专题17 新定义型二次函数问题-备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练

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备战2022年中考复习重难点与压轴题型专项训练
专题17 新定义型二次函数问题
【专题训练】
一、解答题
1．（2021·安徽九年级学业考试）如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上，那么我们称抛物线C1与C2为“互相关联”的抛物线．如图，已知抛物线与是“互相关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，－1）.
（1）直接写出点A，B的坐标和抛物线C2的解析式．
（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是以AB为直角边的直角三角形?如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】
（1）由抛物线可得
A（－2，－1）
由抛物线C2:y2＝ax2＋x＋c过点A，D（6，－1）
得；解得
故抛物线C2的解析式为y2＝－x2＋x＋2.
∵y2＝－x2＋x＋2.
＝（x－2）2＋3，
∴点B的坐标为（2，3）.
（2）存在.
设点E的坐标为（m，m2＋m＋2）.
∵A（－2，－1），B（2，3），
∴AB2＝（2＋2）2＋（3＋1）2＝32，
AE2＝（m＋2）2＋（m2＋m＋2＋1）2，
BE2＝（m－2）2＋（m2＋m＋2－3）2.
①当点A为直角顶点时，有AB2＋AE2＝BE2，
即32＋（m＋2）2＋（m2＋m＋2＋1）2
＝（m－2）2＋（m2＋m＋2－3）2，
解得m1＝－2（不合题意，舍去），m2＝10，
∴E（10，－13）.
②当点B为直角顶点时，有AB2＋BE2＝AE2，
即32＋（m－2）2＋（m2＋m＋2－3）2
＝（m＋2）2＋（m2＋m＋2＋1）2，
解得m3＝6，m4＝2（不合题意，舍去），
∴E（6，－1）.
综上所述，当E的坐标为（6，－1）或（10，－13）.
【点睛】
此题主要考查待定系数法求二次函数解析式和直角三角形的存在问题，熟练掌握二次函数的性质及直接三角形的性质是解题关键.
2．（2021·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学九年级月考）定义：在平面直角坐标系中，一条抛物线经过平移后，得到一条抛物线，如果这两条抛物线的顶点和坐标原点能构成一个等腰直角三角形，那么我们称这两条抛物线互为等勾股抛物线，也可以说其中一条抛物线是另一条抛物线的等勾股抛物线．

（1）求证：抛物线与抛物线是等勾股抛物线；
（2）若抛物线与抛物线是等勾股抛物线，求的值．
（3）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，请你直接写出该抛物线的等勾股抛物线的解析式．
【答案】
（1），，求得顶点分别为与，
易证，与原点构成的三角形为等腰直角三角形，
故：抛物线与抛物线是等勾股抛物线；
（2）由题可知：抛物线与抛物线是等勾股抛物线，
则，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，
则，，，
①若以为直角顶点，则，
即：，解得，则；
②若以为直角顶点，则，
即：，解得，不符合题意，舍去；
③若以为直角顶点，则,
即：，解得或（舍去），则；
的值为或；
（3）由题意，抛物线的顶点为，，
直线的解析式为，则设直线垂线的解析式为，
①若以点为直角顶点，将代入，解得，则，
如图，此时抛物线的等勾股抛物线的顶点应在直线上，
设其顶点坐标为，，
则由，得，解得或，
即等勾股抛物线的顶点为，
，

②若以点为直角顶点，则，
如图，此时抛物线的等勾股抛物线的顶点应在直线上，
设其顶点坐标为，，
则由，得，解得，
即等勾股抛物线的顶点为，
，

③若以点为直角顶点，取的中点，代入中，解得，则，
如图，此时抛物线的等勾股抛物线的顶点应在直线上，
设其顶点坐标为，，，
则由，得，解得或，
即等勾股抛物线的顶点为，
，

