（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第二十七讲 尺规作图（讲义）学案

备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）

第二十七讲  尺规作图

必备知识点

考点一  尺规作图

必备知识点

（1）题目一：作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a .

求作：线段AB，使AB = a .

作法：

（1）       作射线AP；

（2）       在射线AP上截取AB=a .

则线段AB就是所求作的图形。

（2）题目二：作已知线段的垂直平分线。

已知：如图，线段MN.

求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.

作法：

（１）分别以M、N为圆心，大于　　

　的相同线段为半径画弧，

两弧相交于P，Q；

（２）连接PQ交MN于O．

则点PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。

（3）题目三：作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB，

求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。

作法：

（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，

分别交OA，OB于M，N；

（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的线段长　

　为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；

（3）       作射线OP。

则射线OP就是∠AOB的角平分线。

（4）题目四：作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB

作法：

（1）作射线O’A’；

（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；

（3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’；

（4）以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；

（5）连接O’N’并延长到B’。

则∠A’O’B’就是所求作的角。

（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。

已知：如图，P是直线AB上一点。

求作：直线CD，是CD经过点P，且CD⊥AB。

作法：

（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；

（2）分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点Q；

（3）过D、Q作直线CD。

则直线CD是求作的直线。

（6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线

已知：如图，直线AB及外一点P。

求作：直线CD，使CD经过点P，

且CD⊥AB。

作法：

（1）以P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N；

（2）分别以M、N圆心，大于长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q；

（3）过P、Q作直线CD。

则直线CD就是所求作的直线。

（7）题目七：已知三边作三角形。

已知：如图，线段a，b，c.

求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.

作法：

（1）       作线段AB = c；

（2）       以A为圆心，以b为半径作弧，

以B为圆心，以a为半径作弧与

前弧相交于C；

（3）       连接AC，BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

（8）题目八：已知两边及夹角作三角形。

已知：如图，线段m，n, ∠.

求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n.

作法：

（1）       作∠A=∠；

（2）       在AB上截取AB=m ,AC=n；

（3）       连接BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

（9）题目九：已知两角及夹边作三角形。

已知：如图，∠，∠，线段m . 

求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=m.

作法：

（1）       作线段AB=m；

（2）       在AB的同旁

作∠A=∠，作∠B=∠，

∠A与∠B的另一边相交于C。

则△ABC就是所求作的图形（三角形）。

考点一  尺规作图

1．如图，BD平分∠ABC，点E为AB上一点．

（1）尺规作图：以E为顶点，作∠AEF＝∠ABC，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，若∠DFE＝150°，求∠BEF的度数．

【解答】解：（1）如图，∠AEF即为所求；

（2）∵∠DFE＝150°，

∴∠EFB＝180°﹣150°＝30°，

∵∠AEF＝∠ABC，

∴EF∥BC，

∴∠FBC＝∠EFB＝30°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠BEF＝∠FBC＝30°．

答：∠BEF的度数为30°．

2．已知线段a，b，点A，P位置如图所示．

（1）画射线AP，请用圆规在射线AP上依次截取AB＝a，BC＝b；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作图形中，若M，N分别为AB，BC的中点，在图形中标出点M，N的位置，再求出当a＝4，b＝2时，线段MN的长．

