两点E，F，其中点E使得ED+EA的值最小，点F使得|FD﹣FA|的值最大，求线段EF的长．

【答案】
（1）作DM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，

∵点A（0，2），点B（3，﹣2），
∴OA=2，ON=2，
∴AN=4，BN=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠NAB+∠DAM=90°，
∵∠NAB+∠ABN=90°，
∴∠DAM=∠ABN，
在△ANB和△DMA中，
，
∴△ANB≌△DMA（AAS），
∴AM=BN=3，DM=AN=4，
∴OM=5，
∴D（4，5），
∵反比例函数（x＞0）恰好经过点D．
∴k=4×5=20，
∴双曲线为；
（2）如图2所示：作A点关于x轴对称点A′，连接DA′，交x轴于点E，此时ED+EA的值最小，

∵A（0，2），
∴A′（0，﹣2），
设直线DA′的解析式为：，
把A（0，﹣2），D（4，5）代入得，
解得：，
故直线DA′解析式为：，
当则，
故E点坐标为：（，0），
延长DA交x轴于F，此时|FD﹣FA|的值最大，
设直线AD的解析式为，
把A（0，2），D（4，5）代入得，
解得，
∴直线AD的解析式为，
当则，
∴F（，0），
∴．
【点睛】
本题属于反比例函数与几何的综合，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数、一次函数解析式以及最短路线问题等知识，根据题意得出E，F点坐标是解题关键．
4．（2020·河南九年级零模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（0，﹣4），反比例﹣函数y＝（k≠0）的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P是反比例函数在第二象限的图象上的一点，若△PBC的面积等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标．

【答案】
解：（1）∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（0，﹣4），
∴AB＝7，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点C的坐标为（7，﹣4），
代入y＝，得k＝﹣28，）
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）设点P到BC的距离为h．
∵△PBC的面积等于正方形ABCD的面积，
∴×7×h＝72，解得h＝14，
∵点P在第二象限，yP＝h﹣4＝10，
此时，xP＝﹣＝﹣
∴点P的坐标为（﹣，10）．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质以及三角形和正方形的面积等，根据正方形的性质求得C的坐标是解题的关键．
5．（2020·江西中考真题）如图，中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连结，，并延长交于点，当时，点恰为的中点，若，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的度数．

【答案】
（1）∵AD⊥x轴，∠AOD=45°，OA=，
∴AD=OD=2，
∴A(2，2)，
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=2×2=4，
即反比例函数的解析式为．
(2)∵△ABC为直角三角形，点E为AB的中点，
∴AE=CE=EB，∠AEC=2∠ECB，
∵AB=2OA ，
∴AO=AE，
∴∠AOE=∠AEO=2∠ECB，
∵∠ACB=90°，AD⊥x轴，
∴BC//x轴，
∴∠ECB=∠EOD，
∴∠AOE=2∠EOD，
∵∠AOD=45°，
∴∠EOD=∠AOD=．
【点睛】
本题考查了反比例函数的解析式、含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质和等腰三角形的性质等知识点，根据题意找出角之间的关系是解题的关键．
6．（2020·湖南湘潭市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点的坐标为．
（1）求过点的反比例函数的解析式；
（2）连接，过点作交轴于点，求直线的解析式．

【答案】
（1）过点A作轴，过B作轴，垂足分别为E，F，如图，


，，

∵四边形OABC是菱形，
，轴，
，
，
，
设过B点的反比例函数解析式为
把B点坐标代入得，k=32,
所以，反比例函数解析式为；
（2），
，
，
，
，
又，
，
，
，
解得，，


设BD所在直线解析式为，
把，分别代入，得：

解得，
∴直线的解析式为．
【点睛】
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
7．（2020·黑龙江绥化市·中考真题）如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E，直线的解析式为．
（1）求反比例函数的解析式和直线的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，的周长最小值是______．

【答案】
解：（1）∵D为的中点，，
∴．
∵四边形是矩形，，
∴D点坐标为．
∵在的图象上，
∴．∴反比例函数解析式为．
当时，．
∴E点坐标为．
∵直线过点和点
∴
解得
∴直线的解析式为．
∴反比例函数解析式为，
直线的解析式为．

（2）作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．
此时的周长最小．∵点D的坐标为，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为．
∵直线经过
∴
解得
∴直线的解析式为．
令，得．
∴点P坐标为．