综上，抛物线的等勾股抛物线的解析式有：
，
，
，
【点睛】
本题考查了二次函数与等腰直角三角形的综合问题，审清题意，抓住定义，分类讨论是解决问题的关键．
3．（2021·吉林长春市·九年级其他模拟）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为，点Q的坐标为，且，，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与y轴垂直，则称该等腰三角形为点P，Q的“伴随等腰三角形”．若P，Q为抛物线上的点，它的“伴随等腰三角形”记为，且底边，点M，Q均在点P的右侧，设点P的横坐标为m．
（1）若点M在这条抛物线上，求的面积；
（2）设P，Q两点的纵坐标分别为，，比较与的大小，并求m的取值范围；
（3）当底边上的高等于底边长的2倍时，求点P的坐标；
（4）若P，Q是抛物线上的两点，它的“伴随等腰三角形PQN”以PN为底，且点N，Q均在点P的同侧（左侧或右侧），点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍，过点P，N分别作垂直于x轴的直线，．设点P的横坐标为，该抛物线在直线，之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为，直接写出与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围．
【答案】
解：（1）将配方，
得，
∴该抛物线对称轴为直线，
∵点M在这条抛物线上，
∴点P，M关于直线对称，
∴点Q即为顶点，坐标为（1，4），
∴点P的横坐标为0，
当时，，即P点坐标为（0，3），
∴点Q到PM的距离为1，
∴；
（2）由题意，得P，Q两点的坐标分别为
、，
由题可知，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴当时，，
当时，．
（3）由题可知，当时，Q点的纵坐标比P点的纵坐标大4，
当时，Q点的纵坐标比P点的纵坐标小4，
P，Q两点的坐标分别为、，
当时， ，
解得，
∴点P的坐标为．
当时，
解得，
∴点P的坐标为，
综上，P的坐标为或；
（4）∵Q的横坐标是点P的横坐标的2倍，
∴点Q的横坐标为，
由等腰三角形可知点N的横坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，之间的部分（包括端点）的最高点为顶点，
又∵P、Q两点的纵坐标不能相同，
∴，即，
∴当，且时，，
当时，P点在y轴左侧，此时最高点即为点P，
∴当时，，
当，且点P在y轴右侧时，最高点即为点N，
∴当时，，
综上所述，当时，，
当时，，
当，且时，．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何的综合问题，注意分类讨论是解题的关键．
4．（2021·江西南昌市·九年级其他模拟）定义：如图，若两条抛物线关于直线成轴对称，当时，取在直线左侧的抛物线的部分；当时，取在直线右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线的一对兄弟抛物线．例如：抛物线与抛物线就是关于直线(轴)的一对兄弟抛物线．

（1）求抛物线关于直线的“兄弟抛物线”所对应的函数解析式；
（2）设抛物线交轴于点，交直线于点．
①当直线平行于轴时，求的值；
②当是直角时．求抛物线关于直线的“兄弟抛物线”顶点的横坐标；
③已知点的坐标分别为，直接写出抛物线及其关于直线的“兄弟抛物线”与矩形不同的边有四个公共点时的取值范围．
【答案】
解：抛物线的顶点坐标为，
关于直线的对称点的坐标为，
“兄弟抛物线”所对应的二次函数解析式为；
①抛物线交轴于点，
点，
直线平行于轴，抛物线交直线于点，
点，
，
(舍去)或，
；
②如图1和图2，

，点在轴上，
点的坐标是，
把代入中，
得，解得：或，
的顶点横坐标为，
∴抛物线的顶点横坐标为或，
则抛物线关于直线的“兄弟抛物线”的顶点横坐标为或，
“兄弟抛物线”的顶点横坐标为或；
③如图3和图4，

点的坐标分别为，点，抛物线及其关于直线的“兄弟抛物线”与矩形不同的边有四个公共点，
点在轴下方．
设则．
把代入中，得，
，
如图，由二次函数图象可知：当时，或；

