（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第五讲 一元二次方程（讲义）学案

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备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
第五讲 一元二次方程
一、13个必备知识点 2
考点一 等式的性质 3
考点二 解一次方程（组） 4
考点三 含参数的一次方程（组） 7
考点四 一元一次方程的应用 8
考点五 二元一次方程组的应用 14















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一、13个必备知识点
1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
3．直接开平方法：适合于或形式的方程．
4．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
5．公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可．
6．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
7．根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．
8．一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；
（3）当时，方程没有实数根．
9．根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，．
列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．
10．增长率等量关系
（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．
11．利润等量关系：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％．
12．面积问题
（1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．
（2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．
（3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．

图1 图2 图3
13. 碰面问题（循环问题）
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分.
∴m=
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场.
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠.
∴m=


考点一 一元二次方程的解

1．已知方程3x2﹣（k﹣1）x﹣k+7＝0的一个根为0，则k的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
【解答】解：将x＝0代入3x2﹣（k﹣1）x﹣k+7＝0，得：﹣k+7＝0，
解得：k＝7．
故选：C．
2．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，它的一个根为﹣1，则（　　）
A．a+b+c＝0 B．a+b﹣c＝0 C．a﹣b+c＝0 D．a﹣b﹣c＝0
【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0（a≠0）得a﹣b+c＝0．
故选：B．
3．若x＝3是关于x的方程﹣3a＝0的一个根，则在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵x＝3是关于x的方程﹣3a＝0的一个根，
∴﹣3a＝0，
解得：a＝2，
∴一次函数y＝2x+2不经过第四象限，
故选：D．


考点二 解一元二次方程

1．用适当的方法解一元二次方程
（1）x2﹣9＝0
（2）2x2﹣7x＝0
（3）x2﹣2x﹣5＝0
（4）3x2﹣1＝4x
（5）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）
（6）（x+8）（x+1）＝﹣12．
【解答】解：（1）（x+3）（x﹣3）＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝3；
（2）x（2x﹣7）＝0，
所以x1＝0，x2＝；
（3）x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（4）3x2﹣4x﹣1＝0，
△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28，
x＝＝，
所以x1＝，x2＝；
（5）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0，
所以x1＝2，x2＝3；
（6）x2+9x+20＝0，
（x+5）（x+4）＝0，
所以x1＝﹣5，x2＝﹣4．
2．选用适当方法解一元二次方程
（1）（x﹣2）2＝（2x+5）2
（2）（x2+3x）2﹣2（x2+3x）﹣8＝0
（3）x2﹣2mx+m2﹣n2＝0
（4）（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0．
【解答】（1）（x﹣2）2＝（2x+5）2
解：两边同时开平方得：x﹣2＝±（2x+5），即：
x﹣2＝2x+5或x﹣2＝﹣（2x+5）
解得：x1＝﹣7，x2＝﹣1
（2）（x2+3x）2﹣2（x2+3x）﹣8＝0
解：令x2+3x＝y，则原方程变为：y2﹣2y﹣8＝0
解这个关于y一元二次方程得：y1＝4，y2＝﹣2
则：x2+3x＝4或x2+3x＝﹣2
解x2+3x＝4得：x1＝﹣4，x2＝1，
解x2+3x＝﹣2得：x3＝﹣2，x4＝﹣1
所以，原方程的解为：x1＝﹣4，x2＝1，x3＝﹣2，x4＝﹣1
（3）x2﹣2mx+m2﹣n2＝0
解：将原方程变形：x2﹣2mx+m2＝n2
则：（x﹣m）2＝n2
所以：x﹣m＝±n
故原方程的解为：x1＝m+n，x2＝m﹣n
（4）（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0．
解：该方程为一元二次方程，故m﹣1≠0，
则△＝（m﹣2）2+4（m﹣1）＝m2
由求根公式x1，2＝得：x2＝，x3＝﹣1
故原方程的解为：x1＝，x2＝﹣1
3．解下列一元二次方程
（1）4x2﹣16x+15＝0（用配方法解）
（2）9﹣x2＝2x2﹣6x（用分解因式法解）
（3）（x+1）（2﹣x）＝1（选择适当的方法解）
【解答】解：（1）4x2﹣16x+15＝0
4x2﹣16x＝﹣15
x2﹣4x+4＝
（x﹣2）2＝
x﹣2＝±
x1＝，x2＝；
（2）9﹣x2＝2x2﹣6x
（3﹣x）（3+x）﹣2x（x﹣3）＝0
（3﹣x）（3+x+2x）＝0
x1＝3，x2＝﹣1；
（3）（x+1）（2﹣x）＝1
x2﹣x﹣1＝0
x＝
x1＝，x2＝．


