方法技巧专题03 空间几何体外接球和内切球-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

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 方法技巧专题3 空间几何体外接球和内切球 解析版



【一】高过外心
空间几何体（以为例）的高过底面的外心（即顶点的投影在底面外心上）：
（1） 先求底面的外接圆半径，确定底面外接圆圆心位置;
（2） 把垂直上移到点，使得点到顶点的距离等于到的距离相等，此时点是几何体外接球球心；
（3） 连接，那么, 由勾股定理得：.



1.例题
【例1】已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵正四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA＝AB＝2，
∴连结AC，BD，交于点O，连结PO，
则PO⊥面ABCD，OA＝OB＝OC＝OD，
OP，∴O是球心，球O的半径r，
∴球O的表面积为S＝4πr2＝8π．故选：C．

2.巩固提升综合练习
【练习1】在三棱锥中..，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，由余弦定理可求得，
再由正弦定理可求得的外接圆的半径，
因为，所以P在底面上的射影为的外心D，且，
设其外接球的半径为，则有，解得，
所以其表面积为，故选B.

【二】高不过外心
高不过心—顶点的投影不在底面外心上，以侧棱垂直于底面为例：
题设：已知四棱锥，
（1）先求底面的外接圆半径，确定底面外接圆圆心位置;
（2）把垂直上移到点，使得，此时点是几何体外接球球心；
（3）连接，那么, 由勾股定理得：.


1.例题
【例1】（1）长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，AA1=1，则球的表面积为______．
（2）已知正三棱柱的底面边长为3，外接球表面积为，则正三棱柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
（3）已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，面，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）8π （2）D （3）A
【解析】（1）因为长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，
所以球的直径等于长方体的对角线长，
设球的半径为R，因为AB=2，AD=3，AA1=1，
所以4R2=22+32+12=8，球的表面积为4πR2=8π，故答案8π.
（2）正三棱柱的底面边长为3,故底面的外接圆的半径为：外接球表面积为
外接球的球心在上下两个底面的外心MN的连线的中点上，记为O点，如图所示

在三角形中，
解得 故棱柱的体积为： 故答案为：D.
（3）取中点，连接

且 四边形为平行四边形
，又

为四边形的外接圆圆心
设为外接球的球心，由球的性质可知平面
作，垂足为 四边形为矩形，
设，
则，解得：
球的体积：本题正确选项：

2.巩固提升综合练习
【练习1】已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，则三棱柱外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，
球的球心为，因为三棱柱的侧棱与底面垂直，
所以球的球心为的中点，且直线与上、下底面垂直，且，，所以在中，
，即球的半径为，所以球的体积为，故选D。
【练习2】四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【解析】
连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA,
OE⊥底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，
可得，可得，解得PA=1,故选C.
【练习3】四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面，底面为梯形，，且，则此球的表面积等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
由已知可得，底面四边形为等腰梯形，
设底面外接圆的圆心为，连接，则，
，又，设四棱锥外接球的球心为，
则，即四棱锥外接球的半径为．
此球的表面积等于．故选：C．


【一】长（正）方体外接球
1、长方体或正方体的外接球的球心：体对角线的中点；
2、正方体的外接球半径：（为正方体棱长）；
3、长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径：

1.例题
【例1】若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球的表面上，则此球的表面积为________
【解析】长方体外接球半径：，所以外接球面积：
【例2】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______
【解析】设正方体棱长为，则，∴.
设球的半径为，则由题意知.故球的体积.
2.巩固提升综合练习
【练习1】如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.[来源:学科网ZXXK]

【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱，如图所示：
[来源:Zxxk.Com]
其中，三角形是腰长为的直角三角形，侧面是边长为4的正方形，则该几何体的外接球的半径为.∴该几何体的外接球的表面积为.故答案为.
【练习2】 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）
A． B． C． D．
【解析】平面截面所得圆面的半径为，直线被球截得的线段为球的截面圆的直径，为

【二】棱柱的外接球
直棱柱外接球的求法—汉堡模型
1. 补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同
2. 作图：构造直角三角形，利用勾股定理

