专题11 一次函数的应用-2021-2022学年八年级数学上册课堂讲义（北师大版）

学科教师辅导教案学员编号： 年 级： 课 时 数：学员姓名： 辅导科目： 学科教师：授课类型TC T授课日期及时段教学内容一次函数的应用【知识导图】教学过程 一、导入六一儿童节，某学习用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠。其中，书包每个定价20元，水性笔每支定价5元。小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）。（1）分别写出两种优惠方法购买费用（元）与所买水性笔支数（支）的函数解析式（请化简函数解析式）；（2）对的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜。问题：类似这样的实际问题我们该如何解答？本节课我们将共同研究此类问题。二、知识讲解考点1 待定系数法求一次函数解析式考点1 生活中的立体图形内容1：提供两个问题情境，供老师选用．实际情境一：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如图所示．(1)写出v与t之间的关系式；(2)下滑3秒时物体的速度是多少？分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．实际情境二：假定甲、乙二人在一项赛跑中路程与时间的关系如图所示． （1）这是一次多少米的赛跑？ （2）甲、乙二人谁先到达终点？ （3）甲、乙二人的速度分别是多少？ （4）求甲、乙二人与的函数关系式．目的：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件．情景一、二可根据学生情况进行选取，情景二几个问题有一定的梯度，学生可能更易写出函数关系式．教学注意事项：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并突出待定系数法．内容2：想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？目的：在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量．由于一次函数有两个基本量、，所以需要两个条件来确定．求函数表达式的步骤有：1．设一次函数表达式．2．根据已知条件列出有关方程．3．解方程．4．把求出的k，b值代回到表达式中即可．目的：对求一次函数表达式方法的归纳和提升。在此基础上，教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法．内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题.(1)农民自带的零钱是多少?(2)试求降价前 与 之间的关系(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?处理方式：让学生通过上节课的知识来解决问题，先让学生根据图像回答第一问。然后通过计算解决剩下的问题。让学生进行口头回答问题的答案。教师指出在同一坐标系的两个图像，怎样识别，怎样读取信息，从而引新课。设计意图：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。考点2 一次函数与一元一次的关系考点1 生活中的立体图形一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？（当一次函数y=0.5x+1的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.5x+1=0的解。函数y=0.5x+1与x轴交点的横坐标即为方程0.5x+1=0的解。考点3 一次函数的应用考点1 生活中的立体图形探究学习。感悟新知如图，L1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系， L 2反映了该公司产品的销售量的关系，根据图象填空。①当销售量为2吨时，销售收入=_______元，销售成本=_____元；②当销售量为6吨时，销售收入=________元，销售成本=_____元；③当销售量等于______时，销售收入等于销售成本；④当销售量________时，该公司赢利（收入大于成本）；当销售量_______时，该公亏损（收入小于成本）；⑤L1对应的函数表达式是_______；L2对应的函数表达式是________________解：（1）当销售量为2吨时，销售收入=2000元，销售成本为3000元；（2）当销售量为6吨时，销售收入=6000元，销售成本=5000元；（3）当销售量等于4吨时，销售收入等于销售成本；（4）当销售量大于4号时，该公司赢利，当销售量小于4吨时，该公司亏损。（5）L1经过原点和（4，4000），设表达式为y=kx，把（4，4000）代入，得4000=4k，所以k=1000所以L1的表达式为y=1000x，L2经过点（0，2000）和（4，4000），设表达式为y=kx+b。根据题意，得b=2000 ①4k+b=4000 ②把①代入②，得4k+2000=4000，所以k=500所以L2的表达式为y=500x+2000处理方式：让学生根据图像回答。回答不出来的教师适当点拨，特别是第五问，教师要适当讲解。但要根据上课情况而确定。可以引导学生这个问题中的两个变量是什么？它们之间是什么函数关系？来解决问题。设计意图：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力．想一想：上图中对应的一次函数y=k1x+b1中，k1 和b1的实际意义各是什么？对应的一次函数 y=k2x+b2中，k2和b2的实际意义各是什么？处理方式：让学生对照图形说出实际意义。不能解决时要加强讨论。教师要适当点拨。例题解析、深入探究例 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇 追赶（如图），下图中， 分别表示两船相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分）之间的关系．