方法技巧专题02 数列求通项问题-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

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技巧方法专题2 数列求通项问题 解析版



【一】归纳法求通项
通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托基本数列如等差数列、等比数列，寻找an与n，an与an＋1的联系.

1.例题
【例1】由数列的前n项，写出通项公式：
(1)3,5,3,5,3,5，…
(2)，，，，，…
(3)2，，，，，…
(4)，，，，，…

【解析】　(1)这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.所以它的一个通项公式为an＝4＋(－1)n.
(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为an＝.
(3)数列可化为1＋1,2＋，3＋，4＋，5＋，…，所以它的一个通项公式为an＝n＋.
(4)数列可化为，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝.

【例2】已知数列：，按照从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的（ ）
A．第44项 B．第76项 C．第128项 D．第144项
【解析】观察分子分母的和出现的规律：，
把数列重新分组：，
可看出第一次出现在第16组，因为，所以前15组一共有120项；
第16组的项为，所以是这一组中的第8项，故第一次出现在数列的第128项，故选C.

2. 巩固提升综合练习
【练习1】由数列的前几项，写出通项公式：
(1)1，－7，13，－19，25，…
(2)，，，，，…
(3)1，－，，－，…
【解析】　(1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(6n－5).
(2)数列化为，，，，，…，分子，分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为an＝.
(3)数列化为，－，，－，…，
所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1.
【练习2】如图是一个三角形数阵，满足第行首尾两数均为，表示第行第个数，则的值为__________．

【答案】4951
【解析】设第n行的第2个数为an，由图可知，a2=2=1+1，a3=4=1+2+1，a4=7=1+2+3+1，a5=11=1+2+3+4+1…归纳可得an=1+2+3+4+…+（n-1）+1=+1，故第100行第2个数为：，故答案为4951
【二】公式法求通项
等差数列：
等比数列：

1.例题
【例1】 数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵，∴，
∴数列是等差数列，首项为，公差为﹣1．
∴，∴．∴．故选：C．
【例2】已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝．
求证：数列{bn}是等差数列，并求．
【解析】∵bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.
又b1＝＝，∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列，
故，即．
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0．
(1)求a2，a3；
(2)证明数列{an}为等比数列,并求．
【解析】(1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列。所以
【练习2】已知数列和满足
求证：是等比数列,是等差数列；
求数列和的通项公式．
【解析】证明:


是首项为,公比为的等比数列,



······




是首项为,公差为的等差数列.
由知,


【三】累加法求通项
型如an＋1＝an＋f(n)的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下：
第一步　将递推公式写成an＋1－an＝f(n)；
第二步　依次写出an－an－1，…，a2－a1，并将它们累加起来；
第三步　得到an－a1的值，解出an；
第四步　检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.累乘法类似.

1.例题
【例1】在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】在数列{an}中，a1＝2，，∴an+1﹣an＝
∴an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）
＝2+ln2+ ＝2+lnn，故2+ln10
故选：A
【例2】对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的通项公式_______，数列的前项和_______.
【解析】由题意可知，，，，，累加可得，
，
.
故答案为：；.
2.巩固提升综合练习
【练习1】在数列中，，则数列的通项 ________.
【解析】当时，
，
，
当也适用，所以.
【练习2】已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足（），且，则数列的最大值为__________．
【解析】根据题意，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，则 ， ，对于数列 满足 ，则有，数列的通项为： ，分析可得：当 时，数列取得最大值，此时 ；故答案为：．
【练习3】两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，得数列，则；对，．

【解析】因为，，，…………
所以
以上n个式子相加，得。

【四】累积法求通项
型如的递推公式求通项可以使用累积法

1.例题
【例1】已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求an.
【解析】由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1，
代入上式得(n－1)个等式累乘之，
即··…＝×××…×，
∴＝，又∵a1＝，∴an＝.
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an＝2n－1 B.an＝2n C. D.
【解析】由an＋1＝2nan，得＝2n，即··…＝21×22×23×…×2n－1，即＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝，故an＝a1＝.故选C.