考点三 配方法求最值

1．已知x，y为实数，求代数式x2+y2+2x﹣4y+7的最小值　2　．
【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7
＝x2+2x+1+y2﹣4y+4+2
＝（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2的最小值是2，即代数式x2+y2+2x﹣4y+7的最小值是2，
故答案为：2．
2．关于x的式子x2+6x﹣9，当x＝　﹣3　时，式子有最　小　值，且这个值为　﹣18　．
【解答】解：∵x2+6x﹣9＝（x+3）2﹣18，
∴当x＝﹣3时，式子x2+6x﹣9有最小值，这个最小值是﹣18，
故答案为：﹣3，小，﹣18．
3．已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于？
【解答】解：∵m﹣n2＝1，
∴n2＝m﹣1，m≥1，
则m2+2n2+4m﹣1
＝m2+2m﹣2+4m﹣1
＝m2+6m﹣3
＝m2+6m+9﹣12
＝（m+3）2﹣12，
∵m≥1，
∴（m+3）2﹣12≥4，即代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于4．
4．当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值．
【解答】解：a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5≥5，
当且仅当a＝2，b＝﹣3时取等号，
则当a＝2，b＝﹣3时，多项式取得最小值，最小值为5．
5．阅读下列材料：
我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
x2﹣10x+30＝x2﹣10x+25+5＝（x2﹣10x+25）+5＝（x﹣5）2+5，因为（x﹣5）2≥0，即（x﹣5）2的最小值是0，所以x2﹣10x+30的最小值是5．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4x﹣5；
（2）求a2+2a+2021的最小值；
（3）求﹣x2+2x+2019的最大值．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5
＝x2﹣4x+4﹣9
＝（x﹣2）2﹣32
＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3）
＝（x+1）（x﹣5）；
（2）a2+2a+2021＝a2+2a+1+2020＝（a+1）2+2020，
∵（a+1）2≥0，
即（a+1）2的最小值是0，
∴a2+2a+2021的最小值是2020；
（3）﹣x2+2x+2019＝﹣（x2﹣2x）+2019＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+2019＝﹣（x﹣1）2+2020，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
即﹣（x﹣1）2的最大值是0，
∴﹣x2+2x+2019的最大值是2020．


考点四 根的判别式与韦达定理

1．已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m＜2且m≠0 C．m≠0 D．m≤2且m≠0
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个实数根，
∴m≠0
Δ＝（﹣4）2﹣4×2m≥0且m≠0，
解得：m≤2且m≠0，
故选：D．
2．小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，c＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的b是原方程中b的相反数．则原方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1 D．不存在实数根
【解答】解：根据题意得x＝﹣1为方程x2+bx+4＝0的一个根，
∴1﹣b+4＝0，
解得b＝5，
即所抄的b的值为5，
所以原方程的b的值为﹣5，
则原方程为x2﹣5x+4＝0，
因为Δ＝（﹣5）2﹣4×4＝9＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
3．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴b2﹣4ac＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，
∴一个正根，一个负根，
故选：C．
4．三角形的两边a、b的夹角为60°且满足方程x2﹣3x+4＝0，则第三边的长是（　　）
A． B．2 C．2 D．3
【解答】解：x2﹣3x+4＝0，
（x﹣2）（x﹣）＝0，
所以x1＝2，x2＝，
即a＝2，b＝，
如图，△ABC中，a＝2，b＝，∠C＝60°，
作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，∵∠C＝60°，
∴CH＝AC＝，AH＝CH＝，
∴BH＝2﹣＝，
在Rt△ABH中，AB＝＝，
即三角形的第三边的长是．
故选：A．

