专题06 二次根式的运算-2021-2022学年八年级数学上册课堂讲义（北师大版）

学科教师辅导教案学员编号：                       年    级：               课 时 数：学员姓名：                       辅导科目：               学科教师：授课类型TC T授课日期及时段 教学内容二次根式的运算【知识导图】    同学甲说：，与 不是“一家人”为什么呢？学习了本节课内容后，相信大家一定找到满意的答案     【教学建议】  问题1 ：，，，，（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征? 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数.一般地，式子叫做二次根式.a叫做被开方数．强调条件：．  问题2：二次根式怎样进行运算呢?  答：这是我们本节课要解决的新问题．意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础． （一）内容：通过探究得出，．具体过程如下：（1）＝　　　，＝　　　； ＝　　　　，＝        ；  ＝     ，＝      ；  ＝       ，＝        ．问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？意图：最终归纳出（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0）．说明：公式中字母a≥0，b≥0（或b＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略．（2）用计算器计算：＝　　　　，＝　　　；＝      ，＝      ．反过来（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0）仍成立.    例1  化简（1）；（2）；（3）.观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式呈现了有关结论.被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数。一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。 化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。例2.化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．答案：（1）；（2）； （3）；（4）；（5）． 问题：    （1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断是最简二次根式的？    （2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号．反思：以上化简过程有何规律呢？希望学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面．从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简．  将二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式.二次根式的加减（1）化成最简二次根式    （2）找出同类二次根式    （3）合并同类二次根式——将系数相加仍作系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简 — 判断 — 合并 注意：（1）化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分。（2）整式加法运算中的交换律、结合律、去括号、添括号法则在二次根式运算中仍然适用。（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式。  二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大简化。注意：在进行二次根式的计算时，能用乘法公式的要尽量适用  类型一 二次根式1．要使根式有意义，则字母x的取值范围是______．【解析】【总结与反思】二次根式的定义类型二 二次根式的性质1.能使等式成立的x的取值范围是（  ）A．x≠2       B．x≥0        C．x＞2        D．x≥2【解析】C由题意可得，，解得x＞2.【总结与反思】二次根式的性质.2.下列计算正确的是(   )A.   B.   C.   D.   【解析】A【解析】A. ，正确； B不是同类二次根式不能合并，错误；C，错误； D，错误．故选A．【总结与反思】 二次根式的性质类型三 最简二次根式下列根式中属最简二次根式的是（  ）A．  B．   C.     D. 【解析】AA、是最简二次根式，符合题意；B、，故不是最简二次根式，故此选项错误；C、，故不是最简二次根式，故此选项错误；D、，故不是最简二次根式，故此选项错误；    故选A．【总结与反思】最简二次根式的定义类型四 同类二次根式在下列各组根式中，是同类二次根式的是（  ）．A．和    B．和     C．和    D．和【解析】B  A、∵，∴和不是同类二次根式；B、∵，∴和是同类二次根式；C、，，∴和不是同类二次根式；D、和不是同类二次根式，故选：B．【总结与反思】同类二次根式的判定类型五 二次根式的混合运算计算（+）（-）的结果为           ．【解析】-1根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2,(+)(-)=()²-()²=-1【总结与反思】混合运算顺序及整式乘法公式.    当x______时，式子有意义． 若有意义，则a能取得的最小整数值是______．若有意义，则______．下列二次根式中，属于最简二次根式的是(    )(A) (B) (C) (D)5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是(    )(A) (B) (C) (D)6.计算下列各式（1） (2)      答案与解析1.【答案】【解析】二次根式的定义及代数式有意义的条件.2.【答案】0【解析】二次根式的定义3.【答案】1【解析】二次根式的定义4.【答案】D【解析】简二次根式的定义5.【答案】D【解析】同类二次根式的判定6 【答案】（1）24;（2）【解析】（1）原式= （2）原式=   1．要使根式有意义，则字母x的取值范围是______．2．在下列各组根式中，是同类二次根式的是(    )(A)和 (B)和 (C)和 (D)和3．下列各组式子中，不是同类二次根式的是(    )(A)与 (B)与 (C)与 (D)与4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是(    )(A) (B) (C) (D)5.计算下列句式. (1) (2)   答案与解析1.【答案】且x≠－2 【解析】二次根式的定义及代数式有意义的条件.2.【答案】B【解析】同类二次根式的判定.3.【答案】C【解析】同类二次根式的判定4.【答案】D【解析】同类二次根式的判定5.【答案】（1）6;(2) 【解析】(1)原式=(2)原式=  1.x为实数，下列式子一定有意义的是(    )(A) (B) (C) (D)2．计算的结果是(    )(A)3 (B) (C) (D)3．在二次根式中同类二次根式的个数为(    )(A)4 (B)3 (C)2 (D)14.计算下列各式 (1)                 (2)答案与解析1.【答案】D【解析】代数式有意义的条件.2.【答案】B【解析】二次根式的运算3.【答案】C【解析】同类二次根式的判定.4.【答案】（1）;（2）【解析】（1）原式=（2）原式=   本节讲了4个重要内容：1.二次根式的定义2.二次根式的性质3.最简二次根式    4.同类二次根式   1．使式子有意义的实数x的取值范围是(    ) (A)x≥1 (B)x＞1且x≠－2 (C)x≠－2 (D)x≥1且x≠－22.化简的结果是(    )(A) (B) (C) (D)3.若最简二次根式与是同类二次根式，则－b的值是(    )(A)0 (B)1 (C)－1 (D)4.计算的值是           ．答案与解析1.【答案】A【解析】代数式有意义的条件.2.【答案】C【解析】化简二次根式.3.【答案】C【解析】同类二次根式的判定.4. 【答案】．【解析】原式=．故答案为：．  1. 化简下列各式：(1)   (2)；2.若a≤0，则化简后为(    )(A) (B)    (C)  (D)3.若ab＜0，则化简的结果是________．答案与解析1.【答案】(1)    (2)【解析】（1）原式=        （2）原式=2.【答案】B【解析】3.【答案】【解析】的被开方数a2b＞0，而a2＞0，所以b＞0．又因为ab＜0，所以a、b异号，所以a＜0，所以  1.若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数a=           ．2.当ａ＜1时，化简：3.(1)；           (2)答案与解析1.【答案】  a=2【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=2．2. 【答案】【解析】根据ａ＜1可得a-2＜0，然后利用二次根式的性质化简计算即可．3. 【答案】(1)1   (2)【解析】（1）原式（2）原式=