（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第十三讲 一次函数、二次函数背景下的最值问题（讲义）学案

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备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
第十三讲 一次函数、二次函数背景下的最值问题
一、三大必备知识点 2
考点一 将军饮马型求最小值 5
考点二 搭桥模型求最小值 11
考点三 胡不归模型求最小值 19















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一、三大必备知识点
一、求线段之和的最小值（将军饮马型）
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：





（2）点A、B在直线同侧：





A、A’ 是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：





（2）一个点在内侧，一个点在外侧：




（3）两个点都在内侧：




（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.




变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.




二、求线段之和的最小值（修桥模型）
已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧：




过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
（2）点A、B在直线m同侧：





过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

三、胡不归求最值（胡不归模型）
一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1
，记，
即求BC+kAC的最小值．
构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．


考点一 将军饮马型求最小值

1．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴、y轴于点A、B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．
（1）求点C的坐标；
（2）求出△BCO的面积；
（3）当PA+PC的值最小时，求此时点P的坐标．

【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+3①与直线l2：y＝﹣3x②相交于C，
∴联立①②解得，x＝﹣，y＝，
∴C（﹣，）；
（2）把x＝0代入y＝x+3得y＝3，
∴B（0，3）
∴OB＝3
∵C（﹣，）
∴△BCO的面积＝OB×|﹣|＝×3×＝；
（3）在y＝x+3中，当y＝0时，x＝﹣3
∴A（﹣3，0）
作点A（﹣3，0）关于y轴的对称点A′（3，0），连接CA′交y轴于点P，此时PC+PA最小，如图：

设直线CA′的解析式为y＝kx+b
把C（﹣，），A′（3，0）代入上式得：
，
解得：
∴直线CA′的解析式为y＝﹣x+
令x＝0时y＝
∴点P（0，）．
2．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，其中AB＝3，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求△PQD的周长的最小值；

【解答】解：（1）直线AB：y＝kx+6分别与x轴，y轴交于A、B两点，
∴B点坐标为（0，6），A点坐标为（﹣，0），
则OB＝6，OA＝||＝＞0，
在Rt△AOB中，AB＝3，OA＝，OB＝6，
∴（）2+62＝（3）2
解得k＝2．（直线k＞0，负值舍去）．
∴直线AB解析式为y＝2x+6，
（2）将直线AB：y＝2x+6向下平移个单位长度得到直线l1：y＝2x﹣，与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，
∴E点坐标（0，﹣），直线l2：y＝﹣，
∵OC＝OB＝6，
∴C点坐标（6，0），
设直线BC的解析式为y＝k1x+b1，
∴，解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+6，
联立，解得，
∴D点坐标为（，），
如图所示，作D点关于直线l2对称点D'，关于y轴对称点D''，连接QD'，PD''，D'D''，
，
∴D'点坐标（，﹣），D''点坐标（﹣，），
由对称性可知，QD'＝QD，PD''＝PD，
△PQD周长＝PD+PQ+QD＝PD''+PQ+QD'≥D'D''，
当点D''，P，D'，Q四点共线时，△PQD周长取得最小值D'D''，
∵D'D''＝＝，
∴△PQD周长取得最小值，
3．已知，如图1，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，在抛物线第一象限的图象上存在一点B，x轴上存在一点C，使∠ACB＝90°，AC＝BC，抛物线的顶点为D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，若点E是AB上一动点（点A、B除外），连接CE，OE，当EC+OE的值最小时，求△BDE的面积；

【解答】解：（1）由题意A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）
设C（m，0），则B（m，m+1），把点B坐标代入抛物线的解析式得到：m+1＝m2﹣2m﹣3，
解得m＝4或﹣1（舍弃），
∴C（4，0），B（4，5），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x+1．

（2）如图1中，如图作点C关于直线AB的对称点C′，连接OC′交直线AB于E，连接EC、EO，此时EO+EC的值最小．

∵C（4，0），CC′关于直线AB对称，
∴C′（﹣1，5），
∴直线OC′的解析式为y＝﹣5x，
由，解得，
∴E（﹣，），∵D（1，﹣4），
∴S△BDE＝9×（4+）﹣×3×9﹣×（1+）（4+）﹣×（4+）（5﹣）＝12.5．

4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4）．
（1）求抛物线和直线AB的解析式．
（2）如图1，直线AB上方的抛物线上有一点P，过点P作PQ垂直于AB所在直线，垂足为Q，在x轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点M和N，连接PN，NM，MB，BP．当线段PQ的长度最大时，求四边形PNMB周长的最小值．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4）．
∴，，
解得，，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+5x+4，直线y解析式为＝﹣x+9．

