课时作业(二十二) 直线与椭圆的位置关系

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1．直线y＝x＋1被椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1所截得的弦的中点坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(5,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(7,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,2)，－\f(17,2)))
2．若直线y＝kx＋2与椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1相切，则斜率k的值是( )
A.eq \f(\r(6),3) B．－eq \f(\r(6),3)
C．±eq \f(\r(6),3) D．±eq \f(\r(3),3)
3．已知斜率为2的直线l经过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点F1，与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝( )
A.eq \r(5) B．3
C．2eq \r(5) D.eq \f(5\r(5),3)
4．已知椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y＝1相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若直线OM的斜率为eq \r(2)，则eq \f(n,m)的值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(1,2)
C.eq \r(2) D．2
5．直线y＝kx＋2与焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)恒有两个公共点，则实数b的取值范围是________．
6．已知椭圆的两焦点为F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，离心率e＝eq \f(\r(3),2).
(1)求此椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝x＋m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．
[提能力]
7．(多选)下列曲线中与直线x＋y－eq \r(5)＝0仅有一个交点的曲线是( )
A．x2＋y2＝eq \f(5,2) B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1
C．x2＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)＋y2＝1
8．过点M(1,1)作斜率为－eq \f(1,2)的直线与椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
9．已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(6),3)，焦距为2eq \r(2)，斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A、B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值．
[战疑难]
10．椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上的点M(x，y)到直线l：x＋2y＝4的距离最大值为________，最小值为________．
课时作业(二十二)
1．解析：把y＝x＋1代入椭圆方程，整理得3x2＋4x－2＝0，所以弦的中点坐标(x0，y0)满足x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝－eq \f(2,3)，y0＝x0＋1＝－eq \f(2,3)＋1＝eq \f(1,3).
答案：C
2．解析：把y＝kx＋2代入eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1得，(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆相切，所以Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±eq \f(\r(6),3).故选C.
答案：C
3．解析：因为直线l经过椭圆的右焦点F1(1,0)，且斜率为2，则直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－2＝0，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1))得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(5,3)，x1x2＝0，所以|AB|＝eq \r(1＋22\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))2－4×0)))＝eq \f(5\r(5),3).故选D.
答案：D
4．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0)，
由题意可得eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq \f(y0,x0)＝eq \r(2)，eq \f(y2－y1,x2－x1)＝－1，①
因为A，B在椭圆上，
所以mxeq \\al(2,1)＋nyeq \\al(2,1)＝1，mxeq \\al(2,2)＋nyeq \\al(2,2)＝1，
两式相减可得m(x1－x2)(x1＋x2)＋n(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(mx1＋x2,ny1＋y2)，②
由①②可得－1＝－eq \f(mx1＋x2,ny1＋y2)，
所以－1＝－eq \f(m,n)·eq \f(\r(2),2)，即eq \f(n,m)＝eq \f(\r(2),2).故选A.
答案：A
5．解析：直线恒过定点(0,2)，要保证直线与椭圆有两个公共点则定点需在椭圆内，所以eq \f(0,16)＋eq \f(4,b2)<1，解得b>2，又因为椭圆的焦点在x轴上，所以b答案：(2,4)
6．解析：(1)由题意设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
则c＝eq \r(3)，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，
所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
所以所求椭圆方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,x2＋4y2＝4))消去y，
得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，
则Δ＝64m2－80(m2－1)>0，得m2<5.(*)
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝－eq \f(8m,5)，x1x2＝eq \f(4m2－1,5)，
y1－y2＝x1－x2，
|PQ|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)
＝eq \r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8m,5)))2－\f(16m2－1,5))))
＝2.
解得m2＝eq \f(15,8)，满足(*)．
所以m＝±eq \f(\r(30),4).
7．解析：A中，圆心(0,0)到直线x＋y－eq \r(5)＝0的距离为eq \r(\f(5,2))等于半径，故直线与圆相切，有一个交点，A正确；
B中，联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1,x＋y－\r(5)＝0))得13x2－18eq \r(5)x＋9＝0，Δ≠0，故不满足题意，B不正确；
C中，联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋\f(y2,4)＝1,x＋y－\r(5)＝0))得5x2－2eq \r(5)x＋1＝0，Δ＝0，故满足题意，C正确；
D中，联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1,x＋y－\r(5)＝0))得5x2－8eq \r(5)x＋16＝0，Δ＝0，故满足题意，D正确．
故选ACD.
答案：ACD
8．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
且kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2)，把A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1， ①,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1， ②))
①—②得：
eq \f(x1＋x2x1－x2,a2)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,b2)＝0，
整理得eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
9．解析：(1)由题意得2c＝2eq \r(2)，所以c＝eq \r(2)，
又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，所以a＝eq \r(3)，所以b2＝a2－c2＝1
所以椭圆M的标准方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1；
(2)设直线AB的方程为y＝x＋m，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m,\f(x2,3)＋y2＝1))消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＝48－12m2>0，即m2<4，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(3m,2)，x1x2＝eq \f(3m2－3,4)，
则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \f(\r(6)×\r(4－m2),2)，
易得当m2＝0时，|AB|max＝eq \r(6)，故|AB|的最大值为eq \r(6).
10．解析：令直线m：x＋2y＋c＝0，将x＝－2y－c代入椭圆方程，整理得8y2＋4cy＋c2－4＝0，由Δ＝0，解得c＝±2eq \r(2).
设当c＝－2eq \r(2)时，直线m：x＋2y－2eq \r(2)＝0与椭圆相切于点P，则点P到直线l的距离为d的最小值，且最小值就是两平行直线m与l的距离，所以dmin＝eq \f(4\r(5)－2\r(10),5)；
设当c＝2eq \r(2)时，直线m：x＋2y＋2eq \r(2)＝0与椭圆相切于点Q，则点Q到直线l的距离为d的最大值，且最大值就是两平行直线m与l的距离，所以dmax＝eq \f(4\r(5)＋2\r(10),5).
答案：eq \f(4\r(5)＋2\r(10),5) eq \f(4\r(5)－2\r(10),5).