【五】Sn法（项与和互化求通项）

已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)解题步骤：
第一步　利用Sn满足条件p，写出当n≥2时，Sn－1的表达式；
第二步　利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式；
第三步　若求出n≥2时的{an}的通项公式，则根据a1＝S1求出a1，并代入{an}的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是{an}的递推公式，则问题化归为类型二.

1.例题
【例1】已知数列的前n项和，且，则 .
【解析】因为，所以，所以，
当时，，不符合上式，所以
【例2】设数列的前项和，若，，则的通项公式为_____．
【解析】时，，化为：．
时，，解得．不满足上式．
∴数列在时成等比数列．
∴时，．
∴．
故答案为： ．
【例3】设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.
【答案】－.
【解析】试题分析：因为，所以，所以，即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所以，所以．
2.巩固提升综合练习
【练习1】在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项an.
【解析】　由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝an＋1，得
当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝an，
两式作差得nan＝an＋1－an，得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，
即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，
故当n≥2时，nan＝2·3n－2.
于是an＝
【练习2】记数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.
【解析】当时，，解得；当时，，，两式相减可得，，故，设，故，即，故.故数列是以为首项，为公比的等比数列，故，故.
故答案为：
【练习3】已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.[来源:学科网ZXXK]
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)由题设可知a1·a4＝a2·a3＝8，又a1＋a4＝9，
可解得或(舍去).
由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)Sn＝＝＝2n－1，又bn＝＝＝－，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.
【练习4】设数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）由n＝1得，因为，
当n≥2时，，
由两式作商得：（n＞1且n∈N*），
又因为符合上式，[来源:Z。xx。k.Com]
所以（n∈N*）．
（2）设，
则bn＝n＋n·2n，
所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋
设Tn＝2＋2·22＋3·23＋…+（n－1）·2n－1＋n·2n，①
所以2Tn＝22＋2·23＋…（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，②
①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，
所以Tn＝（n－1）·2n＋1＋2．
所以，
即．
【练习5】已知数列的前项和为，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，设数列的前项和为，求.
【解析】（1）证明：因为当时，，
所以． 所以，
因为，所以，所以，
所以．
所以是以为首项，以1为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，所以.
∴
∴



【六】构造法求通项
1.型如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：
第一步　假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；
第二步　由待定系数法，解得t＝；
第三步　写出数列的通项公式；
第四步　写出数列{an}通项公式.
2.an＋1＝pan＋f(n)型
【参考思考思路】确定设数列列关系式
比较系数求，
解得数列的通项公式解得数列的通项公式


1.例题
【例1】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.
【解析】递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，则t＝－3.
故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3).
令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.
所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.

【例2】已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，求数列{an}的通项公式.
【解析】令，即
解得，，所以数列以为首项，公比为2的等比数列。，即
【例3】已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式.
【解析】法一：设an＋1＋x×5n＋1＝2(an＋x×5n)，①
将an＋1＝2an＋3×5n代入①式，得2an＋3×5n＋x×5n＋1＝2an＋2x×5n，等式两边消去2an，得3×5n＋x×5n＋1＝2x×5n，两边除以5n，得3＋5x＝2x，则x＝－1，代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n).②
由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0，则＝2，则数列{an－5n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则an－5n＝2n－1，故an＝2n－1＋5n.
法二：an＋1＝2an＋3×5n，即，[来源:Zxxk.Com]
令，所以
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
故an＝2n－1＋5n.
【例4】 已知数列满足：，，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】数列满足：，
是以为首项为公差的等差数列，
故答案为：B.