5．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12 B．9 C．15 D．12或15
【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x＝3或x＝6，
当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；
当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．
故选：C．
6．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（　　）
A． B． C． D．0
【解答】解：∵x1+x2＝4，
∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，
∴x2＝，
把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，
解得：m＝，
故选：A．
二．填空题（共1小题）
7．设x1，x2是方程x2﹣x﹣2020＝0的两实数根，则x13+2021x2﹣2020＝　2021　．
【解答】解：∵x1是方程x2﹣x﹣2020＝0的实数根，
∴x12﹣x1﹣2020＝0，
∴x12＝x1+2020，
∴x13＝x1（x1+2020）＝x1+2020+2020x1＝2021x1+2020，
∴x13+2021x2﹣2020＝2021x1+2020+2021x2﹣2020＝2021（x1+x2），
∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2020＝0的两实数根，
∴x1+x2＝1，
∴x13+2021x2﹣2020＝2021×1＝2021．
故答案为：2021．
三．解答题（共4小题）
8．已知一元二次方程两个根为a，b，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【解答】解：∵a，b是的两个根，
∴，，，
∴．
（1）＝
＝
＝
＝8；
（2）＝
＝
＝
＝6．
9．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝4m﹣3有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1与x2，若x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，求m的值．
【解答】解：（1）方程化为x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3＝0，
根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4m+3）＝﹣8m+24≥0，
解得m≤3；
（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2m﹣6，x1x2＝m2﹣4m+3，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，
∴x1x2﹣（x1+x2）2+2x1x2＝﹣7，
即3x1x2﹣（x1+x2）2＝﹣7，
∴3（m2﹣4m+3）﹣（2m﹣6）2＝﹣7，
整理得m2﹣12m+20＝0，解得m1＝2，m2＝10，
∵m≤3，
∴m＝10应舍去，
∴m＝2．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90．，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．
（1）请直接写出一个“直系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且S△ABC＝3，求的值．

【解答】解：（1）如；
（2）由，
又∵c2＝a2+b2，
∴Δ＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
∴该一元二次方程必有实数根；
（3）∵x＝﹣1是方程的一个根，
∴，
∴，
∴（a﹣b）2＝0，
即a＝b，
由S△ABC＝3，得：ab＝6，
∴，
∴．
11．材料一：法国数学家弗朗索瓦•韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根完全由它的系数决定，当b2﹣4ac≥0时有两根：x1＝，x2＝；
于是，两根之和为x1+x2＝；
两根之积为x1⋅x2＝•＝＝．
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，韦达定理对代数学的推进做出了巨大贡献，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系．利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现．而且韦达定理为数学中的一元方程奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间．
材料二：已知一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）的两个根满足，且a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，若a＝c，求∠B的度数．

解题过程如下：x1+x2＝﹣，x1⋅x2＝＝1，
∵|x1﹣x2|＝，
∴|x1﹣x2|2＝2．
又∵﹣4，
∴＝3，
∵a＞0，b＞0，
∴＝．
如图，过点B作BH⊥AC于点H．则HC＝AC＝b，∴cosC＝，∴∠C＝30°，∴∠B＝120°．
（1）在上题中，将方程改为ax2﹣bx+c＝0（a≠0），要得到∠B＝120°，而条件“a＝c”不变，那么对应条件中的|x1﹣x2|的值是多少？请说明理由．
（2）已知一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（n≥0，a≠0）的两根满足1﹣（x1﹣x2）2＝2|x1﹣x2|，且a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，若∠A＝30°，∠B＝45°，求n的值．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝120°，a＝c，
∴∠A＝∠C＝30°，
∴BH＝a，
由勾股定理得，HC＝＝a，
∴b＝AC＝2HC＝a，
x1+x2＝＝3，x1⋅x2＝＝1，
∴|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1⋅x2＝9﹣4＝5；
（2）作CD⊥AB于D，