1） 第一步：求底面外接圆的半径：（为角的对边）；
2） 第二步：由勾股定理得外接球半径：（为直棱柱侧棱高度）



1.例题
【例1】直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB=3，BC=4，AA1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．
【解析】AB⊥BC，AB=3，BC=4，所以底面外接圆的半径：，是直三棱柱，，所以几何体外接球半径；故该球的表面积为:
【例2】直三棱柱的所有棱长均为23，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A．12π B．16π C．28π D．36π
【解析】由直三棱柱的底面边长为23，得底面外接圆的半径：，
又由直三棱柱的侧棱长为23，则，所以外接球半径，
∴外接球的表面积．故选：C
2.巩固提升综合练习
【练习1】设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是，，，则此直三棱柱的高是________.
【解析】设边长为，则外接圆半径为，因为所以 即直三棱柱的高是.
【三】 棱锥的外接
图2
图1
类型一：正棱锥型 （如下图1，以正三棱锥为例，顶点的投影落在的外心上）
1) 求底面外接圆半径：（为角的对边）；
2) 求出，求出棱锥高度;
3) 由勾股定理得外接球半径:.







类型二：侧棱垂直底面型 （如上图2）
1）求底面外接圆半径：（为角的对边）； 2）棱锥高度;
3）由勾股定理得外接球半径:.
类型三：侧面垂直于底面---切瓜模型








类型四：棱长即为直径（两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径）

题设：,且
则外接球半径：
类型五：折叠模型



1.例题
【例1】已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为 （ ）
A. B. C. D.
【解析】如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为

底面正方形的边长为 正四棱锥的体积为
，解得

在中，由勾股定理可得：
即，解得故选
【例2】在三棱锥中， ， ， 面，且在三角形中，有，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【解析】设该三棱锥外接球的半径为.
在三角形中， ∴
∴根据正弦定理可得，即.
∵∴∵∴
∴由正弦定理， ，得三角形的外接圆的半径为.∵面
∴∴∴该三棱锥外接球的表面积为故选A.
【例3】已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在平面相互垂直，，，，则球的表面积为　　
． ． ． ．

【解析】，，，，
，
和所在平面相互垂直，
，球的表面积为．
故选：．
【例4】三棱锥的底面是等腰三角形，，侧面是等边三角形且与底面垂直，，则该三棱锥的外接球表面积为　　
A ． B ． C ． D ．
【解析】 如图， 在等腰三角形中， 由，得，

又，设为三角形外接圆的圆心，
则，．
再设交于，可得，，则．
在等边三角形中， 设其外心为，
则．
过作平面的垂线， 过作平面的垂线， 两垂线相交于，
则为该三棱锥的外接球的球心， 则半径．
该三棱锥的外接球的表面积为．
故选：．
【例5】在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，，
所以，

可得，所以，
即为外接球的球心，球的半径 所以四面体的外接球的表面积为：
.故选：B
【例6】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为　
A． B． C． D．
【解析】如下图所示，

设球的半径为，由于是球的直径，则和都是直角，
由于，，所以，和是两个公共斜边的等腰直角三角形，
且的面积为，
，为的中点，则，
平面平面，平面平面，平面，所以，平面，
所以，三棱锥的体积为，
因此，球的体积为，故选：．
【例7】在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）
A．7π B．8π C． D．
【答案】D
【解析】如图，取BD中点H，连接AH，CH
因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形
所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°
设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F
则由AH＝2可得AEAH，EHAH
分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点
记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°
所以OE＝1，则R＝OA
则三棱锥外接球的表面积
故选：D


2.巩固提升综合练习
【练习1】已知正四棱锥的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【解析】设点P在底面ABCD的投影点为,则平面ABCD,故而底面ABCD所在截面圆的半径,故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径R=,故外接球的表面积为故选C.
【练习2】如图，正三棱锥的四个顶点均在球的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为，则球的表面积是　　