（2）如图1中，设直线AB与x轴交于点F，与y轴交于点E，则E（0，9），F（9，0），连接PE、PF、PO．

当PQ最大时，△PEF的面积最大，设P（m，﹣m2+5m+4）
∵S△PEF＝S△POE+S△POF﹣S△EOF＝×9×m+×9×（﹣m2+5m+4）﹣×9×9＝﹣（m﹣3）2+18，
∵﹣＜0，
∴m＝3时，△PEF的面积最大值为18，此时P（3，10），
作点P关于y轴的对称点P′，B关于x轴的对称点B′，连接P′B，与y轴交于点N，与x轴交于点M，此时四边形PNMB的周长最小．
理由：四边形PNMB周长＝PN+MN+MB+PB＝P′N+MN+MB′+PB＝P′B′+PB，
∵PB是定长，两点之间线段最短，
∴此时四边形PNMB周长最小．
∵P′（﹣3，10），B′（5，﹣4），
∴P′B′＝＝2，
∵PB＝＝2，
∴四边形PNMB周长的最小值为2+2．


考点二 搭桥模型求最小值

5．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4分别与x轴、y轴交于点A、点B，过点B作直线l2⊥l1交x轴于点C，将直线l2沿y轴正方向平移2个单位得到直线l3，直线l1与直线l3交于点D．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图2，点F在直线l1上，点F的纵坐标为7，点M、点N分别为直线l3、l2上的两个动点（点M的横坐标小于点N的横坐标），且∠MNB＝30°，连接FM、NO，求FM+MN+NO的最小值；

【解答】解：（1）y＝x+4分别与x轴、y轴交于点A、点B，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣，
则A（﹣，0），B（0，4），OA＝，OB＝4，
∴tan∠ABO＝＝，∠ABO＝30°，
∵l2⊥l1，
∴∠CBO＝60°，
∴OC＝OB•tan60°＝4，
∴△ABC的面积＝×（+4）×4＝；
（2）由（1）可知C（4，0），B（0，4），
∴l2解析式为：y＝﹣x+4，
∵将直线l2沿y轴正方向平移2个单位得到直线l3，设直线l3与y轴交点为W，
∴l3解析式为：y＝﹣x+6，
l1和l3联立方程组得，，解得：，
∴D点坐标为（，），
点F的纵坐标为7，代入y＝x+4得，x＝，
∴F点坐标为（，7），
∵B（0，4），
∴D为BF中点，
∵BW＝2，BD＝BW•cos30°＝，
过点M作MP⊥BC于P，作FQ∥MN交直线l3于点Q，连接OQ，

∵∠MNB＝30°，
∴MP＝BD＝，MN＝2，
∵FD＝BD＝MP，∠FDQ＝∠MPN＝90°，∠MNB＝∠FQD＝30°，
∴MN＝FQ，
∴四边形FMNQ是平行四边形，
∴FM＝NQ，
∴FM+MN+NO＝FQ+ON+NQ，当O、N、Q共线时，值最小，如图所示，最小值为OQ+FQ，
∵QD⊥BF，BD＝FD，∠FQD＝30°，
∴QF＝QB＝2，∠FQB＝60°，
∴∠FBQ＝60°，
∴∠QBO＝90°，
∴OQ＝＝2，
∴FM+MN+NO的最小值为：2+2；

6．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y＝﹣x+4，与x轴交于点C．直线l上有一点B的横坐标为，点A是OC的中点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）在直线BC上有两点P，Q，且PQ＝2，使四边形OAPQ的周长最小，求周长的最小值；

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4，与x轴交于点C，
∴C（4，0），
∵点A是OC的中点，则点A（2，0），
又∵B的横坐标为且在直线y＝﹣x+4上，
∴B（，3），
设直线AB的表达式为y＝sx+t，
把A、B点的坐标代入可得，
，
解得s＝﹣，t＝6，
∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+6；
（2）如图1，作点A关于直线AB的对称点A'，将点A'沿BC方向平移2个单位得到点A''，
连接OA''交BC于点P，将点P沿BC方向平移2个单位得到Q，此时四边形OAPQ的周长最小，
由点A、B、O的坐标可知，
OA＝AB＝OB＝2，
故△OAB为等边三角形，
由直线BC的表达式知∠BCD＝30°，
则∠A'AC＝60°，
故∠BAA'＝60°，
∵∠ABC+∠ACB＝∠ABC+30°＝60°，
∴∠ABA'＝∠ABC+∠A'BC＝2∠ABC＝60°，
∴△ABA'为等边三角形，
则A'B＝AB＝2，
且A'B∥x轴，
故点A′的坐标为（3，3），
将A′沿CB方向平移2个单位，相等于沿X轴负方向平移3个单位，再向上平移个单位，
故点A″（3﹣3，3+）；
由点A的平移可知：A″A′＝PQ，且A′A″∥PQ，
故四边形OAPQ为平行四边形，
故A′Q＝A″P，
此时，四边形OAPQ的周长＝OA+PQ+AQ+OP＝OA+2+A′Q+OP＝2+2+OA″＝4+OA″为最小，而OA″＝，
故：四边形OAPQ的最小周长为4+；

