初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式习题

专题01二次根式的概念和性质（知识点考点大串讲）

【知识点考点--思维导图】

◉知识点一：二次根式的定义

技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（?≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

【注意】

1.二次根式，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。

2.二次根式是一个非负数。

3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（?≥0）就表示a的算术平方根。

◎考点1：二次根式的值

例1．（2021·湖南衡阳市·九年级期末）下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．

【详解】

；解：A. 与不能合并计算，故选项错误；

B. ，故选项正确；

C. 与不能合并计算，故选项错误；

D. ，故选项错误；

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次根式的计算，熟悉相关性质是解题的关键．

练习1．（2020·河南八年级期末）已知当时，代数式的值是（      ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行分析运算即可.

【详解】

解：∵，

∴.

故选：C.

【点睛】

本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键.

练习2．（2019·四川绵阳市·八年级期末）关于二次根式的说法中，正确的是（    ）

A．为正整数 B．为正数 C．是整数 D．是非负数

【答案】D

【分析】

根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性解答即可．

【详解】

解：对于二次根式，则，

所以a是非负数，是非负数．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次根式的定义，属于基础题型，明确二次根式中的两个非负（）是关键．

练习3．（2020·山东菏泽市·八年级期末）当 x＝－3 时，二次根式的值为（    ）

A．3 B．－3 C．±3 D．

【答案】A

【分析】

把x＝－3代入二次根式进行化简即可求解.

【详解】

解：当x＝－3时，.

故选A.

【点睛】

本题考查了二次根式的计算，正确理解算术平方根的意义是关键.

◎考点2：求二次根式中的参数

例1．（2021·河南周口市·九年级期末）在式子，，，，，中二次根式有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

【分析】

根据二次根式的定义解答即可

【详解】

，，故是二次根式；是二次根式；，则，故不是二次根式；，则故是二次根式；不是二次根式；，，故是二次根式；是多项式，故不是二次根式；

综上所述，是二次根式的式子一共有4个

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义即形如“”这样的式子是二次根式是解题关键．

练习1．（2021·全国八年级）若是正整数，最小的正整数n是（    ）

A．6 B．3 C．4 D．2

【答案】B

【分析】

根据题意，算数平方根是正整数，可得被开方数是能开方的正整数．

【详解】

由，是正整数，所以n 的最小正整数是3，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了二次根式的定义，利用开方运算是解答本题的关键．

练习2．（2020·广东佛山市·八年级月考）下列说法：π的相反数是-π；若，则x=；若a为实数，则a的倒数是；④若=-x,则x<0．其中正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】

根据相反数、绝对值、倒数及二次根式的性质进行求解即可．

【详解】

解：①π的相反数是-π，故正确；②若，则x=，故错误；③若a为实数，则a的倒数是（除了0以外），故错误；④若=-x，则，故错误；所以正确的有1个；

故选A．

【点睛】

本题主要考查相反数、绝对值、倒数及二次根式的性质，熟练掌握相反数、绝对值、倒数及二次根式的性质是解题的关键．

练习3．（2020·眉山市东坡区苏辙中学九年级月考）若|x+2|+＝0，则的值为（　　）

A．5 B．﹣6 C．6 D．36

【答案】C

【分析】

先根据非负数的性质求出x、y，然后把x、y的值代入所求式子根据算术平方根的定义解答即可．

【详解】

解：∵|x+2|+＝0，

∴x+2＝0，y－3=0，解得：x=﹣2，y=3，

∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查了非负数的性质和算术平方根的定义，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．

◉知识点二：二次根式有意义的条件

技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

例1．（2021·广东八年级专题练习）二次根式有意义，那么的取值范围是（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据分式及二次根式有意义的条件即可解答．

【详解】

由题意得，

解得，

故选B．

【点睛】

本题考查了二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式及分式有意义的条件是解题的关键.

练习1．（2021·广东广州市·九年级一模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

二次根式中被开方数大于等于0，由此即可求解．

【详解】

解：由题意可知：，

故，

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，计算过程中细心即可．

练习2．（2021·湖北黄石市·中考真题）函数的自变量的取值范围是（    ）

A． B． C．且 D．且

【答案】C

【分析】

根据被开方数大于等于0，分母不为0以及零次幂的底数不为0，列式计算即可得解．

【详解】

解：函数的自变量的取值范围是：

且，

解得：且，

故选：C．

【点睛】

本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

练习3．（2021·天津八年级期中）如果是二次根式，那么x应满足的条件是（　　）

A．x＝ B．x＜ C．x≤ D．x≥

【答案】C

【分析】

根据二次根式有意义的条件可知3-2x≥0，解出x的范围即可．

【详解】

解：由题意可知：3﹣2x≥0，

∴x≤．

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次根式的意义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件．

◉知识点三：二次根式的性质和化简

技巧：二次根式的性质：

1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。

2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。

3．当a≧0时，

◎考点3：二次根式的:性质化简

例1．（2021·江苏八年级专题练习）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简-|a+b|的结果为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先判断的值的范围，再确定的符号，再利用二次根式的性质与绝对值的性质化简，最后合并即可得到答案．

【详解】

解：根据题意可知，a＜0，|a|＞|b|，b＞0，

＜

∴

故答案为：A．

【点睛】

本题考查的是利用数轴比较实数的大小，绝对值的化简，二次根式的性质，掌握二次根式的化简是解题的关键．

练习1．（2021·江苏八年级专题练习）下列计算正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

利用合并同类二次根式判断 利用判断 利用分母有理化判断 从而可得答案．

【详解】

解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；

B．和不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意；

C．，故C符合题意；

D．，故D不符合题意．

故答案为：C．

【点睛】

本题考查的是合并同类二次根式，二次根式的化简，分母有理化，掌握二次根式的运算与化简是解题的关键．

练习1．（2021·江苏八年级专题练习）下列运算中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

用算术平方根知识求解各项，逐项判断即可．

【详解】

A.，不符合题意  

B.，不符合题意；

C.，符合题意；

D.，不符合题意．

故选C．

练习2．（2021·广东八年级专题练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（      ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据数轴上点的位置确定出a与a-b的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简即可求出值．

【详解】

解：根据数轴上点的位置得：a＜0＜b，

∴a-b＜0，

则原式=|a|+|a-b|=-a+b-a= -2a+b．

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

◎考点4：复合二次根式的化简

技巧：二次根式的性质：

（1）

（2）

例1．（2019·上海市民办嘉一联合中学八年级月考）对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

直接利用二次根式的性质化简求出答案．

【详解】

解：由题意可得：，∴

∴

故选：C

【点睛】

此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．

练习1．（2021·湖北咸宁市·八年级月考）化简二次根式的正确结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简．

【详解】

解：由题意可得：x＜0

∴

故选：D．

【点睛】

本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．

练习2．（2020·温州市第十二中学七年级期中）下列计算正确的一项是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据算术平方根和平方根的定义求出每个式子的值即可判断.

【详解】

A、，故该选项计算错误；

B、，故该选项计算正确；

C、，故该选项计算错误；

D、，故该选项计算错误；

故选：B

【点睛】

本题考查算术平方根和平方根的计算，主要考查学生的计算能力和理解能力.

练习3．（2020·河南郑州市·郑州外国语中学八年级月考）把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【分析】

由题意易得x>2，然后根据二次根式的性质可进行求解．

【详解】

解：由题意得：

，解得：x>2，

∴；

故选D．

【点睛】

本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．