【解答】解：（1）如图所示，线段AB、BC即为所求．

（2）∵a＝4，b＝2，即AB＝4，BC＝2，且M，N分别为AB，BC的中点，

∴MB＝AB＝2，BN＝BC＝1，

∴MN＝MB+BN＝2+1＝3．

3．如图，已知∠BAC．用三种不同的方法作∠α等于∠BAC．

要求：

（1）尺规作图；

（2）保留作图痕迹，不写作法．

【解答】解：如图①～③，∠α即为所求．

4．如图，已知∠BAC，用三种不同的方法画出∠BAC的角平分线．

要求：（1）画图工具：带有刻度的直角三角板；（2）保留画图痕迹，简要写出画法．

【解答】解：如图，射线OP即为所求．

5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．

（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）中所作的图形中，求证：AD⊥EF．

【解答】（1）解：如图，

（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

在Rt△ADE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），

∴AE＝AF，

而DE＝DF，

∴AD垂直平分EF，

即AD⊥EF．

6．如图，已知△ABC，以A为圆心，AC为半径画弧与BC相交于另一点E．

（1）用尺规作图的方法，作出△ABC的高AD（垂足为D）．

（2）求证：ED＝CD．

【解答】（1）解：如图，AD为所作；

（2）证明：由作法得AC＝AE，

∴△ACE为等腰三角形，

∵AD⊥CE，

∴AD为△ACE的中线，

∴ED＝CD．

7．作图题：如图，平面内有四个点A、B、C、D，请你利用直尺和圆规，根据下列语句画出符合要求的图，请保留作图痕迹．

（1）画直线AB，射线AC，线段BC；

（2）在直线AB上找一点M，使线段MD与线段MC之和最小；

（3）在线段AD的延长线上截AE＝3AD，连线段CE交直线AB于点F．

【解答】解：（1）如图，直线AB，射线AC，线段BC为所作；

（2）如图，点M为所作；

（3）如图，点E、F为所作．

8．在劳动植树节活动中，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路的AB，AC交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点P的位置，保留画图痕迹，不要证明．

【解答】解：如图，

理由是：因为P是∠A的平分线和MN的垂直平分线的交点，

所以P到∠A的两边AB和AC的距离相等，P到M、N的距离相等，

所以P就是所求．

9．如图，已知△ABC和两内角平分线AD，BE．

（1）求作△ABC的角平分线CF；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）求证：△ABC的三条角平分线AD，BE，CF相交于同一点．

【解答】（1）解：CF即为所求作的角分线；

（2）证明：设AD，BE相交于P过点P分别作PH⊥AB于H，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，

∵AP是∠BAC的平分线，

∴PH＝PM，

∵BP是∠ABC的平分线，

∴PN＝PM，

∴PH＝PN，

∴点P在∠ACB的平分线上，

∴△ABC的三条角平分线AD，BE，CF相交于同一点．

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB上一点，且AC＝AD．

（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接DE，求证：DE⊥AB．

【解答】（1）解：如图，AE为所作；

（2）证明：∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE＝∠DAE，

在△ACE和△ADE中，

，

∴△ACE≌△ADE（SAS），

∴∠ADE＝∠C＝90°，

∴DE⊥AB．

11．下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线l及直线l外一点P．

求作：直线PQ，使得PQ∥l．

作法：如图，

①在直线l外取一点A，作射线AP与直线l交于点B，

②以A为圆心，AB为半径画弧与直线l交于点C，连接AC，

③以A为圆心，AP为半径画弧与线段AC交于点Q，

则直线PQ即为所求．

根据小王设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，（　等边对等角　）（填推理的依据）．

∵AP＝　PQ　，

∴∠APQ＝∠AQP．

∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠APQ+∠AQP+∠A＝180°，

∴∠APQ＝∠ABC．

∴PQ∥BC（　同位角相等，两直线平行　）（填推理的依据）．

即PQ∥l．

【解答】解：（1）如图所示，直线PQ即为所求．

（2）证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），

∵AP＝AQ，

∴∠APQ＝∠AQP．

∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠APQ+∠AQP+∠A＝180°，

∴∠APQ＝∠ABC．

∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行），

即PQ∥l．

故答案为：等边对等角；AQ；同位角相等，两直线平行．

12．如图所示，已知锐角∠AOB及一点P．

（1）过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明．

【解答】解：（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；

（2）猜想：∠MPN+∠AOB＝180°或∠MPN＝∠AOB．

理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO＝∠PNO＝90°，

∴∠MPN+∠AOB＝180°．

右图中，∵∠PJM＝∠OJN，∠AMJ＝∠JNO＝90°，

∴∠MPN＝∠AOB．

13．尺规作图：作△ABC的高AD（要求：保留作图痕迹，不写作法）

【解答】解：如图，AD即为所求．