（3）由（1）(2)知D（1，4），E（2，2），(-1,4).又B(2,4),
∴BD=1,BE=2,B=3.
在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE==.
在Rt△BE中，由勾股定理，得E==.
的周长的最小值为+DE =．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，轴对称的最短路径问题等，难度适中，正确的求出解析式和找到周长最小时的点P是解题的关键.
8．（2020·吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上（点的横坐标大于点的横坐标），点的坐示为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．
（1）求的值．
（2）若为中点，求四边形的面积．

【答案】
解：（1）将点的坐标为代入，
可得，
的值为8；
（2）的值为8，
函数的解析式为，
为中点，，
，
点的横坐标为4，将代入，
可得，
点的坐标为，
．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键．
9．（2020·河南九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A（0，4），B（﹣3，0）反比例函数（k为常数，k≠0，x＞0）的图象经过点D．
（1）填空：k＝　 　．
（2）已知在的图象上有一点N，y轴上有一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求点M的坐标．

【答案】
（1）∵点A（0，4），B（﹣3，0），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=5，
即点D的横坐标是5，
∴点D的坐标为（5，4），
∴4=，得k=20，
故答案为20；
（2）∵四边形ABMN是平行四边形，∴AN∥BM，AN=BM，
∴AN可以看作是BM经过平移得到的，
首先BM向右平移了3个单位长度，
∴N点的横坐标为3，代入y=，得点N的纵坐标为y=，
∴M点的纵坐标为﹣4=，
∴M点的坐标为（0，）．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10．（2020·贵阳清镇北大培文学校九年级其他模拟）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，AD＝2AB，直线AB的解析式为y＝﹣2x+4，双曲线y＝（x＞0）经过点D，与BC边相交于点E．
（1）填空：k＝　 　；
（2）连接AE、DE，试求△ADE的面积；
（3）若点D关于x轴的对称点为点F，求直线CF的解析式．

【答案】
（1）如图，
针对于直线AB的解析式为y＝﹣2x+4，
令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，令y＝0，则﹣2x+4＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0），
∴OA＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠OAB+∠GAD＝90°，
∵∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠OBA＝∠GAD，
过点D作DG⊥x轴于G，
∴∠AGD＝∠BOA＝90°，
∴△AOB∽△DGA，
∴，
∴，
∴DG＝4，AG＝8，
∴OG＝OA+AG＝10，
∴D（10，4），
∵点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝40，
故答案为40；
（2）由（1）知，OA＝2，OB＝4，
根据勾股定理得，AB＝2，
∴AD＝2AB＝4，
∴S△ADE＝AD•AB＝×4×2＝20；
（3）由（1）知，A（2，0），D（10，4），
∴点A到D是向右移动10﹣2＝8个单位，再向上移动4，
∴点B到点C是向右移动8个单位，再向上移动4，
∵B（0，4），
∴C（8，8），
∵点F是点D关于x轴对称，
∴点F（10，﹣4），
设直线CF的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线CF的解析式为y＝﹣6x+56．

【点睛】
本题考查反比例函数综合以及待定系数法求一次函数解析式，以及相似三角形的判定与性质等知识，根据题意求出D、C的坐标是解题关键．
11．（2020·山西临汾市·八年级期末）已知,在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A,C坐标分别为A(2,0),C(－1,2),反比例函数的图象经过点B (m≠0)
（1）求出反比例函数的解析式
（2）将OABC沿着x轴翻折，点C落在点D处，做出点D并判断点D是否在反比例函数的图象上
（3）在x轴是否存在一点P使△OCP为等腰三角形，若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


【答案】
（1）设BC于y轴相交于点E，如图所示：

∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC=AO，
∵A（2，0），
∴OA=2，
∴BC=2，
∵C（-1，2），
∴CE=1，
∴BE=BC-CE=2-1=1，
∴B（1，2），
∵反比例函数y=的图象经过点B，
∴m=1×2=2,
∴反比例函数的解析式为：y=；
（2）∵将OABC沿着x轴翻折，点C落在点D处，
∴D（-1，-2），
∵m=2,
∴反比例函数y=,
把D点坐标（-1，-2）代入函数解析式y=中得：左右两边相等，
∴点D在反比例函数的图象上；
（3）以OC＝为半径，点O为圆心，画圆交x轴于点P1(-,0)和P2（，0）；
以OC＝为半径，点C为圆心，画圆交x轴于点P3（－2，0）；
作线段OC的垂直平分线，交x轴于点P4(-2.5,0).
所以存在，点P的坐标(-,0)、（，0）、（－2，0）和(-2.5,0).