所以m的取值范围是：或．
【点睛】
本题是新定义试题，主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、对“兄弟抛物线”的理解与应用以及二次函数与一元二次方程和不等式的关系，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，正确理解题意、熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
5．（2021·吉林长春市·九年级其他模拟）定义：函数的伴随函数是．如：函数的伴随函数是．
（1）函数的图像经过点， ，求它的伴随函数；
（2）函数的图像与它的伴随函数图像交于A，B两点（点A在点B的左侧），与伴随函数的对称轴交于点P，它的伴随函数图像交轴于C，D两点（点C在点D的左侧），伴随函数的图像经过点(-l，0)．设的面积为S．
①函数与它的伴随函数图像交于点(________，________)，(________，________)（用含b的代数式表示）；
②当伴随函数的对称轴在直线右侧时，求S与b之间的函数关系式；
（3）函数图像与它的伴随函数图像交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与x轴交于点Q，点A关千它的伴随函数对称轴的对称点为点，当是等腰直角三角形时，直接写出c的值．
【答案】
解：（1）把（3，0），（0，－3）代入中，
得 解得
∴伴随函数是.
（2）①解得
或，
伴随函数经过，
，
函数与它的伴随函数图象相交于点 ，
故答案为：，；
②由①知，
伴随函数经过，
，
函数的伴随函数是
令y=0，得



函数当时，.
当时，.
当时，.
（3）分两种情况讨论：
当b>0时，，
点A关于对称轴的对称点，
①当时，，等腰直角三角形中
；
②当时，，，，；
当b<0时，，
点A关于对称轴的对称点，
①当时，，等腰直角三角形中
；
②当时，，，，；
综上所述，c=1，－1，.
【点睛】
本题考查二次函数综合，其中涉及二次函数与ｘ轴的交点、二次函数的对称轴、二次函数与一次函数图象的交点、一次函数的解析式、二次函数的解析式、一元二次方程、等腰直角三角形、三角形面积、分类讨论法等知识，是重要考点，难度较难，掌握相关知识是解题关键．
6．（2021·山东九年级月考）在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”，已知抛物线与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）如图，点M为线段BC上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】
解：（1）抛物线，
其梦想直线的解析式为，
联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，
，，，
故答案为：；；；
（2）当点在轴上时，为梦想三角形，
如图，过作轴于点，过作轴于点，

则，，，
∴，
设N点坐标为：(0，y）（），则，
∵将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，
则有，即：，
解之得：，
∴N的坐标为：(0，）；
（3）在该抛物线的“梦想直线”上，存在点P，使△ACP为等腰三角形，
∵抛物线中，当时，，，
∴C的坐标为：(-3，0）；
设P点坐标为：(x，-x+1）
①如图示，

当时，即有
解之得：，，
∴P点坐标为：（0，1），（-2，3）（此点为A点，不合题意，舍去）
②如图示，

当时，即有
解之得：，，
∴，
∴P点坐标为：（，），（，）；
③如图示，

当时，作AC的垂直平分线KP，KP交AC于点K，
∴K的坐标为：（-2.5，1.5），
∵A的坐标为：（-2，3），C的坐标为：（-3，0），
∴，
∴，
∴，将（-2.5，1.5）代入，则
∴KP的解析式为：
联立梦想直线与直线KP的解析式可得，解得
∴P点坐标为：（，），
综上所述，P点坐标为：（0，1），（，），（，），（，）；
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、勾股定理、等腰三角形、矩形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中理解题目中梦想直线的定义是解题的关键，在（3）中进行分类讨论是解题的关键．
7．（2019·浙江绍兴市·）定义：如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A． B两点不重合)，如果△ABP中PA与PB两条边的三边满足其中一边是另一边倍，则称点P为抛物线的“好”点．
（1）命题：P(0，3)是抛物线的“好”点．该命题是_____（ 真或假）命题．
（2）如图2，已知抛物线C:与轴交于A，B两点，点P(1，2)是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点(异于点P)的坐标．

