专题14 圆锥曲线中的定值、定点、探索性问题（重难点突破）-【教育机构专用】2022年秋季高二上精品讲义（新教材人教A版）

专题14 圆锥曲线中的定值、定点与探索性问题一、考情分析1.点问题在2019全国III理21中出现，虽然以往全国卷高考题中出现较少，是圆锥曲线部分的小概率考点．但是在2019年出现，所以在2020年备考一定引起重视。定点问题是比较常见出题形式，题目属于中等偏简单题目。采取常规平民化解法，计算是暴力美学范畴。化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．2.在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引玉的作用．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值二、学法指导与考点梳理【直线过定点的解题策略】（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.（2）直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.【重要结论】1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点．4.只要任意一个限定AP与BP条件（如定值，定值），直线AB依然会过定点【定值问题的常见类型及解题策略】(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【知识拓展】1.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；2. 设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；3. 设点是抛物线C：一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；
三、重难点题型突破重难点题型突破1 定点问题例1.在平面直角坐标系中，已知椭圆．如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若∙，（i）求证：直线过定点；（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由．【解析】（Ⅰ）设直线，由题意，由方程组得，由题意，所以设，由韦达定理得所以由于E为线段AB的中点，因此此时所以OE所在直线方程为又由题设知D（－3，m），令=－3，得，即=1，所以当且仅当==1时上式等号成立，此时  由得因此  当时，取最小值2．（Ⅱ）（i）由（I）知OD所在直线的方程为将其代入椭圆C的方程，并由解得，又，由距离公式及得由因此，直线的方程为所以，直线（ii）由（i）得，若B，G关于x轴对称，则代入即，解得（舍去）或所以k=1，此时关于x轴对称。又由（I）得所以A（0，1）．由于的外接圆的圆心在x轴上，可设的外接圆的圆心为（d，0），因此故的外接圆的半径为，所以的外接圆方程为【变式训练1-1】(2017年新课标全国卷I20)已知椭圆：（），四点中恰有三点在椭圆上。（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为–1，证明：过定点。【解析】：（1）在椭圆上，则不在椭圆上，在椭圆上，，代入得，椭圆的方程为。（2）step1：设直线方程：i.当斜率存在时，设直线：，Step2：直线与曲线联立：与椭圆联立得：，Step3：利用根与系数的关系代入：设，，则，，整理得：，代入得，的方程为，过定点；ii.当直线的斜率不存在时，设，，由斜率之和为-1，得，得，此时的方程为，也过定点。【变式训练1-2】.(2017年新课标全国卷II20)设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足.（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且。证明：过点且垂直于的直线过的左焦点。【解析】：（1）（相关点法）设，知，，又，∴，又在椭圆上，∴，即。（2）设点，，，由已知：，，∴，∴．设直线：，因为直线与垂直．∴，故直线方程为，令，得，，∴，∵，∴，若,则，，，直线方程为，直线方程为，直线过点，为椭圆的左焦点．重难点题型突破2 定值问题例2.已知椭圆系方程： (， )， 是椭圆的焦点， 是椭圆上一点，且.（1）求的方程；[来源:学科网]（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于， 两点，点关于原点的对称点为，求证： 的面积为定值，并求出这个定值． 【解析】（1）由题意得椭圆的方程为： ，即 ．∵  ．∴，又为椭圆上一点，∴．，即，又，,∴椭圆的方程为 ．   （2）解：①当直线斜率存在时，设方程为,由消去y整理得，∵直线与椭圆相切，∴，整理得．  设，则，且，∴点到直线的距离，同理由消去y整理得，设，则， ， ．②当直线斜率不存在时，易知综上可得的面积为定值．【考点点睛】：①直线与抛物线交于，在轴上存在定点，使的斜率互为相反数(倾斜角互补或与斜率和为0.)。逆过来亦成立。即恒过定点。②过椭圆焦点的直线与椭圆交于，存在定点(对应准线与焦点所在轴的交点)，使的斜率互为相反数(倾斜角互补或与斜率和为0.)。逆过来亦成立。即恒过定点焦点。【变式训练2-1】.设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点 的坐标为。（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：。【解析】：（1）将代入椭圆方程得，得，∴，∴，∴直线的方程为：。（2）证明：step1：设直线方程：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设其方程为，，Step2：直线与曲线联立：联立椭圆方程有即，∴，，Step3：利用根与系数的关系代入：，∴，∴。【变式训练2-2】.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求的方程；（2）是否存在直线与相交于，两点，且满足：①与（为坐标原点）的斜率之和为2；②直线与圆相切，若存在，求的方程；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由已知得，，解得，，∴椭圆的方程为．