2.巩固提升综合练习
【练习1】已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，则an＝________.
【解析】　设an＋1＋A＝3(an＋A)，化简得an＋1＝3an＋2A.
又an＋1＝3an＋2，∴2A＝2，即A＝1.
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3.
∴数列{an＋1}是等比数列，首项为a1＋1＝2，公比为3.
则an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1.
【练习2】已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的通项公式an等于(　　)
A.2n B.n(n＋1) C. D.
【解析】　∵an＋1＝an＋，∴2n＋1an＋1＝2nan＋2，即2n＋1an＋1－2nan＝2.
又21a1＝2，∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列，∴2nan＝2＋(n－1)×2＝2n，∴an＝.
【练习3】已知非零数列的递推公式为,.
(1)求证数列是等比数列；
(2)若关于的不等式有解,求整数的最小值；
(3)在数列中,是否一定存在首项、第项、第项,使得这三项依次成等差数列？若存在,请指出所满足的条件；若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由，得，
法一：即，
法二：由上，，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)由(1)可得：，所以已知的不等式等价于
令，[来源:Z*xx*k.Com]
则，
所以单调递增，则
，
于是，即，故整数的最小值为4.
(3)由上面得，则
要使成等差数列，只需，
即
因为，则上式左端；又因为上式右端
于是当且仅当，且为不小于4的偶数时，成等差数列．

【七】其他求通项方法
1.例题
【例1】 已知数列满足,,则（ ）
A． B． C． D．
【解析】依题意，，，所以，所以数列是周期为的数列，且每项的积为，故，故选B.
【例2】若数列{an}中，a1＝3且an＋1＝a(n是正整数)，则它的通项公式an为________________.
【解析】由题意知an>0，将an＋1＝a两边取对数得lg an＋1＝2lg an，即＝2，所以数列{lg an}是以lg a1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列，lg an＝(lg a1)·2n－1＝.即an＝.
【例3】已知数列满足递推关系：，，则＝（　　）
A． B． C． D．
【解析】由得：，即
又，则，数列是以为首项，为公差的等差数列
， ，本题正确选项：
2.巩固提升综合练习
【练习1】 已知数列{an}的前n项和是Sn，且满足an＋1＝(n∈N*)，，则S2 017＝（ ）
【解析】∵an＋1＝(n∈N*)，
∴，，
.∴数列{an}是周期为3的周期数列.a1＋a2＋a3＝.∴S2 017＝672×＋＝.
【练习2】 在数列中，已知，，则_______，归纳可知_______．
【解析】∵，，∴，
由，取倒数得 ，得，
即数列是以公差的等差数列，首项为，则，
即
故答案为： (1). (2).
【八】特征根和不动点法求通项（自我提升）
一、形如是常数）的数列
形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①
若①有二异根，则可令是待定常数）
若①有二重根，则可令是待定常数）
再利用可求得，进而求得．


1.例题
【例1】已知数列满足，求数列的通项．
【解析】其特征方程为，解得，令，
由，得， ．

【例2】已知数列满足，求数列的通项．
【解析】其特征方程为，解得，令，
由，得， ．[来源:学.科.网]
2.巩固提升综合练习
【练习1】设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．
（1）证明：，；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，，求的前项和．
【解析】（1）由求根公式，不妨设，得
，
（2）设，则，由
得，，消去，得，是方程的根，
由题意可知，
①当时，此时方程组的解记为

即、分别是公比为、的等比数列，
由等比数列性质可得,,
两式相减，得
，，
，
，即，
②当时，即方程有重根，，
即，得，不妨设，由①可知
，，
即，等式两边同时除以，得，即
数列是以1为公差的等差数列，

综上所述，
（3）把，代入，得，解得





二、形如的数列
对于数列，是常数且）
其特征方程为，变形为…②
若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．
这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得．
若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．
这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得．
此方法又称不动点法．

1.例题
【例3】已知数列满足，求数列的通项．
【解析】其特征方程为，化简得，解得，令
由得，可得，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，．

【例4】已知数列满足，求数列的通项．
【解析】其特征方程为，即，解得，令
由得，求得，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，，
．

2.巩固提升综合练习
【练习2】已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？
【解析】作特征方程变形得
特征方程有两个相同的特征根
(1)∵对于都有
(2)∵ ∴
令，得.故数列从第5项开始都不存在，
当≤4，时，.
(3)∵∴ ∴
令则∴对于∴
(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2.
∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在。
于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在。
【练习3】记
(1)求b1、b2、b3、b4的值；(2)求数列的通项公式及数列的前n项和
【解析】由已知,得,其特征方程为解之得,或
,
,



【练习4】各项均为正数的数列中，且对满足的正整数
都有，当．
【解析】由得
化间得，作特征方程，，。
所以 ， ， ．


1．已知正项数列中，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意 ,又 ,所以 ,选B.