在Rt△CDB中，∠B＝45°，
∴CD＝BD＝BC＝a，
在Rt△CDA中，∠A＝30°，
∴b＝AC＝2CD＝a，
由勾股定理得，AD＝＝＝a，
∴c＝AB＝AD+BD＝a+a，
x1+x2＝＝，x1⋅x2＝＝+，
则1﹣（）2＝2，
解得，n＝或n＝．



考点五 一元二次方程的应用

1．2021年是中国历史上的超级航天年，渝飞航模专卖店看准商机，8月初推出了“天问一号”和“嫦娥五号”两款模型．每个“天问一号”模型的售价是90元，每个“嫦娥五号”模型的售价是100元，该店在8月份售出“天问一号”模型400个，“嫦娥五号”模型200个．该店决定从9月1日起推出“逐梦航天、仰望星空”优惠活动，
9月份，每个“天问一号”模型的售价与8月份相同，销量比8月份增加a%；每个“嫦娥五号”模型的售价在8月份的基础上降价a%，销量比8月份增加a%．
（1）用含有a的代数式填表（不需化简）：

8月份销量
销量的增长率
9月份销量
“天问一号”模型
400
a%
　400（1+a%）　
“嫦娥五号”模型
200
　a%　
　200（1+a%）　
（2）据统计，该店在9月份的销售总额比8月份的销售总额增加a%，求a的值．
【解答】解：（1）∵9月份，“天问一号”模型的销量比8月份增加a%，“嫦娥五号”模型的销量比8月份增加a%，
∴9月份，“天问一号”模型的销量为400（1+a%）个，“嫦娥五号”模型的销量为200（1+a%）个．
故答案为：400（1+a%）；a%；200（1+a%）．
（2）依题意得：90×400（1+a%）+100（1﹣a%）×200（1+a%）＝（90×400+100×200）（1+a%），
整理得：3a2﹣30a＝0，
解得：a1＝10，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点P从点C开始沿CA边以4cm/s的速度向点A移动，同时，另一点Q由点C开始以3cm/s的速度沿着CB边向点B移动，求几秒钟后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？

【解答】解：设x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的，则CP＝4xcm，CQ＝3cm，
由题意得：×3x×4x＝×30×40×，
解得：x1＝5，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），
答：5秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的．
3．R0，也叫基本传染数，或者基本再生数，英文为Basicreproductionnumber．更确切的定义是：在没有外力介入，所有人都没有免疫力的情况下，一个感染某种传染病的人，总共会传染给其他多少个人的平均数．例如：有1人感染新型冠状病毒，若R0＝3.50，则经两轮传染后感染新型冠状病毒的人数为：1+1×3.50+1×3.50×3.50≈17（人）．时下人心惶惶的新型冠状病毒的基本传染数据估计为3.30到5.40之间．请解答下列问题：
（1）若现有10人感染新型冠状病毒，则经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数大约在什么范围内（直接写出结果，结果保留整数）？
（2）最近，新型冠状病毒变异出德尔塔毒株，德尔塔变异病毒的R0值极高．若1人患病，在无任何外力影响下经历两轮传染后共有73人感染．
①求德尔塔变异病毒的R0值；
②国家研制出新冠疫苗后发现，通过接种疫苗可以使得R0值随接种人数比例的增高同步降低．例如，当疫苗全民接种率达到40%时，此时的R0值为：R0（1﹣40%）＝0.6R0．若有1人感染德尔塔变异病毒，要在两轮内将总感染人数控制在7人以内，再加以隔离等措施的干涉，就可控制住疫情，则全民接种率至少应该达到多少？
【解答】解：（1）当R0＝3.30时，经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数为：10+10×3.30+10×3.30×3.30≈152（人），
当R0＝5.40时，经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数为：10+10×5.40+10×5.40×5.40≈356（人），
∴现有10人感染新型冠状病毒，则经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数大约在152人至356人；
（2）①根据题意得：1+1×R0+1×R0×R0＝73，即R02+R0﹣72＝0，
解得R0＝﹣9（舍去）或R0＝8，
答：德尔塔变异病毒的R0值为8；
②设全民接种率至少应该达到x%，根据题意得：
1+1×8（1﹣x%）+1×8（1﹣x%）×8（1﹣x%）≤7，
令8（1﹣x%）＝y，则1+y+y2≤7，
∴y2+y﹣6≤0，解得﹣3≤y≤2，
即8（1﹣x%）≤2，
∴x%≥75%，
答：全民接种率至少应该达到75%．
4．某超市销售一种商品，成本价为50元/千克，规定每千克售价不低于成本价，且不高于85元．经市场调查，该商品每天的销售量y（千克）与售价x（元千克）满足一次函数关系，如图所示：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）该商场销售这种商品要想每天获得1350元的利润，每件商品的售价应定为多少元？