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+b与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OB＝1，∠OBC＝60°．

（1）如图1，求直线BC的解析式；
（2）如图1，线段AC上方抛物线上有一动点P，PD⊥x轴于点H，交线段AC于点D，直线BG∥AC，交抛物线于点G，点F是直线BG上一动点，FE∥BC交AC于点E，点Q是点A关于直线BG的对称点，连接PE、QF．当线段PD取最大值时，求PE+EF+QF的最小值及点E的坐标；
【解答】解：（1）在△BOC 中，OB＝1，∠OBC＝60°
∴BC＝2，OC＝．
∴抛物线解析式为：；
令y＝0，得
解之得，x1﹣3，x2＝1
∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，）
设直线BC解析式为：y＝kx+b，经过B（1，0），C（0，）
∴，
∴，
∴；

（2）设直线AC解析式为：y＝k1x+b1，经过A（﹣3，0），B（1，0），得
设P点坐标为，则D点坐标为
∴PD＝＝
当时，PD有最大值．

∴P点坐标为；
在R△AOC中，可以求出AC＝2，AB＝4
∴AC2+BC2＝12+4＝16＝AB2
由勾股定理逆定理得，可得∠ACB＝90°，
可得∠CAB＝30°＝∠ABG，
由对称可得，AB＝BQ＝4，∠ABQ＝30°+30°＝60°，
∴△ABQ 是等边三角形．
过点Q作QM⊥x轴于点M．
∴MB＝4，且OB＝1
∴OM＝1，QM＝2
∴Q点坐标为（﹣1，﹣2）；
由题意得，四边形BCEF是矩形，可得EF＝BC＝2．
将Q点沿射线EF方向平移2个单位（向左平移1个单位，向上平移个单位），可得Q′的坐标为（﹣2，﹣），
连接P Q′交AC于点E，点E即为所求．
P Q′＝
PE+EF+QF最小值＝P Q′+EF＝+2，
直线P Q的解析式为：
联立，
解得：x＝﹣，故E点坐标；

8．如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF＝1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．

【解答】解：（1）由旋转的性质可知：OC＝OA＝2，OD＝OB＝4
∴C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0），

（2）设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题意，得，
解得，b＝1，c＝4，
∴所求抛物线的解析式为；

（3）只需求AF+CE最短，
抛物线的对称轴为x＝1，
将点A向上平移至A1（﹣2，1），则AF＝A1E，
作A1关于对称轴x＝1的对称点A2（4，1），
连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，
可求得A2C的解析式为，
当x＝1时，，
∴点E的坐标为，点F的坐标为．



考点三 胡不归模型求最小值

9．如图，在平面直角坐标系中，直线l1和直线l2相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF+CF最小时，点F的坐标，并求出此时的最小值；

【解答】解：（1）令x＝0，则y＝，
∴B（0，），
∴OB＝，
∵∠OBC＝30°，
∴OC＝BO•tan30°＝×＝1，
∴C（1，0），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
则，
∴，
∴直线l2的解析式为y＝﹣x+；
（2）令y＝0，则x+＝0，
∴x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴tan∠ABO＝＝＝，
∴∠ABO＝60°，
∴∠ABC＝90°，
∴C点关于直线l2的对称点C'在l2上，
如图1，过点C'作C'K⊥y轴交K点，
∵∠KBC'＝∠CBO，∠C'KB＝∠BOC，BC＝BC'，
∴△C'KB≌△COB（AAS），
∴BK＝BO＝，
∴C'的纵坐标为2，
∴﹣x+＝2，
∴x＝﹣1，
∴C'（﹣1，2），
连接C'E交l1于F，
∵EF+CF＝EF+C'F≥C'E，
∴当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E，
设直线C'E的解析式为y＝kx+b，
∵E（5，0），C'（﹣1，2），
则，
∴，
∴y＝﹣x+，
联立，
解得x＝1，
∴F（1，），
作第二、四象限的角平分线l3，过点F作FQ⊥l3，交y轴于点P，交l3，于点Q，
在Rt△PQO中，∠POQ＝45°，
∴OP＝PQ，
∴＝PF+PQ≥FQ，
当P、F、Q三点共线时，的值最小，
过F作FG⊥x轴交l3，于点G，
∴△FQG为等腰直角三角形，
∴FQ＝FG，
∵l3，的解析式为y＝﹣x，
∴G（1，﹣1），
∴FG＝1+，
∴FQ＝+，
∴的最小值为+；



