（全国通用）备战中考数学一轮复习专题讲义+强化训练 第十四讲 一次函数、二次函数背景下的存在性问题（讲义）学案

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备战2022年中考数学一轮复习专题讲义+强化训练（全国通用）
第十四讲 一次函数、二次函数背景下的存在性问题
一、三大必备知识点 2
考点一 等腰三角形存在性 5
考点二 直角三角形存在性 7
考点三 平行四边形存在性 9















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一、三大必备知识点
一、等腰三角形存在性
“两圆一线”得坐标：
（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；
（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．

几何法：
（1）两圆一线作出点；
（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线 段长得点坐标．
代数法：
（1）表示出三个点坐标A、B、C；
（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；
（3）分类讨论①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；
（4）列出方程求解．

二、直角三角形的存在性
1、勾股定理及其逆定理

（1） 若▲ABC为直角三角形，那么：。
（2）若，那么：▲ABC为直角三角形。
2、直线与斜率的关系

在平面直角坐标系中，若两直线垂直，（）
（2）、等腰直角三角形的存在性

第一步：易证ΔBAD∽ΔECB，如果再加一个条件BD=BE，此时ΔBAD≌ΔECB（AAS）所以，AB=CE，AD=CB
第二步：根据点坐标来表示线段长度，列等式求解。

三、平行四边形的存在性
平行四边形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，则O的坐标为（）或者（）

解题方法：
（1）选一定点，再将这一定点与另外点的连线作为对角线，分类讨论；
（2）利用中点坐标公式列方程计算


考点一 等腰三角形存在性

1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A（6，0）、B（0，2）两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）求经过A、B两点的一次函数表达式及点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标．（不用写过程）

【解答】解：（1）∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，
∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠BCO＝∠CDE，
在△BOC与△CED中，
，
∴Rt△BOC≌Rt△CED（AAS）；
（2）设直线AB解析式为y＝kx+b，把A（6，0），B（0，2）代入上式得：，
解得，
故直线AB的解析式为，
∵△BOC≌△CED，
∴CO＝DE，
设CO＝DE＝m，而OB＝CE＝2，
∴D（m+2，m），
∵点D在直线上，把D（m+2，m）代入上式并解得m＝1，
∴D（3，1），
（3）存在，理由如下：
设点P的坐标为（t，0），
而点C，D的坐标分别为（1，0），（3，1），
由点P，C，D的坐标得：PC2＝（t﹣1）2，PD2＝（t﹣3）2+1，CD2＝22+1＝5，
当PC＝PD时，则（t﹣1）2＝（t﹣3）2+1，
解得：t＝，
当PC＝CD时，则（t﹣1）2＝5，
解得：t＝，
当PD＝CD时，则（t﹣3）2+1＝5，
解得：t＝5或t＝1（舍去），
故P的坐标为或或或（5，0）．
2．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝﹣x+b的图象相交于点A（4，3），过点P（0，4）作x轴的平行线，分别交y＝kx的图象于点B，交y＝﹣x+b的图象于点C，连接OC．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求△OBC的面积；
（3）在坐标轴上存在点M，使△AOM是以OA为腰的等腰三角形，请直接写出点M的坐标．

【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx与一次函数y＝﹣x+b的图象相交于点A（4，3），
∴3＝4k，3＝﹣4+b，
解得：k＝，b＝7，
∴正比例函数解析式为y＝x，一次函数解析式为y＝﹣x+7；

（2）∵PC∥x轴，∴P（0，4），
∴把y＝4代入y＝x中，
解得：x＝，
∴B（，4），
把y＝4代入y＝﹣x+7中，
解得：x＝3，
∴C（3，4），
∴BC＝﹣3＝．
又∵P（0，4），
∴OP＝4，
∴S△OBC＝BC•OP＝××4＝；

（3）假设存在，当点M在x轴上时，设点M的坐标为（m，0），当点M在y轴上时，设点M的坐标为（0，n）．
∵A（4，3），
∴AO＝＝5，
∵△AOM是以OA为腰的等腰三角形，
∴分AO＝OM及AO＝AM两种情况考虑．
①当AO＝OM时，有5＝|m|或5＝|n|，
解得：m＝±5，n＝±5，
∴点M的坐标为（﹣5，0）或（5，0）或（0，﹣5）或（0，5）；
②当AO＝AM时，有5＝或5＝，
解得：m1＝8，m2＝0（舍去）或n1＝6，n2＝0（舍去），
∴点M的坐标为（8，0）或（0，6）．
综上所述：假设存在，即在坐标轴上存在点M，使△AOM是以OA为腰的等腰三角形，点M的坐标为（﹣5，0）或（5，0）或（8，0）或（0，﹣5）或（0，5）或（0，6）．
3．如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接AC，已知B（﹣1，0），且抛物线经过点D（2，﹣2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACE＝S△ABC，求E的坐标；
（3）若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．

