专题16 平行线的证明-2021-2022学年八年级数学上册课堂讲义（北师大版）

学科教师辅导教案
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授课类型
T
C
T
授课日期及时段

教学内容
平行线的证明
【知识导图】



教学过程


一、导入


如下图，先观察，再验证.
(1)图(1)中，三角形的边是直的还是弯曲的？
(2)图(2)中，两条线段a与b哪一条更长？
(3)图(3)中，直线AB与直线CD平行吗？

_

二、知识讲解


考点1 证明的必要性


上图中
(1)三角形的边是直的；（2）a和b一样长.（3）AB和CD是平行的.
理由：
(1)受周围同心圆的影响，容易把三角形的边看成是弯曲的，但用直尺验证的结果是直的.
(2)受两边斜线的影响，容易看成线段a比线段b长，验证后发现a和b一样长.
(3)受两条直线上斜线的影响，容易看成AB和CD不平行，验证后发现AB和CD是平行的.
结论:(1)通过实验、观察、归纳得到的结论是否都正确?怎样判断一个结论是否正确呢?
(2)总结:实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确,因此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的,必须进行有根有据的证明.

考点2 定义与命题


(1)公理:人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据.这样公认为正确的命题叫做公理.
例如:“两点之间线段最短”,“三边分别相等的两个三角形全等”,“过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”……
(2)定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.
定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据.


考点3 平行线的判定与性质


一、1.证明一.
(1)出示定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简述为:内错角相等,两直线平行.
(2)证明这个定理需要先把定理转化成几何语言,谁能说一说,怎么转化?
(画出两条直线a、b,被第三条直线c所截,标出内错角∠1、∠2,表示如果∠1=∠2,那么a∥b)
(3)怎么证明呢?请写出完整的证明过程.
已知:如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2.
求证:a∥b.

证明:∵∠1=∠2(已知),∠1=∠3(对顶角相等),∴∠3=∠2(等量代换).∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
2.证明二.
(1)出示定理:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简述为:同旁内角互补,两直线平行.
(2)让学生利用证明定理一的经验自主证明定理二.
(3)讨论:要由同旁内角互补证明两直线平行,要怎么证明?
(我们知道有定理“同位角相等,两直线平行”,如果能由同旁内角互补推出同位角相等,那么根据已有的这个定理就能证明出两直线平行)
(4)学生板书证明过程.
3.变式训练,培养能力.(出示投影)
(1)如图1所示,由∠DCE=∠D,可判断哪两条直线平行?由∠1=∠2,可判断哪两条直线平行?

(2)如图2,已知∠1=45°,∠2=135°,l1∥l2吗?为什么?
学生活动:学生思考后回答问题.教师给以指正并启发、引导得出各种答案.
二、
1.证明:两直线平行,同位角相等.
(1)引导学生画出两条平行线(说一说:平行线怎么画?)被第三条线所截,并标出同位角,如图所示:
(2)用几何语言描述这样的证明题.
已知:直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角.求证∠1=∠2.
(3)尝试证明.
思考:如果直接进行证明的话,难以找到能够作为依据的相关事实、定理,该怎么办?(提示学生可以用反证法,假设结论错误,再从错误的结论出发推出与定理、事实相矛盾的地方,说明假设不成立,从而得证.)
提问:如果∠1≠∠2,那么是否存在另外一条直线,它被第三条直线所截的∠2的另一同位角∠1',有∠1'=∠2呢?(有)
如果有,是否意味着这条直线和CD平行?(是的,同位角相等,两直线平行)
这条直线可以是任意一条,也就是说我们可以过M点(AB与EF相交于点M)画这样的一条直线,此时我们发现过M点有两条直线与CD平行,这可能吗?(不可能,过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行)
这样看来假设不能成立,说明什么?(∠1=∠2)
(4)学生根据讨论、交流,板书证明过程.
证明:假设∠1≠∠2,那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2,如图所示.

根据“同位角相等,两直线平行”,可知GH∥CD.
又因为AB∥CD,这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不成立,所以∠1=∠2.

2.证明:两直线平行,内错角相等.
(1)已知:如图,直线l1∥l2,∠1和∠2是直线l1,l2被直线l截出的内错角.
求证:∠1=∠2.
(2)尝试证明.
提示:我们已经证明了两直线平行,同位角相等,可以将这个作为基本的事实(定理),进行论证.在证明时,通过构建新角等方法,尽可能应用到已有的定理,从而进行论证.
板书证明过程:
证明:∵l1∥l2(已知),
∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等).
又∠2=∠3(对顶角相等),
∴∠1=∠2(等量代换).
3.证明:两直线平行,同旁内角互补.
学生已有了相关证明的经验,放手让学生自我证明,再全班交流,集体订正.
4.师:请你对比这些平行线的性质与前面所学的平行线的判定,它们有什么不同?请大家填写下面的表格,加以对比.

条件
结论
平行线
的性质






判定平行
的判定







　　生填表,并讨论.