2．在数列－1，0，，…中，0.08是它的第________项．
【答案】10
【解析】令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，即(2n－5)(n－10)＝0.
解得n＝10或n＝ (舍去)．

3．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.
【解析】原递推公式可化为an＋1＝an＋－，
则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，
a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－，an＝an－1＋－，逐项相加得an＝a1＋1－，
故an＝4－.
4．已知数列中，，，则该数列的通项_______.
【解析】,
在等式两边同时除以，得，
，,,,

,
累加得：，
，故答案为：
5．已知数列中，，则能使的的数值是（　 　）
A．14　 B．15　 C．16　 D．17
【解析】由题意得，
数列是周期为3的数列，所以．
6．已知数列满足且．
（1）证明数列是等比数列；
（2）设数列满足，，求数列的通项公式．
【解析】
（1）∵，∴
所以是首项为1公比为3的等比数列。
（2）由（1）可知，所以
因为，所以


……
，
所以




7．已知数列的前项和为，，．
（1）求；
（2）求证:．
【解析】（1）∵，∴，
两式相减得，，∴，
∴
又，满足上式．
∴．
（2）由（1）得．
∴

．

8．已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首项为4，公差为2的等差数列，
求证：数列{an}是等比数列，并求．
【解析】证明　由题意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，
∴an＝m2n＋2，∴＝＝m2，
∵m＞0且m≠1，∴m2为非零常数，
∴数列{an}是等比数列.由，所以，所以
9．已知数列满足：，，.
（1）若存在常数，使得数列是等差数列，求的值；
（2）设，证明：.
【解析】（1），，，.
由题意可得，则，解得.
若，则由得，即得与矛盾，所以
.
所以，当时，数列是公差为的等差数列；
（2）由（1）知，，
，.
设，，
两式相减得，
.
10．已知数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和．
【解析】（1）令，
当时，，
当时，，
当，满足.
∴.
所以的通项公式为.
（2）由（1）得，
，
，
所以的前项和.

11．数列，各项均为正数，其前项和为，且满足.
（1）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和，并求使对所有的都成立的最大正整数的值.
【解析】
（1）证明：，当时，，
整理得，，
又，
数列为首项和公差都是的等差数列.
，
又，
时，，又适合此式
数列的通项公式为；
（2）解：


依题意有，解得，
故所求最大正整数的值为.

12．已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）证明：．
【解析】（1）当时，，，即
从而构成以1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，，．
则当时．
故当时

又当时，满足题意，故．
法二：则当时，
那么
又当时，，
故成立。
13．已知数列满足：，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，证明：是等差数列.
（3）证明：.
【解析】（1）∵，∴，
∴是以为首项，为公比的等比数列.
∴.即.
（2）证明：∵，∴，
∴，①
.②
②①，得，
即，③
.④
④③，得，即，∴，
∴是等差数列.
（3）证明：∵，
∴.①
∵，，
∴，②
综上①，②得：.

14．在平面直角坐标系中，点、和（为非零常数），满足，数列｛｝的首项为=1，其前项和用表示.
（1）分别写出向量和的坐标；
（2）求数列｛｝的通项公式；
（3）请重新设计的、坐标（点的坐标不变），使得在的条件下得到数列｛｝，其中=．
【解析】（1）因为、和，所以，
因此，；
（2）因为，所以
因此
（3）
设、，则
因此，；
因此．

15．已知点是函数（且）的图象上一点,等比数列的前项和为,数列的首项为,且前项和满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若数列前项和为,问使得成立的最小正整数是多少？
【解析】(1)∵,∴
,,
．
数列成等比数列，,所以．
公比,所以,．
∵
又,，∴．
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列,， ，
当,，
∴．
(2)

．
由得,满足的最小正整数为67．