【解答】解：（1）把B（﹣1，0），D（2，﹣2）代入y＝ax2﹣x+c得，
解得：．
故抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（3，0），
∴AB＝4，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴OC＝2，
∴S△ABC＝×4×2＝4，
设AC的解析式为y＝kx+b，把A（3，0），C（0，﹣2）代入y＝kx+b得，
解得．
∴y＝x﹣2，
如图1，过点E作x轴的垂线交直线AC于点F，
设点F（a，a﹣2），点E（a，a2﹣a﹣2），其中﹣1＜a＜3，
∴S△ACE＝OA•EF＝|a2﹣a|＝，
∵S△ACE＝S△ABC，
∴a2﹣3a＝2或﹣a2+3a＝2，
解得a1＝（舍去），a2＝，a3＝1，a4＝2，
∴E1（，），E2（1，﹣），E3（2，﹣2）；
（3）在y＝ax2+bx﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴OC＝2，
如图2，设P（0，m），则PC＝m+2，OA＝3，AC＝＝，
①当PA＝CA时，则OP1＝OC＝2，
∴P1（0，2）；
②当PC＝CA＝时，即m+2＝，∴m＝﹣2，
∴P2（0，﹣2）；
③当PC＝PA时，点P在AC的垂直平分线上，
则△AOC∽△P3EC，
∴＝，
∴P3C＝，
∴m＝，
∴P3（0，），
④当PC＝CA＝时，m＝﹣2﹣，
∴P4（0，﹣2﹣）．
综上所述，P点的坐标（0，2）或（0，﹣2）或（0，）或（0，﹣2﹣）．


4．已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，若抛物线y'与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线y'对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，求点E的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），
∴可设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3）（a≠0），
把C（0，4）代入y＝a（x+2）（x﹣3）（a≠0）中，得
4＝﹣6a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣，
即y＝﹣+；
（2）设P点的坐标为（t，），过点P作PM⊥x轴，与BC交于点M，如图1，

设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣，
∴M（t，），
∴，
∴＝﹣t2+3t，
，
，
∴S四边形ABPC＝S△AOC+S△BOC+S△BPC＝，
∴当t＝时，S四边形ABPC的最大值为，
∴此时P点的坐标为（，）；
（3）∵将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，
∴y′的解析式为y′＝﹣（x﹣）2+（x﹣）+4﹣2，即y′＝﹣x2+x+，
∴抛物线y′的对称轴为x＝1，
∵抛物线y＝﹣+＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线y＝﹣+的对称轴为直线x＝，
把x＝代入y′＝﹣x2+x+，中，得y′＝2，
∴Q点的坐标为（，2），
设E的坐标为（1，n）
①当PE＝QE时，则PE2＝QE2，
即，
解得，n＝，
∴E（1，）（不合题意舍弃，此时P，E，Q共线），
②当PQ＝QE时，则PQ2＝QE2，
即，
解得，n＝2±，
∴E点的坐标为（1，2+）或（1，2﹣）；
③当PQ＝PE时，则PQ2＝PE2，
即，
解得，n＝，
∴点E的坐标为（1，）或（1，）．
综上，当△PQE是等腰三角形时，点E的坐标为（1，2+）或（1，2﹣）或（1，）或（1，）．


考点二 直角三角形存在性

5．一次函数y＝x+3的图象分别交x、y轴于A、B两点，是否在坐标轴上存在一点C使得△ABC为直角三角形？若有，请求出C点的坐标．

【解答】解：存在，理由如下：
一次函数y＝x+3，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝﹣3，
∴B（0，3），A（﹣3，0），
∴OA＝3，OB＝3，
∴tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝60°，
∴∠OAB＝30°，
分三种情况：如图所示：
①当∠ABC＝90°时，∠ACB＝60°，
∴OC＝＝＝，
∴C（，0）；
②当∠ACB＝90°时，C与O重合，
∴C（0，0）；
③当∠BAC＝90°时，∠ACO＝60°，
∴OC＝OA＝3×3＝9，
∴C（0，﹣9）；
综上所述：存在一点C使得△ABC为直角三角形，C点的坐标为（，0）或（0，0）或（0，﹣9）．

6．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）．
（1）关于x、y的方程组的解为　　．
（2）求△ABD的面积；
（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵一次函数y＝x﹣2的图象与一次函数y＝4x+b的图象交于点D，且点D的坐标为（﹣2，﹣4），
∴关于x、y的方程组的解是，
∴关于x、y的方程组的解是，
故答案为：；