A． B． C． D．
【解析】如图，设，，
，，又，，
在中，，得：，，，故选：．


【练习3】已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）

A. B. C. D.
【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD
其中AD=DC=2，BD=4且AD⊥底面ABC，∠BDC=120°
根据余弦定理可知：BC2-BD2+DC2-2BD∙DC∙cos120°=42+22-2×4×2×-12=28
可知BC=27根据正弦定理可知∆BCD外接圆直径2r=BCsin∠BDC=27sin120°=473
∴r=2213，如图，设三棱锥外接球的半径为R，球心为O，过球心O向AD作垂线，则垂足H为AD的中点
DH=1，在Rt∆ODH中，R2=OD2=22132+1=313
∴外接球的表面积S=4πR3=4π×313=124π3 故选D
【练习4】已知三棱锥中， 平面，且， .则该三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.

【解析】∵， ∴ 是以 为斜边的直角三角形
其外接圆半径 ，则三棱锥外接球即为以C为底面，以 为高的三棱柱的外接球
∴三棱锥外接球的半径满足
故三棱锥外接球的体积 故选D.
【练习5】已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD外接球的表面积是（ ）

A. 20π B. 101π5 C. 25π D. 22π
【解析】由三视图得，几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形，侧面ABE⊥底面BCDE.

如图所示，矩形ABCD的中心为M,球心为O,F为BE中点，OG⊥AF.设OM=x,
由题得ME=5,在直角△OME中，x2+5=R2(1)，又MF=OG=1,AF=32-22=5,
[来源:学科网]AG=R2-1,GF=x,∴R2-1+x=5(2)，解（1）（2）得R2=10120,∴S=4πR2=1015π.故选B.
【练习6】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（ ）

A. 81π B. 33π C. 56π D. 41π
【解析】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的四棱锥P-ABCD，其中ABCD是边长为4的正方形，平面PAB⊥平面ABCD．

设F为AB的中点，E为正方形ABCD的中心，O为四棱锥外接球的球心，O1为ΔPAB外接圆的圆心，则球心O为过点E且与平面ABCD垂直的直线与过O1且与平面PAB垂直的直线的交点．
由于ΔPAB为钝角三角形，故O1在ΔPAB的外部，从而球心O与点P在平面ABCD的两侧．
由题意得PF=1,OE=O1F,OO1=EF，
设球半径为R，则R2=OE2+OB2=EF2+O1P2,
即OE2+(22)2=22+(1+OE)2，解得OE=32，
∴R2=(32)2+(22)2=414，
∴S球表=4πR2=41π．选D．
【练习7】已知底面边长为2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3π B. 2π C. 43π D. 4π
【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1，将三棱锥补成一个正方体（棱长为1），则正方体外接球为正三棱锥外接球，所以球的直径为1+1+1=3，故其表面积为S=4×π×(32)2=3π．选A．
【练习8】（2020·南昌市八一中学）如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）

A．π B．π C．π D．3π
【答案】A
【解析】取线段BC的中点D，连结AD，SD，
由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS，
由题意得BC⊥平面ADS，
分别取AD，SD的三等分点E，F，
在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，
两条直线的交点即球心O，
连结OA，则球O半径R＝|OA|，
由题意知BD，AD，DE，AE，
连结OD，在Rt△ODE中，，OEDE，
∴OA2＝OE2+AE2，
∴球O的表面积为S＝4πR2．

故选：A．
【练习9】四面体中，，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：

由已知可得与为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为的中点O，
因为,且,所以,
所以,
所以四面体的外接球半径,则表面积.故答案选：C

【四】墙角型
题设：墙角型（三条线两两垂直）

方法：找到3条两两互相垂直的线段
途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．
途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．
途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．
途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．
墙角型外接球半径：（分别是长方体同一顶点出发的三条棱的长度）









1.例题
【例1】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）

A． B． C． D．
【解析】根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．
故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径，
则：.故选：B．
【例2】已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，且AB⊥平面BCD，AB=BD=CD=2，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A．3π B．23π C．43π D．12π
【解析】∵BD=CD=2且ΔBCD为直角三角形 ∴BD⊥CD
又AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD ∴CD⊥AB∴CD⊥平面ABD
由此可将四面体ABCD放入边长为2的正方体中，如下图所示：