10．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+3（k≠0）与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2：y＝x+1分别交x轴，y轴于点D，E，且直线l1⊥l2于点C．
（1）如图1，在y轴上有一长为的线段PQ（点P在点Q上方），当线段PQ在y轴正半轴移动时，求CP+PQ+OQ的最小值．

【解答】解：（1）如图1中，

∵y＝x+1分别交x轴，y轴于点D，E，
∴E（0，1），D（﹣，0），
∴OE＝1，OD＝，
∴tan∠EDO＝，
∴∠EDO＝30°，
∵y＝kx+3（k≠0）与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
∵AC⊥CD，
∴∠DAC＝90°﹣30°＝60°，
∴OA＝，
∴A（，0），
把A（，0）代入y＝kx+3，得到k＝﹣x+3，
由，解得，
∴C（，），
连接OC，作点C关于y轴的对称点F交y轴于点R，连接OF，FP，过点P作PM⊥OC于M，过点Q作QH⊥PM于H，QN⊥OC于N，则四边形QHMN是矩形．
∵OD＝OA＝，∠DCA＝90°，
∴OC＝OD＝OA＝，
∴∠COA＝∠CAO＝60°，
∴∠COR＝∠FOR＝30°，
∴∠FOC＝60°，
∵OC＝FO，
∴△OFC是等边三角形，
∵CP＝PF，QN＝HM＝OQ，PH＝PQ＝，
∴当F，P，M共线时，PH+HM的值最小，最小值＝﹣＝，
∴CP+PQ+OQ的最小值＝+＝．

11．如图①，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为Q，连接BC．

（1）求直线BC的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PD⊥BC于点D，在直线BC上有一动点M，当线段PD最大时，求PM+MB最小值；
【解答】解：（1）令y＝0，﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1和4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
令x＝0，y＝2，
∴C（0，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2．

（2）如图1中，作PM∥y轴交BC于M．

∵∠DPM是定值，
∴当PM的值最大时，PD的值最大，设P（m，﹣m2+m+2），则M（m，﹣m+2），
∴PM＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴m＝2时，PM的值有最大值，即PD的值最大，此时P（2，3）．

在y轴上取一点G，使得sin∠GBC＝，作GK⊥BC于K，
∵sin∠GBK＝＝，设GK＝k，BG＝3k，则BK＝2k，
∵∠GCK＝∠BCO，∠GKC＝∠BOC＝90°，
∴△CKG∽△COB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CK＝k，CG＝k，
∵CK+BK＝BC，
∴k+2k＝2，
∴k＝，
∴OG＝OC﹣CG＝，
∴G（0，），
∴直线BG的解析式为y＝﹣x+，
∵PM+BM＝PM+ME，
∴当P．M，E共线，且PE⊥BG时，PM+PE的值最小，
∵PE⊥BG，
∴直线PE的解析式为y＝y＝x﹣2，
由，解得，
∴E（，），
∴PE＝＝，
∴PM+BM的最小值为．

12．如图1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A在点B左边），O为坐标原点．点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE∥x轴交直线BC于点E．点P为∠CAB角平分线上的一动点，过点P作PQ⊥BC于点H，交x轴于点Q；点F是直线BC上的一个动点．
（1）当线段DE的长度最大时，求DF+FQ+PQ的最小值．

【解答】解：（1）如图1，

当x＝0时，y＝3．
当y＝0时，．
∴
∴AC⊥BC，且∠ABC＝30°，AC＝，且
设D（a，），则E（）
∴DE＝a﹣
∴当a＝﹣时，DE最大．此时D（）
∵AP平分∠CAB，
∴∠PAB＝∠CAB＝30°，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB＝60°，
∴∠P＝∠PQB﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°＝∠PAB，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB＝60°，
∴AQ＝PQ，
∴＝，
将射线AB绕A顺时针旋转30°得到直线AM，过点D作AM的垂线于点M，交x轴于点Q′，则．
当Q运动到Q′时，有＝DM，
过D作DN⊥x轴于点N，可得△AQ′M与△DQ′N相似，
DN＝Dy＝，AN＝
∴Q′N＝，DQ′＝，AQ′＝AN﹣Q′N＝
∴Q′M＝，
∴DM＝DQ′+Q′M＝
＝DM＝．