（2）把点D的坐标代入一次函数y＝4x+b中得：﹣8+b＝﹣4，
解得：b＝4，
∴B（0，4），
∵A（0，﹣2），
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，
∴S△ABD＝＝6；

（3）存在，
如图1，当点E为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于E，

∵D（﹣2，﹣4），
∴E（﹣2，0）；
当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；
当点D为直角顶点时，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，作DF⊥x轴于F，

设E（t，0），
当y＝0时，4x+4＝0，
∴x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
∵F（﹣2，0），
∴CE＝﹣1﹣t，EF＝﹣2﹣t，
∵D（﹣2，﹣4），
∴DF＝4，CF＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
在Rt△DEF中，
DE2＝EF2+DF2＝42+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+20，
在Rt△CDF中，
CD2＝12+42＝17，
在Rt△CDE中，CE2＝DE2+CD2，
∴（﹣1﹣t）2＝t2+4t+20+17，
解得t＝﹣18，
∴E（﹣18，0），
综上，点E的坐标为：（﹣2，0）或（﹣18，0）．
7．在平面直角坐标系中，直线x＝﹣2与x轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于x轴上方一点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点B（1，0），且AC＝2BC．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直于x轴于点D，交线段AB于点E，使DE＝3PE；
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线x＝﹣2与x轴交于点C，
∴C（﹣2，0）．
∵B（1，0），
∴BC＝3，
∵AC＝2BC，
∴AC＝6，
∵直线x＝﹣2与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点A，
∴A（﹣2，6），
把点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（Ⅱ）①∵点P是直线AB上方抛物线上的一点，
∴设点P的坐标为（a，﹣a2﹣3a+4），设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把点A、B的坐标代入，得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+2．
∵PD⊥x轴于点D，交AB于点E，

∴点E的坐标为（a，﹣2a+2），
∴DE＝﹣2a+2，PE＝﹣a2﹣3a+4﹣（﹣2a+2）＝﹣a2﹣a+2，
∵DE＝3PE，
∴﹣2a+2＝3（﹣a2﹣a+2），
解得：a1＝1（舍去），a2＝﹣，
∴当x＝﹣时，y＝﹣﹣3×（﹣）+4＝，
∴点P的坐标为（﹣，）；
②∵点M在直线PD上，
∴设点M的坐标为（﹣，m），
∵A（﹣2，6），B（1，0），
∴AB＝＝，AM＝，BM＝，
∵△ABM为以AB为直角边的直角三角形，
当BM为斜边时，AB2+AM2＝BM2，
即45++（6﹣m）2＝+m2，
解得：m＝，
∴点M的坐标为（﹣，）；
当AM为斜边时，AB2+BM2＝AM2，
即45++m2＝+（6﹣m）2，
解得：m＝﹣，
∴点M的坐标为（﹣，﹣）．
综上所述，符合题意的点M的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC＝5．
（1）试求出点B的坐标．
（2）分别求出直线BC和抛物线的解析式．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵点C （0，3），即OC＝3．
∵BC＝5，
在Rt△BOC中，根据勾股定理得OB＝，
即点B坐标为（4，0）．
（2）把B（4，0）、C（0，3）分别代入y＝kx+n中，
得，解得．
∴直线BC解析式为；
把A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）分别代入y＝ax2+bx+c得
，解得．
∴抛物线的解析式是．
（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式是，
∴抛物线对称轴为直线x＝．
设点P坐标为（）．
①当∠PCB＝90°时，有BP2＝BC2+PC2．
∵，，BC2＝25．
即＝+25，
解得：m＝．
故点P1（）；
②当∠PBC＝90°时，有PC2＝PB2+BC2．
∵，，BC2＝25．
即＝+25，
解得：m＝﹣2．
故点P2（）；
③当∠BPC＝90°时，有BC2＝BP2+PC2．
即25＝+．
解得：m1＝，m2＝．
∴P3（，），P4（，）．
综上所述，使得△BCP为直角三角形的点P的坐标为 （）或（）或（，）或（，）．




考点三 平行四边形存在性
9．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将A（1，3）、B（﹣2，﹣1），代入y＝kx+b得：
，解得，
∴一次函数的表达式为y＝x+；
（2）在y＝x+中，令x＝0得y＝，
∴OD＝，
∴S△AOD＝OD•|xA|＝××1＝，
S△BOD＝OD•|xB|＝××2＝，
∴△AOB的面积S△AOB＝S△BOD+S△AOD＝；
（3）存在，理由如下：
在y＝x+中，令y＝0得y＝﹣，
∴C（﹣，0），
设M（m，n），而B（﹣2，﹣1），O（0，0），
①以OB、CM为对角线，则OB的中点即是CM的中点，如图：