∴正方体的外接球即为该四面体的外接球O
正方体外接球半径为体对角线的一半，即R=12⋅22+22+22=3
∴球O的表面积：S=4πR2=12π本题正确选项：D
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是　　

A． B． C． D．
【解析】该几何体是把正方体 截去两个四面体 与，
其外接球即为正方体 的外接球，
由．
外接球的半径．该几何体外接球的表面积是．故选：．


【练习2】在三棱锥一中，，、、两两垂直，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解析】在三棱锥一中，，、、两两垂直，
以、、为棱构造棱长为1的正方体，
则这个正方体的外接球就是三棱锥的外接球，
三棱锥的外接球的半径，
三棱锥的外接球的表面积为：．故选：．






四、空间几何内切球


1.例题
【例1】正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
【答案】，．

∴得：，
∴．∴．
【例2】若三棱锥中，，其余各棱长均为 5 ，则三棱锥内切球的表面积为　　．
【答案】
【解析】由题意可知三棱锥的四个面全等， 且每一个面的面积均为．
设三棱锥的内切球的半径为，则三棱锥的体积，
取的中点，连接，，则平面，
，，
，
，解得．
内切球的表面积为． 故答案为：．

2.巩固提升综合练习
【练习1】一个几何体的三视图如图所示， 三视图都为腰长为 2 的等腰直角三角形， 则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为　　

A ． B ． C ． D ．
【解析】 由题意可知几何体是三棱锥， 是正方体的一部分， 如图： 正方体的棱长为 2 ，
内切球的半径为，可得：，解得，
几何体的外接球的半径为：，该几何体的外接球半径与内切球半径之比为：．
故选：．

【练习2】球内切于圆柱， 则此圆柱的全面积与球表面积之比是　　
A ． B ． C ． D ．
【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，
，．此圆柱的全面积与球表面积之比是：
．故选：．


五、球与几何体各棱相切
球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解

1.例题
【例1】已知一个全面积为24的正方体，有一个与每条棱都相切的球，此球的半径为        
【解析】对于球与正方体的各棱相切，则球的直径为正方体的面对角线长，
即,
2.巩固提升综合练习
【练习1】把一个皮球放入如图 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（ ）
A.cm B. cm C. cm D. cm
【解析】



六、课后自我检测
1．已知三棱锥的各顶点都在一个球面上，球心在上，底面，球的体积与三棱锥体积之比是，，则该球的表面积等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于，且平面，所以，设球的半径为，根据题目所给体积比有，解得，故球的表面积为.

2．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据三视图可知，几何体是底面为矩形，高为的四棱锥，且侧面PAB垂直底面ABCD，如图所示：

还原长方体的长是2，宽为1，高为
设四棱锥的外接球的球心为O，则过O作OM垂直平面PAB，M为三角形PAB的外心，作ON垂直平面ABCD，则N为矩形ABCD的对角线交点，
所以外接球的半径
所以外接球的体积 故选A
3．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A．6π B．6π C．9π D．24π
【答案】B
【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD．底面ABCD为矩形，
其中PD⊥底面ABCD．AB=1，AD=2，PD=1．则该阳马的外接球的直径为PB=1+1+4=6．
∴该阳马的外接球的表面积为：4π×(62)2=6π．故选：B．

4．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将ΔADE，ΔBEF，ΔCDF分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A'，若四面体A'EDF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )

A．5π B．6π C．8π D．11π
【答案】B
【解析】由题意可知△A'EF是等腰直角三角形，且A'D⊥平面A'EF．
三棱锥的底面A'EF扩展为边长为1的正方形，
然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，
正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：1+1+4=6．
∴球的半径为62，∴球的表面积为4π·(62)2=6π．故选：B．
5．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积是：（ ）

