方法技巧专题28 极坐标与参数方程的概念-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

 方法技巧专题28  极坐标与参数方程的概念

学生篇

1.例题

【例1】 在直角坐标系中，已知曲线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求的参数方程和的普通方程；

（2）设点在上，点在上，求的最小值.

【例2】已知直线, 曲线．

(1)设与相交于两点,求；

(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值．

2.巩固提升综合练习

【练习1】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

【练习2】在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(1)写出直线的普通方程和曲线的参数方程.

(2)求曲线上的点到直线的最短距离.

1.例题

【例1】极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的普通方程；

（2）若曲线C上恰有四个不同的点到直线l的距离等于1，求实数a的取值范围．

【例2】 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）在曲线上取两点，与原点构成，且，求面积的最大值.

2.巩固提升综合练习

【练习1】在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）若点在曲线上，在曲线上，求的最小值.

【练习2】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．坐标原点

为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；

（2）设射线与曲线交于点，与直线交于点，求线段的长．

【练习3】在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，点在圆上运动．以极点为直角坐标系

原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．

（1）求圆的参数方程；

（2）若点在线段上，且，求动点轨迹的极坐标方程．

1.例题

【例1】 以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线相交于两点，求.

【例2】在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(为参数，0)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设点M的坐标为(1，0)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值.

【例3】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极

点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）判断直线与曲线的公共点的个数，并说明理由；

（2）设直线与曲线交于不同的两点，点，若，求的值．        

【例4】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

2.巩固提升综合练习

【练习1】在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）设，直线的参数方程是（为参数），已知与圆交于两点，且，求的普通方程.

【练习2】在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为

极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求和的直角坐标方程；

（2）设点，直线交曲线于两点，求的值．

【练习3】已知曲线C：，直线l：(t为参数)．

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值

【练习4】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

1.例题

【例1】在直角坐标系中,已知曲线的方程为,的方程为,是一条经过原点且斜率大于的直线,以直角坐标系原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求与的极坐标方程;

(2)若与的一个公共点(异于点),与的一个公共点为,求的取值范围.

【例2】在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为：，动点在椭圆上，为原点，线段的中点为.

（1）以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点的轨迹的极坐标方程；

（2）设直线的参数方程为（为参数），与点的轨迹交于、两点，求弦长.

2.巩固提升综合练习

【练习1】在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，

以轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求，的极坐标方程；

（2）若直线的极坐标方程，设与的交点为，，求的面积．

【练习2】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(，为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若，是曲线上两点，求的值．

【练习3】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为的正半轴建立平面直角坐标系.

（1）求和的参数方程；

（2）已知射线，将逆时针旋转得到，且与交于两点， 与交于两点，求取得最大值时点的极坐标.

1.在直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数），．以坐标原点为

极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为：．

（1）在直角坐标系中，求圆的圆心的直角坐标；

（2）设点，若直线与圆交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．

2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若曲线与曲线交于，两点，且，求的值．

3.   在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为

极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）设点分别为曲线与曲线上的任意一点，求的最大值；

（2）设直线（为参数）与曲线交于两点，且，求直线的普通方程．

4.   已知在直角坐标系内，直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）．以为

极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的直角坐标方程及直线经过的定点的坐标；

（2）设直线与曲线相交于两点，求点到两点的距离之和的最大值．

5.在平面直角坐标系中，已知直线(为参数)﹒以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆R)﹒

(1)若直线过圆心C，求的值；

(2)若，直线与圆相交于两点，点直角坐标，求的值．

6.在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求直线与曲线的普通方程；

(2)已知直线与曲线交于两点，设，求的值.

7.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程和的直角坐标方程;

(2)已知曲线的极坐标方程为,点是曲线与的交点,点是曲线与的交点,且均异于原点,且,求的值.

8.在直角坐标系中,曲线的参数方程为,曲线的参数方程为：(为参数).

(1)求曲线,的普通方程;

(2)若曲线上一点到曲线的距离的最大值为,求.

9.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若，是曲线上两点，求的值．

10.在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线，的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点（异于极点），定点，求的面积

11.在直角标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求，的极坐标方程；

（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积