∴，解得，
∴M（﹣，﹣1）；
②以BC、OM为对角线，则BC的中点即是OM的中点，如图：

∴，解得，
∴M（﹣，﹣1）；
③以BM、CO为对角线，则BM的中点即是CO的中点，如图：

∴，解得，
∴M（，1）；
综上所述，M的坐标为：（﹣，﹣1）或（﹣，﹣1）；或（，1）．
10．如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2对应的函数解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）请你找到图象中直线l1在直线l2上方的部分，直接写出此时自变量x的取值范围；
（4）在坐标平面内是否存在点P，使以点A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+3，得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2对应的函数解析式为y＝kx+b，则由点C（1，4）、A（3，0）得：，
解得：，
∴直线l2对应的函数解析式为y＝﹣2x+6；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，如图：

当y＝0时，x+3＝0，解得 x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
又A（3，0），
∴AB＝6，
∵C（1，4），
∴CD＝4，
∴，
故△ABC的面积为12；
（3）由图可得：直线l1在直线l2上方时，x＞1；
（4）存在，理由如下：
设P（m，n），而A（3，0），B（﹣3，0），C（1，4），以点A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
①以AB、CP为对角线，则AB的中点与CP的中点重合，如图：

∴，解得，
∴P（﹣1，﹣4）；
②以AC、BP为对角线，如图：

同理可得：，
解得：，
∴P（7，4）；
③以AP、BC为对角线，如图：

同理可得：，
解得：，
∴P（﹣5，4）；
综上所述：以点A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为：（﹣1，﹣4）或（7，4）或（﹣5，4）．
11．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的二次函数解析式：
（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）如图2，点H是直线BC下方抛物线上的动点，连接BH，CH．当△BCH的面积最大时，求点H的坐标．
【解答】解：（1）∵y过A（﹣1，0），B（5，0）
把A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣5
得，
解得
y＝x2﹣4x﹣5；
（2）当x＝0时，y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
设P（m，m2﹣4m﹣5），Q（n，0），
①BC为对角线，
则xQ﹣xC＝xB﹣xP，yQ﹣yC＝yB﹣yP，
解得，（舍去），
∴P（4，﹣5），
②CP为对角线，
则xQ﹣xC＝xP﹣xB，yQ﹣yC＝yP﹣yB，
解得或，
∴P（2+，5）或（2﹣，5），
综上P（4，﹣5）或（2﹣，5）或（2+，5）；
第三种，CQ为对角线不合要求，舍去；
（3）过H作HD∥y轴交BC于D，

∴S△BCH＝S△CDH+S△BDH＝HD（xH﹣xC）+HD（xB﹣xH）＝HD（xB﹣xC）＝HD，
设BC：y＝kx+b1，
∵BC过B、C点，
代入得，
，
，
∴y＝x﹣5，
设H（h，h2﹣4h﹣5），D（h，h﹣5），
S△BCH＝HD＝×[h﹣5﹣（h2﹣4h﹣5）]＝﹣（h﹣）2+，
∴当h＝时，H（，﹣）时，S△BCHmax＝．

12．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B，且与x轴交于点C，连接BC．
（1）求b、c的值；
（2）点P为线段AC上一动点（不与A、C重合），过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC＝n，△PBD的面积为S，求S关于n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当S最大时，点M在抛物线上，在直线PD上，是否存在点Q，使以M、Q、P、B为顶点为四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）对于，令＝0，解得x＝﹣3，令x＝0，则y＝，
故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，），
将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
即b＝﹣，c＝；

（2）由（1）知，抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+，
由点A、C的坐标知，AC＝5，
∵PD∥AB，
则△ABC∽△PDC，
∴，即，解得yD＝，
则S＝S△PCB﹣S△PCD＝×PC×（yB﹣yD）＝×（﹣）×n＝﹣n2+n（0＜n＜5）；

（3）由S＝﹣n2+n知，当n＝时，S最大，此时点P的坐标为（﹣，0），
由点P、D的坐标得，直线PD的表达式为y＝x+，
设点M坐标为（m，n），则n＝﹣m2﹣m+①，设点Q的坐标为（x，x+），
①当PB是边时，
则点B向左平移个单位向下平移个单位得到点P，同样点M（Q）向左平移个单位向下平移个单位得到点Q（M），
即m±＝x且n±＝x+②，
联立①②并解得x＝﹣或﹣（不合题意的值已舍去），
故点Q的坐标为（﹣，﹣）或（﹣，﹣）；
②当PB是对角线时，
由中点坐标公式得：（0﹣）＝（x+m）且（0+）＝（n+x+）③，
联立①③并解得x＝（不合题意的值已舍去），
故点Q的坐标为（，）．
综上，点Q的坐标为（，）或（﹣，﹣）（﹣，﹣）．