方法技巧专题15 方程的解与函数的零点问题-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

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 方法技巧专题15 方程的根与函数的零点问题
解析篇
一、 方程的根与函数的零

二、函数零点存在性
1、函数零点存在性判断：（此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数）
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
2、求函数零点所在区间的方法：
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．



1. 例题
【例1】设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)[来源:学科网]
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
【解析】法一：∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的，∴函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)．

法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．
答案：B
【例2】函数y＝ln(x＋1)与y＝的图象交点的横坐标所在区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
【解析】函数y＝ln(x＋1)与y＝的图象交点的横坐标，即为函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln 3－＞0，∴f(x)的零点所在区间为(1，2)．
答案：B
【例3】函数（）的导函数的图象如图所示：[来源:
（1）求的值并写出的单调区间；
（2）若函数有三个零点，求的取值范围．
【解析】

(2)由(1)得f(x)＝x3－x2－2x＋c，
函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，
在(－1，2)上是减函数，
所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝＋c，[来源:学#科#网Z#X#X#K]
极小值为f(2)＝c－.
而函数f(x)恰有三个零点，故必有
解得－＜c＜.
所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是.
2.巩固提升综合练习
【练习1】函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．
【解析】求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n＝2．
答案：2
【练习2】若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A．(a，b)和(b，c) B．(－∞，a)和(a，b) C．(b，c)和(c，＋∞) D．(－∞，a)和(c，＋∞)
【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内．
答案：A
答案：D
【练习3】已知函数.
（1）证明：，；
（2）判断的零点个数，并给出证明过程.
【解析】（1），，则该函数为偶函数，
只需证，其中.
，.
当时，令，得.
当时，，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增.
，，
当时，，此时，函数单调递减，则，
因此，对任意的，；
（2）三个零点，证明如下：
由（1）可知，当时，函数有一个零点.
当时，，此时，函数无零点；
当时，，.
此时，函数单调递增，，.
由零点存在定理可知，存在，使得.
当时，，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增.
，，.
由零点存在定理知，函数在区间上无零点，在区间上有且只有一个零点，即函数在区间上有且只有一个零点.
由于函数为偶函数，所以，函数在上无零点，在上有且只有一个零点.
综上所述，函数有三个零点.
三、方程的根与函数零点个
1、方程的根与函数零点的关系：
函数y＝f(x)有零点 ⇔ 方程f(x)＝0有实数根 ⇔ 函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．
2、求方程的根与函数零点个数的方法：
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．


1.例题
【例1】已知函数f(x)＝满足f(0)＝1，且f(0)＋2f(－1)＝0，那么函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．
【解析】∵f(0)＝1，∴c＝1，又∵f(0)＋2f(－1)＝0，∴f(－1)＝－1－b＋1＝－，∴b＝．∴当x＞0时，g(x)＝2x－2＝0有唯一解x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x2＋x＋1，令g(x)＝0得x＝－或x＝2(舍去)，
综上可知，g(x)＝f(x)＋x有2个零点．
答案：2
【例2】函数的零点个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4
【解析】由f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0．5x|＝x．

设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．
答案：B
【例3】已知函数 .
（1）求在处的切线方程；
（2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数.
【解析】
（1）由已知得 ，有，
∴在处的切线方程为：，化简得 .

2.巩固提升综合练习
【练习1】已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　)
A．2　　 B．3 C．4 D．5
【解析】分别画出函数f(x)，g(x)的草图，观察发现有2个交点．

答案：A
【练习2】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|
的零点个数是________．
【解析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．

答案：4
【练习3】已知函数（，）．
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）当时，判断关于的方程的解的个数．
【解析】（1）∵，
∴，
由题意得在恒成立，
即在恒成立，
设，
则，
∴在上单调递增，在上单调递减，

令，
则，
令，
则，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
又，，
∴存在，使得 时， 单调递减；

【练习4】已知函数.
（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）判断函数在区间上零点的个数.
【解析】（Ⅰ）因为，
①当时，，所以在上是增函数，无最小值；
②当时，又得，由得
∴在上是减函数，在上是增函数，
若，则在上是减函数，则；
若，则在上是减函数，在上是增函数，
∴
综上：当时，的最小值为；
当时，的最小值为
（Ⅱ）由得
令，则，由得，由得，所以在上是减函数，在上是增函数，
且，且，当时，，
所以，当时，无有零点；
当或时，有1个零点；
当时，有2个零点.


四、利用函数的零点求参数范围
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．


1.例题
【例1】已知方程|x2－a|－x＋2＝0(a＞0)有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，4) B．(4，＋∞) C．(0，2) D．(2，＋∞)
【解析】依题意，知方程|x2－a|＝x－2有两个不等的实数根，即函数y＝|x2－a|的图象与函数y＝x－2的图象有两个不同交点．如图，则＞2，即a＞4．

答案：B
【例2】已知是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，．若函数在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
【解析】当x∈[0，3)时，f(x)＝＝，由f(x)是周期为3的函数，作出f(x)在[－3，4]上的图象，如图．

函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y＝f(x)，x∈[－3，4]与y＝a的图象有10个不同交点，在坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图象如图，可知当0＜a＜时满足题意．
答案：[来源:学,科,网]
【例3】已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围.
【解析】


（2）由题意得，，
所以.
由，解得，
故当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以.
又，，
结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，
则解得.
所以实数的取值范围为.