【点睛】
考查了反比例函数点的坐标与反比例函数解析式的关系，以及平行四边形的性质，关键是熟练把握凡是反比例函数图象经过的点都能满足解析式．
12．（2020·山东济南市·中考真题）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数（x0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．

【答案】
解：（1）∵B（2，2），则BC＝2，
而BD＝，
∴CD＝2﹣＝，故点D（，2），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝3，
故反比例函数表达式为y＝ ，
当x＝2时，y＝，故点E（2，）；
（2）由（1）知，D（，2），点E（2，），点B（2，2），
则BD＝，BE＝，
故＝＝，＝ ＝＝，
∴DE∥AC；
（3）①当点F在点C的下方时，如下图，

过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在RT△OAC中，OA＝BC＝2，OB＝AB＝2，
则tan∠OCA＝＝＝，故∠OCA＝30°，
则FH＝FC＝1，CH＝CF•cos∠OCA＝2×＝，
故点F（1，），则点G（3，），
当x＝3时，y＝＝，故点G在反比例函数图象上；
②当点F在点C的上方时，
同理可得，点G（1，3），
同理可得，点G在反比例函数图象上；
综上，点G的坐标为（3，）或（1，3），这两个点都在反比例函数图象上．
【点睛】
本题主要考查反比例函数，解题关键是过点F作FH⊥y轴于点H.
13．（2020·广东中考真题）如图，点是反比例函数（）图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，，反比例函数（）的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．
（1）填空：_________；
（2）求的面积；
（3）求证：四边形为平行四边形．

【答案】
解：（1）∵点B在上，
∴设点B的坐标为（x，），
∴OB中点M的坐标为（，），
∵点M在反比例函数（），
∴k=·=2，
故答案为：2；
（2）连接，则，
，
∵，
∴，
∵，
∴点到的距离等于点到距离，
∴；
（3）设，，
，，
又∵，
∴，
同理，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，关于对称，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴是平行四边形．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，灵活运用知识点是解题关键．
14．（2020·湖南湘潭市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y2=k2x+b．
（1）求反比例函数和直线EF的解析式；
（温馨提示：平面上有任意两点M（x1，y1）、N（x2，y2），它们连线的中点P的坐标为（ ））（2）求△OEF的面积；
（3）请结合图象直接写出不等式k2x -b﹣＞0的解集．

【答案】
（1）∵D（0，4），B（6，0），
∴C（6，4），
∵点A是OC的中点，
∴A（3，2），
把A（3，2）代入反比例函数y1=，可得k1=6，
∴反比例函数解析式为y1=，
把x=6代入y1=，可得y=1，则F（6，1），
把y=4代入y1=，可得x=，则E（，4），
把E（，4），F（6，1）代入y2=k2x+b，可得
，解得，
∴直线EF的解析式为y=-x+5；
（2）如图，过点E作EG⊥OB于G，

∵点E，F都在反比例函数y1=的图象上，
∴S△EOG=S△OBF，
∴S△EOF=S梯形EFBG=（1+4）×=；
（3）由图象可得，点E，F关于原点对称的点的坐标分别为（-1.5，-4），（-6，-1），
∴由图象可得，不等式k2x-b-＞0的解集为：x＜-6或-1.5＜x＜0．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及矩形性质的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．解题时注意运用数形结合思想得到不等式的解集．
15．（2020·山东济南市·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，tan∠COD＝．
(1)求过点D的反比例函数的解析式；
(2)求△DBE的面积；
(3)x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】
（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA，AB=OC，
∵tan∠COD=，
∴设OC=3x，CD=4x，
∴OD=5x=5，
∴x=1，
∴OC=3，CD=4，
∴D（4，3），
设过点D的反比例函数的解析式为：y=，
∴k=12，
∴反比例函数的解析式为：y=；
（2）∵点D是BC的中点，
∴B（8，3），
∴BC=8，AB=3，
∵E点在过点D的反比例函数图象上，
∴E（8，），
∴S△DBE=BD•BE==3；
（3）存在，
∵△OPD为直角三角形，
∴当∠OPD=90°时，PD⊥x轴于P，
∴OP=4，
∴P（4，0），
当∠ODP=90°时，
如图，过D作DH⊥x轴于H，
∴OD2=OH•OP，
∴OP=．
∴P（，O），
∴存在点P使△OPD为直角三角形，
∴P（4，O），（，O）．