【答案】
解：（1）令，则或，即点、的坐标分别为：、，
则，，
则与两条边满足其中一边是另一边的倍，则该命题是假命题，
故答案为：假；
（2）将点的坐标代入抛物线表达式得：，
点，则点，，点，
则，，
①当时，
即，解得：方程无解；
②当时，
，
解得：，则，
故抛物线的表达式为：；
（3），则点、关于抛物线对称轴对称，
函数的对称轴为：，
则点的坐标为：，．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
8．（2019·江苏南京市·九年级期末）（如图 1，若抛物线 l1 的顶点 A 在抛物线 l2 上，抛物线 l2 的顶点 B 也在抛物线 l1 上（点 A 与点 B 不重合）．我们称抛物线 l1，l2 互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友 好”抛物线可以有多条．
（1）如图2，抛物线 l3： 与y 轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，则点 D 的坐标为 ；
（2）求以点 D 为顶点的 l3 的“友好”抛物线 l4 的表达式，并指出 l3 与 l4 中y 同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物线 y＝a1(x－m)2＋n 的任意一条“友好”抛物线的表达式为 y＝a2(x－h)2＋k， 写出 a1 与a2的关系式，并说明理由．

【答案】
解：（1）∵抛物线l3：，
∴顶点为（2，-1），对称轴为x=2，
设x=0，则y=1，
∴C（0，1），
∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，1）；
（2）解：设的函数表达式为
由“友好”抛物线的定义，过点


的函数表达式为
与中同时随增大而增大的自变量的取值范围是
（3）
理由如下：
∵ 抛物线与抛物线互为“友好”抛物线，

①+②得：


【点睛】
本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．
9．（2021·湖南长沙市·九年级其他模拟）若抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线l：y＝ax+b满足a2+b2＝2a（2c﹣b），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫做直线l的“干线”．
（1）若直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与y＝﹣的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式；

（3）已知“干线”y＝ax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l′：y＝ax+4a+b交于点A，B，记△ABP得面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】
解：（1）由题意a＝1，b＝﹣2，12+（﹣2）2＝2（2c+2），解得c＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+，
∵y＝x2﹣2x+
＝（x﹣1）2﹣，
∵a＝1＞0，
∴x＝1时，y有最小值，最小值为﹣．
（2）由题意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b） ①
∴抛物线y＝x2+bx+c的“支线”为y＝x+b，
由，消，消去y得到x2+bx+4c＝0，
∵抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与的图象只有一个交点，
∴△＝0，
∴b2﹣16c＝0 ②
由①②可得b＝﹣2， 或，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣或y＝﹣．
（3）是定值．理由如下：
不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），
由 得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝ ，|x1﹣x2|＝ ＝
把a2+b2＝2a（2c﹣b）代入上式化简得到|x1﹣x2|＝4，
∵AB∥PC，
∴S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═•CD•|Bx﹣Ax|＝•|4a|•4＝8•|a|，
∴＝8，的值是定值．

【点睛】
本题考查了二次函数综合题、一次函数的应用、反比例函数的性质、一元一次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，学会用分割法求三角形的面积．
10．（2021·河北九年级其他模拟）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，我们就说其中一条抛物线是另一条抛物线的“友好抛物线”，
（1）若抛物线的“友好抛物线”为，则与的数量关系为 ．与的数量关系为 ．
（2）若抛物线的“友好抛物线”为，则与的数量关系为 ．与的数量关系为 ．
（3）由以上分析，我们可以得到抛物线：的“友好抛物线”为： ．如图，若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，直线与抛物线相交于点、（点在点左侧），与抛物线相交于点、（点在点左侧）．
①若四边形为菱形，求线段的长（提示：已知直线和 ），若，则两直线垂直）；
②当四边形的面积为时，求的值．

【答案】
解：（1），；
（2），；
（3）
①
点

点
易得直线的解析式为
当四边形为菱形时，
直线经过原点
易得直线的解析式为
由题意可设点，点
当时
得，

②由题意可得，
四边形为平行四边形
设点
当四边形的面积为时，
如图，过点作轴于点

点不可能位于轴下方
即点必在第一象限
过点作轴交于点
过点作轴于点


①
又点在抛物线上
②
由①②式得
得
点在点左侧

将代入①式
解得．

【点睛】
本题主要考查二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质及两点距离公式是解题的关键．