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
将（50，120）、（70，80）代入，得：
，
解得，
所以y＝﹣2x+220；
（2）由题意，得：（x﹣50）（﹣2x+220）＝1350，
整理，得：x2﹣160x+6175＝0，
解得x1＝65，x2＝95＞85（舍去），
答：每件商品的售价应定为65元．
5．“民族要复兴，乡村必振兴”，巴南区积极践行国家乡村振兴战略，大力发展乡村特色产业，丰盛镇脆桃种植基地连续几年产量获得大丰收，该基地采用现场采摘销售和线上销售两种模式．
（1）今年该基地脆桃产量为51000千克，全部售出，其中线上销量不超过现场采摘销量的2倍．求现场采摘销量至少多少千克？
（2）该基地6月份现场采摘销售均价为15元/千克，销售量为1200千克．线上销售均价为10元/千克，销售量为1800千克．7月份现场采摘销售均价上涨了25%，销售量下降了2a%，线上销售均价上涨了a%，销量与6月份一样，7月份销售总金额比6月份销售总金额减少了a%，求a的值．
【解答】解：（1）设现场采摘销售了x千克，则线上销售了（51000﹣x）千克，
依题意得：51000﹣x≤2x，
解得：x≥17000，
答：现场采摘销量至少为17000千克；
（2）依题意得：15（1+25%）×1200（1﹣2a%）+10（1+a%）×1800＝（15×1200+10×1800）（1﹣a%）
解得 a＝25，
答：a的值为25．
6．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18m，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为xm．
（1）用含有x的式子表示BC，并直接写出x的取值范围；
（2）若苗圃园的面积为72m2，求AB的长．

【解答】解：（1）∵AB＝CD＝xm，且篱笆的长为30m，
∴BC＝（30﹣2x）m．
又∵，
∴6≤x＜15．
（2）依题意得：x（30﹣2x）＝72，
整理得：x2﹣15x+36＝0，
解得：x1＝3，x2＝12．
又∵6≤x＜15，
∴x＝12．
答：AB的长为12m．
7．某电商公司推出A、B两种类型的超薄全面屏电视机，已知售出2台A型电视机，3台B型电视机的销售额为35500元：售出1台A型电视机，2台型电视机的销售额为20500元．
（1）求每台A型电视机和B型电视机的售价分别是多少元；
（2）该电商公司在8月实行“满减促销”活动，活动方案为：单台电视机满4000元减500元，满9000元减1500元（每台电视机只能参加一次最高满减活动）结果8月A型电视机的销量是B型电视机的，9月该电商公司加大促销活动力度，每台A型电视机按照8月满减后的售价再降a%，销量比8月增加2a%；每台B型电视机按照8月满减后的售价再降a%，销量比8月销量增加a%，结果9月A和B的销售总额比8月A和B的销售总额多a%，求a的值．
【解答】解：（1）设每台A型电视机的售价为x元，每台B型电视机的售价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每台A型电视机的售价为9500元，每台B型电视机的售价为5500元．
（2）设8月B型电视机的销售量为m台，则A型电视机的销售量为m，
依题意得：（9500﹣1500）×（1﹣a%）×（1+2a%）×m+（5500﹣500）×（1﹣a%）×（1+a%）m＝[（9500﹣1500）×m+（5500﹣500）m]×（1+a%），
整理得：0.5a2﹣5a＝0，
解得：a1＝10，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．