16．（2020·江苏苏州市·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+b经过点A(﹣2，0)，与y轴交于点B，与反比例函数y(x＞0)交于点C(m，6)，过B作BD⊥y轴，交反比例函数y(x＞0)于点D，连接AD，CD．
（1）求b，k的值；
（2）求△ACD的面积；
（3）设E为直线AB上一点，过点E作EF∥x轴，交反比例函数y(x＞0)于点F，若以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．

【答案】
解：（1）∵直线y=2x+b经过点A(﹣2，0)，
∴﹣4+b=0，
∴b=4，
∴直线AB的解析式为y=2x+4．
∵点C(m，6)在直线y=2x+4上，
∴2m+4=6，
∴m=1，
∴C(1，6)，
把C(1，6)代入y得：k=1×6=6；
（2）∵直线y=2x+4与y轴交于点B，
∴B(0，4)．
∵BD⊥y轴，
∴把y=4代入y中得：x，
∴D(，4)，
∴△ACD的面积6；
（3）∵以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，EF∥AO，
∴EF=AO=2，
设点E(t，2t+4)，
①当点E位于点F的左侧时，
∴点F(t+2，2t+4)，
则(t+2)(2t+4)=6，
∴t=﹣2±．
∵t＞﹣2，
∴t=﹣2，
∴E(2，2)；
②当点E位于点F的右侧时，
∴点F(t﹣2，2t+4)，
则(t﹣2)(2t+4)=6，
解得：t．
∵t＞﹣2，
∴t，
∴E(，24)，
综上所述：若以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点E的坐标为(2，2)或(，24)．
【点睛】
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，三角形的面积的计算，平行四边形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
17．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知的边在x轴上，与y轴正半轴交于点D，，反比例函数经过点B．动点P从点B出发，沿的折线以每秒1个单位的速度匀速运动，动点Q同时从点A出发，沿以每秒1个单位的速度匀速运动，点P，Q中有一个点到达终点，另一个点运动随即而停止．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）在反比例函数的图象是否存在一点E，使得以B，D，P，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
（3）过动点Q的直线始终与x轴垂直且与折线交于点M，当时，在坐标平面内是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】
解：（1）∵，四边形ABCD是平行四边形，
∴，BC∥OA，CD=6，
∴点B与点C的纵坐标相等，
∴，
∵点B在反比例函数图像上，
∴，
∴；

（2）∵动点P从点B出发，沿的折线以每秒1个单位的速度匀速运动，动点Q同时从点A出发，沿以每秒1个单位的速度匀速运动，点P，Q中有一个点到达终点，另一个点运动随即而停止，BD=3，OD=4，
∴在Rt△ODB中，，
∴的最大值为9，即点P运动到点D时停止运动，
∴（Ⅰ）当P在线段上时，
直线的解析式为：，
若以为对角线，如图1，设，则，
∴，
∴（舍去）．
∴点P的坐标为．
若以为对角线，如图2，设，
∵，根据对角线性质得，
∴，
∴（舍去），，
∴点P的坐标为；
若以为对角线，E不可能在双曲线图象上，舍去；
（Ⅱ）当P在线段上时，不存在这样的点E，
综上所述，点P的坐标为或．

（3）存在，理由如下：
由（2）可得：的最大值为9，
∴，
∴P在上，M在上，
易知，
（Ⅰ）当为菱形的邻边时，，如图所示：

由菱形的对角线互相垂直且平分可得点P的坐标即为点M纵坐标的一半，
∴，
∴；
（Ⅱ）当为菱形的邻边时，，如图所示：

则有，
∴（舍去）；
（Ⅲ）当为菱形的邻边时，，如图所示：

则有，
∴（舍去），，
综上所述，或或．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质及菱形、平行四边形的性质是解题的关键．