条件
结论
平行线
的性质
两直线平行
同位角相等
两直线平行
内错角相等
两直线平行
同旁内角互补
判定平行
的判定
同位角相等
两直线平行
内错角相等
两直线平行
同旁内角互补
两直线平行

师生共同总结:
两直线平行性质判定
判定:角的关系⇒线的关系
性质:线的关系⇒角的关系
5.思考:完成一个命题的证明,需要哪些主要环节?
(1)根据题意画出图形(若已给出图形,则可省略);
(2)根据题设和结论,结合图形,写出已知和求证;
(3)经过分析,找出已知得出求证的途径,写出证明过程;
(4)检查证明过程是否正确完善.
三、解决问题
师:学会了平行线的性质,我们就利用性质解决一些问题.(投影出示)
1.如图,AB∥CD,AC∥BD.分别找出与∠1相等或互补的角.
生:画图,找出所有与∠1相等或互补的角.与∠1相等的角有7个,与∠1互补的角有8个,用性质说明它们相等或互补的理由.

第1题图

第2题图

2.如图,一条公路两次拐弯后,和原来的方向相同,第一次拐的角∠B是130°,第二次拐的角∠C是多少度?
生:方向相同说明两条直线平行,根据两直线平行,内错角相等可得,∠C=∠B=130°.


三 、例题精析


类型一检验数学结论的常用方法
A. B. C. D四个同学猜测他们之中谁被评为三好学生。
A说：“如果我被评上，那么B也被评上。”B说：“如果我被评上，那么C也被评上。”C说：“如果D没评上，那么我也没评上。”实际上他们之中只有一个没被评上，并且A. B. C说的都是正确的。则没被评上三好学生的是______.
【解析】A
【总结与反思】由于A. B. C说的都是正确的，所以不妨假设A被评上了，则B也被评上，
而B被评上C也被评上，而C被评上，D也被评上，所以假设不成立；
可假设A没被评上，而B被评上了，
而B被评上C也被评上，而C被评上，D也被评上，符合A. B. C都是正确的说法，所以假设成立；
故没被评上的是A.
故选A.
类型二 定义和命题
2、下列语句中,是命题的是（ ）
A. 两点确定一条直线吗 B. 在线段AB上任取一点
C. 作∠A的平分线AM D. 两个锐角的和大于直角
【解析】D
【总结与反思】A. 错误，没对这件事情做出判断； B. 错误，没有结论；
C. 错误，没有结论； D. 正确。
类型三 利用“三线八角”判定两直线平行
1、如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（ ）
A.当∠1=∠2时，一定有a∥b B.当a∥b时，一定有∠1=∠2
C.当a∥b时，一定有∠1+∠2=90° D.当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b

【解析】D
【总结与反思】本题主要考查两直线平行的性质和判定.
考点四：综合运用平行线判定方法证明两直线平行
如图所示，不能判定AD∥BC的条件是（ ）
A.∠2=∠3 B.∠1=∠4 C.∠DAB+∠ABC=180° D.∠ADC+∠BCD=180°

【解析】B
【总结与反思】本题主要考查两直线平行的判定.
考点五：平行线的性质的应用
如图，DH∥EG∥BC，DC∥EF，那么与∠EFB相等的角(不包括∠EFB)的个数为（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

【解析】D
【总结与反思】本题主要考查两直线平行的性质.

考点六：平行线判定与性质的综合应用
如图，BE平分∠ABC，DE∥BC，图中相等的角共有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对

【解析】C
【总结与反思】本题主要考查两直线平行的性质.

四 、课堂运用



基础



1、下列推理正确的是（ ）
A. 如果a>b，b>c，则a>c B. 若a>b，则ac>bc
C. 因为∠AOB=∠BOC，所以两角是对顶角 D. 因为两角的和是180∘，所以两角互为邻补角
2.下列命题中，为真命题的是（ ）
A. 对顶角相等　　　B. 同位角相等
C. 若，则a=b　　D. 若a>b，则−2a>−2b
3.如图，直线、被直线、所截，下列条件中，不能判断直线∥的是（ ）
A.∠1=∠3 B.∠5=∠4 C.∠5+∠3=180° D.∠4+∠2=180°

答案与解析
1. 【答案】A
【解析】A，符合不等式的性质，正确； B，cb，则−2ab，b>c，则a>c
C. ∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小也差不多
D. 因为对顶角必然相等，所以相等角也必是对顶角。
2、下列说法正确的是（ ）
A. 互补的两个角是邻补角 B. 两直线平行，同旁内角相等
C. “同旁内角互补”不是命题 D. “相等的两个角是对顶角”是假命题
3.如图，能判定EB∥AC的条件是（ ）
A.∠C=∠ABE B.∠A=∠EBD C.∠C=∠ABC D.∠A=∠ABE

答案与解析
1. 【答案】B
【解析】A. 错误，因为哥哥和弟弟的年龄同时增长； B. 正确，如果a>b，b>c，则a>c，正确；
C. 错误，两角相等它们看起来应一样大； D. 错误，不符合对顶角的定义。
故选B.
2.【答案】Ｄ
【解析】A. 有公共顶点，且有一条公共边，另一条边分别互为反向延长线，这样的两个角叫邻补角，错误；
B. 两直线平行，同旁内角互补，错误；
C. 判断一件事情的语句叫命题。“同旁内角互补”是命题，错误；
D. “相等的两个角是对顶角”是错误的命题，所以是假命题，正确；故选D.
3. 【答案】D
【解析】本题主要考查平行线的判定定理

巩固


1.学习平行线后，小敏想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行先的一种方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图，小敏画平行线的依据是


2.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90∘,∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE∥DF.