根据图象回答下列问题：(见多媒体课件)（1）哪条线表示到海岸的距离与时间之间的关系？解：观察图象，得当时，距海岸0 n mile，即，故表示到海岸的距离与追赶时间之间的关系；（2），哪个速度快？解：从0增加到10时，的纵坐标增加了2，而的纵坐标增加了5，即10 min内，行驶了2海里，行驶了5 n mile，所以的速度快．（3）15 min内能否追上？解：可以看出，当时，上对应点在上对应点的下方，（4）如果一直追下去，那么能否追上？解：如图 ，相交于点P．因此，如果一直追下去，那么一定能追上．（5）当逃到离海岸海里的公海时，将无法对其进行检查．照此速度，能否在逃到公海前将其拦截？解：从图中可以看出，与交点P的纵坐标小于，这说明在逃入公海前，我边防快艇能够追上．w （6）与对应的两个一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2中，k1,k2的实际意义各是什么？可疑船只A与快艇B的速度各是多少?解：k1表示快艇B的速度，k2表示可疑船只的速度。可疑船只A的速度是0.2n mile/min.快艇B的速0.5n mile/min处理方式：引导学生学生回答，主要让学生能够学会如何用图像来回答问题。学生不能回答的要小组讨论。然后让学生回答小组讨论的结果，教师指出正确的答案。教师要引导学生部不同的方法解决问题。设计意图：培养学生良好的识图能力，进一步体会数与形的关系，建立良好的知识联系．回顾反思。提炼升华内容：本节课我们学习了一次函数图象的应用，在运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图象上获取信息解决问题，当然也可以设法得出各自对应的函数关系式，然后借助关系式完全通过计算解决问题。通过列出关系式解决问题时，一般首先判断关系式的特征，如两个变量之间是不是一次函数关系？当确定是一次函数关系时，可求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果．三 、例题精析类型一 待定系数法求一次函数解析式例题11.已知正比例函数的图象经过（1，-2），则这个正比例函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【解析】B【总结与反思】待定系数法求一次函数解析式2.如图，直线是一次函数的图象，填空：（1） ， ； （2）当时， ；（3）当时， ．【解析】（1） ；（2）；（3）．【总结与反思】待定系数法求一次函数解析式类型二 一次函数与一元一次方程的关系一次函数y=kx+b的图象如图所示，看图填空：（1）当x=0时，y=________，当x=________时，y=0；（2）k=__________，b=____________；（3）当x=5时，y=_______，当y=30时，x=______.【解析】（１）;（２）;（３）.【总结与反思】一次函数与一元一次方程的关系及待定系数法求一次函数解析式类型三 一次函数的应用1.某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程．盒内钱数(元)与存钱月数之间的函数关系如图所示．观察图象回答下列问题：（1）盒内原来有多少元？2个月后盒内有多少元？ （2）该同学经过几个月能存够200元？（3）该同学至少存几个月存款才能超过140元？【解析】（1）40，80．（2）当时，,所以该同学经过8个月能存够200元．（3）观察图象可知，该同学经过5个月能超过140元【总结与反思】从图象中获取有用信息从而应用一次函数解决实际问题.2.如图，与 分别表示步行与骑车同一路上行驶的路程与时间的关系．（1）出发时与相距多少千米？（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是多少小时？S（千米）t（时）O 1022.5.57.50.531.5lBlA（3）出发后经过多少小时与相遇？ 【解析】（1）10km（2）1 h（3）3h 【总结与反思】从图象中获取有用信息从而应用一次函数解决实际问题.四 、课堂运用基础如图，直线是一次函数的图象，求它的表达式．2、若一次函数的图象经过A（－1，1），则 ，该函数图象经过点B（1， ）和点C（ ，0）．3.一次函数的图象如图，则方程的解为（ ）A. B. C. D. 4.某公司市场营销部管理人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图，由图中所给的信息可知，营销人员没有销售时的月收入是___________元. 答案与解析1.【答案】【解析】待定系数法求一次函数解析式.2. 【答案】【解析】待定系数法求一次函数解析式.3. 【答案】C【解析】一次函数与一元一次方程的关系.4. 【答案】300 【解析】待定系数法求一次函数解析式.巩固已知直线与直线平行，且与y轴交于点（0，2），求直线的表达式．2.直线与x轴的交点坐标是（2,0），则关于x的方程的解是（ ）A． B. C. D. 3. 汽车工作时油箱中的燃油量y（L）与汽车工作时间t（h）之间的函数关系如图，汽车开始工作时油箱中有__________L燃油，经过__________h耗尽燃油，平均每小时耗油___________L，y（L）与t（h）之间的函数表达式为__________.答案与解析1.【答案】【解析】直线平行及待定系数法求一次函数解析式.2. 【答案】A【解析】一次函数与一元一次方程.3. 【答案】50；5；10；【解析】由函数图象获取正确信息从而解决问题.拔高1.根据下表中一次函数的自变量x与函数值y的对应值，可得p的值为（ ）x-201y3p0A.1 B.-1 C.3 D.-32.一元一次方程的解是，则函数的图象与x轴的交点坐标是（ ）A. （-3,0） B. （3,0） C. （a,0） D. （-b,0）3.