A．8π B．123π C．12π D．48π
【答案】C
【解析】由三视图还原几何体如图，

可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2．[来源:学科网ZXXK]
把该三棱柱补形为正方体，则正方体对角线长为22+22+22．
∴该三棱柱外接球的半径为：3．则球O的表面积是：4π×(3)2=12π．故选：C．
6．已知三棱锥O-ABC的底面ΔABC的顶点都在球O的表面上，且AB=6，BC=23，AC=43，且三棱锥O-ABC的体积为43，则球O的体积为（ ）
A．32π3 B．64π3 C．128π3 D．256π3
【答案】D
【解析】由O为球心，OA＝OB＝OC＝R，可得O在底面ABC的射影为△ABC的外心，
AB＝6，BC=23，AC=43，可得△ABC为AC斜边的直角三角形，
O在底面ABC的射影为斜边AC的中点M，可得13•OM•12AB•BC=16OM•123=43，解得OM＝2，
R2＝OM2+AM2＝4+12＝16，即R＝4，球O的体积为43πR3=43π•64=2563π．故选：D．

7．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，，若，则堑堵的外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，在直三棱柱中，
因为，所以为直角三角形，且该三角形的外接圆的直径，
又由，所以直三棱柱的外接球的直径，
所以，所以外接球的体积为，故选C.
8．一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A．6π B．12π C．32π D．48π
【答案】B
【解析】由题得几何体原图如图所示，

其中SA⊥平面ABC,BC⊥平面SAB,SA=AB=BC=2,所以AC=2,,
设SC中点为O,则在直角三角形SAC中，OA=OC=OS=,
在直角三角形SBC中，OB=,所以OA=OC=OS=OB=,
所以点O是四面体的外接球球心，且球的半径为.
所以四面体外接球的表面积为.故选：B
9．已知在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意, ，是直角三角形
又平面平面，所以，三棱锥外接球半径等于的外接圆半径
,,
球的表面积为故选D。
10．已知三棱锥的体积为6，在中，，，，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理得
是直角三角形
设三棱锥的高为则三棱锥体积，解得
取边的中点为，则为外接圆圆心
连接，则平面，如下图所示：

则
则
球的表面积本题正确选项：
11．已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原题如下图所示：

由，得：
则
设外接圆圆心为，则[来源:Zxxk.Com]
由正弦定理可知，外接圆半径：
设到面距离为
由为球直径可知：

则
球的半径
球的表面积
本题正确选项：
12．在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的外接球体积为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平面平面，平面平面，，平面，平面，
，所以，是边长为的等边三角形，
由正弦定理得的外接圆的直径为，
所以，该球的直径为，则，
因此，三棱锥的外接球体积为．故选：．
13．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，

由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆，
所以r=R，=，

所以球与圆锥的表面积之比为故选：B．
14．体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________.
【答案】　6
【解析】　设球的半径为R，由R3＝，得R＝1，所以正三棱柱的高h＝2.
设底面边长为a，则×a＝1，所以a＝2.
所以V＝×(2)2×2＝6.
15．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，且PD＝1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为________．
【答案】(14－6)π
【解析】四棱锥P­ABCD的体积为V＝PD·S正方形ABCD＝×1×22＝，
如图所示，

易证PD⊥AD，PD⊥CD，PA⊥AB，PC⊥BC，
所以，四棱锥P­ABCD的表面积为S＝2××2×1＋2××2×＋22＝6＋2，
所以，四棱锥P­ABCD的内切球的半径为R＝＝＝，
因此，此球的最大表面积为4πR2＝4π×2＝(14－6)π.
16．《九章算术》中将底面是直角三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱称之为“堑堵”，现有一“堑堵”型石材，其底面三边长分别为3,4,5，若此石材恰好可以加工成一个最大的球体，则其高为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】

如图，是过球心且与底面平行的轴截面，设球的半径为r，由AC＝3，BC＝4，可得AB＝5，由等面积法可得：×3×4＝(3＋4＋5)r，解得r＝1.∴此石材d的高为2r＝2.故选C.
17．在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)
A.4π B. C.6π D.
【答案】　B
【解析】　由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.
则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.
2r＝4＞3，不合题意.
球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.
由2R＝3，即R＝.
故球的最大体积V＝πR3＝π.