3.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F，EG平分∠BEF，若∠1=62°，则∠2= ．

4.看图填空：

(1)看图1，完成证明：
∵∠A+∠D=180°(已知)
∴______ ∥______
∴∠1=______
∵∠1=65°(已知)
∴∠C=65°____
(2)看图2，已知，∠ADC=∠ABC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，且∠1=∠2，求证：∠A=∠C.
证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC(已知)
∴∠1= ∠ABC,∠3= ∠ADC______
∵∠ABC=∠ADC(已知)
∴∠ABC= ∠ADC______
∴∠1=∠3______
∵∠1=∠2(已知)
∴∠2=∠3______
∴______∥______
∴∠A+∠______=180°,
∠C+∠______=180°_____
∴∠A=∠C______ .

答案与解析
1.【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】本题主要考查平行线的判定定理
2. 【答案】【答案】
∵四边形ABCD中,∠A=∠C=90∘，∴∠ABC+∠CDA=180∘，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=90∘，∵∠A=90∘，∴∠1+∠AEB=90∘，
∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠3，∴BE∥FD.
【解析】本题主要考查两直线平行的证明.
3.【答案】59度
【解析】本题主要考查平行线的性质定理
4. 【答案】证明：(1)∵∠A+∠D=180∘,(已知) ∴AB∥CD，∴∠1=∠C,(两直线平行,内错角相等)
∵∠1=65°,(已知) ∴∠C=65°(等量代换)
(2)∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC(已知)
∴∠1= ∠ABC,∠3= ∠ADC,(角平分线的性质)
∵∠ABC=∠ADC(已知) ∴∠ABC= ∠ADC,(等量代换)
∴∠1=∠3,(等量代换) ∵∠1=∠2,(已知) ∴∠2=∠3,(等量代换)
∴AB∥CD， ∴∠A+∠ADC=180°,∠C+∠ADC=180°,(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠A=∠C(等量代换).
【解析】本题综合考查平行线的性质与判定的证明.

拔高


1.如图
（1）∵∠ABD=∠BDC（已知），∴　　　　 ∥　　　　 ，（　　　　　　  ）；
（2）∵∠DBC=∠ADB（已知），∴　　　　 ∥　　　　 ，（　　　　　　 ）；
（3）∵∠CBE=∠DCB（已知），∴　　　　 ∥　　　　 ，（　　　　　　 ）；
（4）∵∠CBE=∠A，（已知），∴　　　　  ∥　　　　 ，（　　　　　　 ）；
（5）∵∠A+∠ADC=180º（已知），∴　　    ∥　　    ，（　　　　　　 ）；
 （6）∵∠A+∠ABC=180º（已知），∴　　    ∥　　    ，（　　　　　　   ）.

2.如图所示，点B、E分别在AC、DF上，BD、CE均与AF相交，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．




3.如图，在图a、图b、图c中都有直线m∥n，
（1）在图a中，∠2和∠1、∠3之间的数量关系是 。
（2）猜想：在图b中，∠1、∠2、∠3、∠4之间的数量关系是 。
（3）猜想：在图c中，∠2、∠4和∠1、∠3、∠5的数量关系式是 。

答案与解析
1.【答案】（1）CD∥AB，内错角相等，两直线平行；（2）AD∥BC，内错角相等，两直线平行；
（3）CD∥BE，内错角相等，两直线平行；（4）AD∥BC，同位角相等，两直线平行.
（5）AB∥CD，同旁内角互补，两直线平行；（6）AD∥BC，同旁内角互补，两直线平行.
【解析】本题主要考查平行线的判定定理
2. 【答案】证明：
∵∠2=∠3，∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴BD∥CE，
∴∠C=∠ABD；又∵∠C=∠D，∴∠D=∠ABD，
∴AB∥EF，∴∠A=∠F．
【解析】本题主要考查平行线的性质与判定的综合应用.
3. 【答案】（1）∠2＝∠1＋∠3 ；
（2）∠2＋∠4＝∠1＋∠3
（3）∠2 ＋∠4＝∠1＋∠3－∠5+180°.
【解析】（1）过∠2的顶点作直线m、n的平行线，即可得出∠2＝∠1＋∠3 ；
（2）仿（1）可知：∠2-∠1＝∠3-∠4；
（3）同理在图C中，∠2 ＋∠4＝∠1＋∠3－∠5+180°.