某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（时）的变化情况如图所示，当成人按规定剂量服药后，（1）服药后 时，血液中含药量最高，达每毫升 微克，接着逐步衰减；（2）服药5时，血液中含药量为每毫升 微克；（3）当x≤2时，y与x之间的函数关系式是 ；（4）当x≥2时，y与x之间的函数关系式是 ；（5）如果每毫升血液中含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是 ． 答案与解析1.【答案】A【解析】设一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0）,把和分别代入上式，得解得2. 【答案】B【解析】一元一次方程与一次函数的关系.3. 【答案】（1）2；6（2）3（3）（4）（5）【解析】结合一次函数图象解决问题.五 、课堂小结本节讲了3个重要内容：待定系数法求一次函数解析式一次函数与一元一次方程的关系一次函数的应用六 、课后作业基础1.已知一次函数的图象与平行，且过点（1,2），那么它必过点（ ）A．（-1,0） B.（2，-1） C.（2,1） D.（0，-1）2.已知一次函数与一次函数的图象交于点P（,2）,则关于x的方程的解是 .3.梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子，如果一次购买10kg以上（不含10kg）的种子，超过l0千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子数量x（单位：千克)之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①一次购买种子数量不超过l0千克时，销售价格为5元/千克；②一次购买30千克种子时，付款金额为100元；③一次购买10千克以上种子时，超过l0千克的那部分种子的价格打五折：④一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱．其中正确的个数是(    )．A．1个    B.2个    C.3个    D. 4个 第3题图 第4题图答案与解析1.【答案】A【解析】待定系数法救济一次函数解析式2. 【答案】x=0【解析】一次函数与一元一次方程的关系.3. 【答案】D【解析】解：①由图可知，一次购买种子数量不超过10千克时，销售价格为：50÷10=5元/千克，正确；②由图可知，超过10千克的那部分种子的价格为：（150-50）÷（50-10）=2.5元/千克，所以，一次购买30千克种子时，付款金额为：50+2.5×（30-10）=100元，正确；③由于一次购买10千克以上种子时，超过10千克的那部分种子的价格为2.5元/千克，而2.5÷5=0.5，所以打五折，正确；④由于一次购买40千克种子需要：50+2.5×（40-10）=125元，分两次购买且每次购买20千克种子需要：2×[50+2.5×（20-10）]=150元，而150-125=25元，所以一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱，正确．故选：D． 巩固1.如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B，则这个一次函数的解析式是（ ）A． B. C. D.2.若一次函数的图象经过点（2,3），则方程的解为 .3.如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°.求过B，C两点的直线的解析式.答案与解析1.【答案】D【解析】待定系数法求一次函数解析式.2. 【答案】x=2【解析】一次函数与一元一次方程的关系.3. 【答案】y=x+2【解析】解：在一次函数中，令x=0得：y=2；令y=0，解得x=3，则B的坐标是（0，2），A的坐标是（3，0）．  如图，作CD⊥x轴于点D．∵∠BAC=90°，∴∠OAB+∠CAD=90°，又∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠BAO．在△ABO与△CAD中，，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴OB=AD=2，OA=CD=3，OD=OA+AD=5．则C的坐标是（5，3）．设直线BC的解析式是y=kx+b，根据题意得：，解得：，∴直线BC的解析是y=x+2．拔高1.已知一次函数的图象经过（2，-1）、（0,1）两点，则它的图象不经过（ ）A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知一次函数（，是常数），与的部分对应值如下表：x－2－10123y6420－2－4那么方程的解是 .3.（1）点（0,1）向下平移2个单位后所得点的坐标是___________，直线向下平移2个单位后所得直线的解析式是___________；（2）直线向右平移2个单位后所得直线的解析式是_________；（3）如图，已知点C为直线上在第一象限内一点，直线交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB沿射线OC方向平移个单位，求平移后的直线的解析式.答案与解析1.【答案】C【解析】待定系数法求函数解析式，由k,b判定所过象限.2. 【答案】x=2 【解析】一次函数与一元一次方程的关系.3. 【答案】（1）（0，-1），y=2x+1-2=2x-1； （2）y=2（x-2）+1=2x-3；（3）y=2x-2【解析】分析：（1）（2）直接利用平移中点的变化规律求解即可．（3）将直线AB沿射线OC方向平移个单位，其实是先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度．解答：解：（1）（0，-1），y=2x+1-2=2x-1；（2）y=2（x-2）+1=2x-3；（3）∵点C为直线y=x上在第一象限内一点，则直线上所有点的坐标横纵坐标相等，∴将直线AB沿射线OC方向平移个单位，其实是先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度．∴y=2（x-3）+1+3，即y=2x-2．点评：本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．