（2）把代入的方程得，设，，则，①，由已知得，∴②，把①代入②得，即③，又，由，得或，由直线与圆相切，则④，③④联立得（舍去）或，∴，∴直线的方程为．重难点题型突破3 探索性问题例3．（2020届陕西省汉中市高三质检）如图，椭圆的长轴长为，点、、为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，过中心，且，．（1）求椭圆的标准方程；（2）设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点（异于、），且满足，试讨论直线与直线斜率之间的关系，并求证直线的斜率为定值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）利用题中条件先得出的值，然后利用条件，结合椭圆的对称性得到点的坐标，然后将点的坐标代入椭圆方程求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件得到直线与的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线的方程为，将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，注意到直线与的斜率之间的关系得到点的坐标，最后再用斜率公式证明直线的斜率为定值.（1），，又是等腰三角形，所以，把点代入椭圆方程，求得，所以椭圆方程为；（2）由题易得直线、斜率均存在，又，所以，设直线代入椭圆方程，化简得，其一解为，另一解为，可求，用代入得，，为定值.【变式训练3-1】．（2020届陕西省咸阳市高三第二次模拟）已知椭圆过点，且其离心率为，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别相交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在圆心在原点的定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在；定圆【解析】（1）椭圆经过点，∴，又∵，解之得，.所以椭圆的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.∵，在椭圆上，∴，∴.∴到直线的距离为，所以.当直线的斜率存在时，设的方程为，由得.设，，则，.∵，∴，∴.∴，即.∴到直线的距离为，故存在定圆与直线总相切.四、课堂定时训练（45分钟）1．已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且.（1）求的值；（2）已知点为上一点，，是上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）4；（2）证明过程见解析，直线恒过定点.【解析】（1）设，由抛物线定义知，又，，所以，解得，将点代入抛物线方程，解得.（2）由（1）知，的方程为，所以点坐标为，设直线的方程为，点，，由 得，.所以，，所以，解得，所以直线的方程为，恒过定点．【名师点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题.（1）设点坐标，根据抛物线的定义得到点横坐标，然后代入抛物线方程，得到的值；（2），，直线和曲线联立，得到，然后表示出，化简整理，得到和的关系，从而得到直线恒过的定点.2.已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且.（1）求的值；（2）已知点为上一点，，是上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）4；（2）证明过程见解析，直线恒过定点.【解析】（1）设，由抛物线定义知，又，，所以，解得，将点代入抛物线方程，解得.（2）由（1）知，的方程为，所以点坐标为，设直线的方程为，点，，由 得，.所以，，所以，解得，所以直线的方程为，恒过定点．【名师点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题.（1）设点坐标，根据抛物线的定义得到点横坐标，然后代入抛物线方程，得到的值；（2），，直线和曲线联立，得到，然后表示出，化简整理，得到和的关系，从而得到直线恒过的定点.3．已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形。（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，   （ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；   （ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。【解析】（Ⅰ）由题意知，设，则的中点为因为，由抛物线的定义可知，解得或（舍去）由，解得．所以抛物线的方程为．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，设．因为，则，由得，故，故直线的斜率因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线的方程得，由题意，得设，则，当时，，可得直线的方程为，由，整理得，直线恒过点当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点．（ⅱ）由（ⅰ）知直线过定点，所以。设直线的方程为，因为点在直线上故．设，直线的方程为由于，可得，代入抛物线的方程得所以，可求得，所以点到直线的距离为==则的面积，当且仅当即时等号成立，所以的面积的最小值为．4.如图,点,分别为椭圆的左右顶点,为椭圆上非顶点的三点,直线的斜率分别为,且,,.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）判断的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,请说明理由.【分析】（Ⅰ）设,则,而,所以 （Ⅱ）根据弦长公式求底边的长,根据点到直线距离公式求底边上的高,因此设直线的方程为,由直线方程与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理得,根据斜率条件及韦达定理得,高为 ,代入面积公式化简得【解析】（Ⅰ）椭圆.（Ⅱ）设直线的方程为,,,,,,,,,,,.的面积为定值1.【点评】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．