2.巩固提升综合练习
【练习1】若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为(　　)
A．0 B．－ C．0或－ D．2
【解析】当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－．综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．
答案：C
【练习2】已知函数，若实数是方程的解，且，则的值为(　　)
A．恒为负 B．等于零 C．恒为正 D．不小于零
【解析】在同一坐标系中作出y＝log2x和y＝x的图象，由图象知f(x1)＜0．

答案：A
【练习3】已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是(　　)
A．∪ B．∪ C．∪ D．∪
【解析】当0＜x＜1时，f(x)＝－a＝－a；当1≤x＜2时，f(x)＝－a＝－a；当2≤x＜3时，f(x)＝－a＝－a；…．f(x)＝－a的图象是把y＝的图象进行纵向平移而得到的，画出y＝的图象，如图所示，通过数形结合可知a∈∪．

答案：A
【练习4】【2018年理数全国卷II】已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求．

（2）设函数．
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
【练习5】 11.已知函数,.
（Ⅰ）当时,求的单调区间和极值；
（Ⅱ)若关于的方程恰有两个不等实根,求实数的取值范围；
【解析】
（Ⅰ）解:当时,函数,则.
令,得,,当变化时,的变化情况如下表:







+

-

+

↗
极大值
↘
极小值
↗
∴在和上单调递增,在上单调递减.
当时,,当时,.
（Ⅱ）依题意,即. 则
令,则.
当时,,故单调递增（如图）,

且；当时,,故单调递减,且.
∴函数在处取得最大值. [来源:学。科。网]
故要使与恰有两个不同的交点,只需.
∴实数的取值范围是.



五、 课后自我检测
1．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是(　　)
A．(0，1)　　　　　　 B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞)
【解析】因为f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝－log24＝－＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)．
答案：C
2．方程的根所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
【解析】法一：方程log3x＋x＝3的根即是函数f(x)＝log3x＋x－3的零点，由于f(2)＝log32＋2－3＝log32－1<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0且函数f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．
∴函数f(x)的零点即方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2，3)．

法二：方程log3x＋x＝3的根所在区间即是函数y1＝log3x与y2＝3－x交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示．由图知方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2，3)．
答案：C
3．设a1，a2，a3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f(x)＝＋＋的两个零点分别位于区间(　　)
A．(－∞，λ1)和(λ1，λ2)内 B．(λ1，λ2)和(λ2，λ3)内
C．(λ2，λ3)和(λ3，＋∞)内 D．(－∞，λ1)和(λ3，＋∞)内
【解析】本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x∈(λ1，λ2)时，函数图象连续，且x→λ1，f(x)→＋∞，x→λ2，f(x)→－∞，所以函数f(x)在(λ1，λ2)上一定存在零点；同理当x∈(λ2，λ3)时，函数图象连续，且x→λ2，f(x)→＋∞，x→λ3，f(x)→－∞，所以函数f(x)在(λ2，λ3)上一定存在零点，故选B．
答案：C
6．已知函数，则函数的零点为(　　)
A．，0　　　　　　　　　B．－2，0 C． D．0
【解析】当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0．
解析：D
7．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
【解析】画出f(x)＝的图象，如图．

由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0＜m＜1，即m∈(0，1)．
答案：(0，1)
8．已知函数f(x)＝有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x－a＝0，即2x＝a必有一根，此时0＜a≤1；当x>0时，方程x2－3ax＋a＝0有两个不等实根，即方程x2－3ax＋a＝0有2个不等正实根，于是∴a＞，故＜a≤1．
答案：[来源:学科网ZXXK]
9.已知函数的两个零点为．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求证：．
【解析】

（2）令，则，
由题意知方程有两个根，
即方程有两个根，
不妨设，，令，
则当时，单调递增，时，单调递减，
综上可知，，
要证，即证，即，即证，
令，下面证对任意的恒成立，

∵，∴，
∴
又∵，∴
∴，则在单调递增
∴，故原不等式成立．
10、已知函数.
（1）当时，求证：；
（2）讨论函数零点的个数.
【解析】证明：当时，.
令则
当时，；当时，，时，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以是的极小值点，也是最小值点，
即
故当时，成立，
，由得.
当时，；当时，，
所以在上单调减，在单调增，
所以是函数得极小值点，也是最小值点，
即
当，即时，没有零点，
当，即时，只有一个零点，
当，即时，因为
所以在上只有一个零点；
由，得，令，则得，
所以，于是在在上有一个零点；
因此，当时，有两个零点.
综上，时，没有零点；时，只有一个零点；时，有两个零点.
11.【2017课标1，理21】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
【解析】

12.已知函数f（x）=.
（1）当a为何值时，x轴为曲线 的切线；
（2）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数.
【解析】

（Ⅱ）当时，，从而，
∴在（1，+∞）无零点.
当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.
当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.
(ⅰ)若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.
(ⅱ)若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.[来源:学科网]
①若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.
②若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；
③若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.…10分
综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.