专题36 根据实际问题选择函数类型-2022新高考二轮复习高中数学技巧之函数专题汇编

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根据实际问题选择函数类型
一．选择题（共10小题）
1．（2019•新课标Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程：．
设．由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为　　
A． B． C． D．
【解析】解：．，
满足方程：．
，
．
故选：．
2．（2020•新课标Ⅲ）模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为　　
A．60 B．63 C．66 D．69
【解析】解：由已知可得，解得，
两边取对数有，
解得，
故选：．
3．（2011•北京）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品　　
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
【解析】解：根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为为正整数）
由基本不等式，得
当且仅当时，取得最小值、
可得时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：．
4．（2020•大荔县模拟）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数），若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是　　小时．
A．22 B．23 C．24 D．33
【解析】解：某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数），
该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，
，解得，
该食品在的保鲜时间：（小时）．
故选：．
5．（2019春•金牛区校级期中）某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款元，为还清这笔贷款，该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的年后还清，若银行按年利息为的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是　　
A． B．
C． D．
【解析】解：设每年偿还的金额都是元，则
根据题意有：，

．
故选：．
6．（2019•丰台区二模）某码头有总重量为13.5吨的一批货箱，对于每个货箱重量都不超过0.35吨的任何情况，都要一次运走这批货箱，则至少需要准备载重1.5吨的卡车　　
A．12辆 B．11辆 C．10辆 D．9辆
【解析】解：【解法1】从第1辆卡车开始依次装上货物，每车一直装到再装一箱就超过1.5吨为止，
把多出的这一箱先单独留出来不往后面装，因为，
所以这样至少能装到第7辆卡车（包括单独留出）之后还有剩余；
①如果装到第7辆卡车剩余的已经不足1.5吨，那么第8辆卡车可以把剩余的装走，
此时前7辆卡车单独留出的7个货箱可以分成两组，一组3个，一组4个，
每组不超过吨，这样再找2辆卡车就可以拉完，一共最多需要10辆卡车；
②如果装到第7辆车剩余的货箱超过1.5吨，可以继续装第8辆卡车，
此时8辆卡车上单独留出8个货箱可以分成两组，每组4个，每组都不超过吨，
再找2辆卡车就可以拉走；上面10辆卡车一共装了超过吨货箱，
所剩货箱不超过吨，最多还需要1辆卡车就可以拉走，
所以一共最多需要11辆卡车；
综上，要保证任何情况都能一次性拉走，则至少需要11辆卡车．
【解法二】由题意，将所有货箱任意排定顺序；
首先将货箱依次装上第1辆卡车，并直到再装1个就超过载重量为止，
并将这最后不能装上的货箱放在第1辆卡车之旁；
然后按同样办法装第2辆、第3辆、，直到第8辆车装完并在车旁放了1个货箱为止；
显然前8辆车中每辆所装货箱及车旁所放1箱的重量和超过1.5吨；
所以所余货箱的重量和不足1.5吨，可以全部装入第9辆卡车；
然后把前8辆卡车旁所放的各1货箱分别装入后2辆卡车，每车4个货箱，显然不超载；
这样装车就可用辆卡车1次把这批货箱运走．
故选：．
7．（2020•厦门模拟）射线测厚技术原理公式为，其中，分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅低能射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为　　
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到
A．0.110 B．0.112 C．0.114 D．0.116
【解析】解：由题意可得，，
，
即，则．
这种射线的吸收系数为0.114．
故选：．
8．（2019秋•赫章县期中）为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过12800万元的年份是　　（参考数据：，
A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年
【解析】解：设经过年后的投入资金为万元，则，
令，即，
两边取对数可得，
，
故第6年即2025年的投资开始超过12800万元．
故选：．
9．（2019•潍坊三模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了　　
A．60里 B．48里 C．36里 D．24里
【解析】解：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，
，此人第4天和第5天共走了里．
故选：．
10．（2019•丰台区一模）某电动汽车“行车数据”的两次记录如表：
记录时间
累计里程
（单位：公里）
平均耗电量
（单位：公里）
剩余续航里程
（单位：公里）
2019年1月1日
4000
0.125
280
2019年1月2日
4100
0.126
146
（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，，剩余续航里程
下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是　　
A．等于12.5 B．12.5到12.6之间
C．等于12.6 D．大于12.6
【解析】解：．
故选：．
二．填空题（共18小题）
11．（2015•四川）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，、为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是　24　小时．
【解析】解：由题意可得，时，；时，．
代入函数，
可得，，
即有，，
则当时，．
故答案为：24．
12．（1993•全国）建造一个容积为，深为的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为　1760元　．
【解析】解：设长，则宽，造价，
当且仅当：，即时取等号．
故答案为：1760元．
13．（2019秋•丰台区期末）已知某种药物在血液中以每小时的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物，设经过个小时后，药物在病人血液中的量为．
（1）与的关系式为　　；
（2）当该药物在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过　　小时（精确到．
（参考数据：，，，
【解析】解：（1）由题意知，该种药物在血液中以每小时的比例衰减，
给某病人注射了该药物，经过个小时后，
药物在病人血液中的量为，
即与的关系式为；
（2）当该药物在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险，
令，
，
，是单调减函数，
，
所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时．
故答案为：（1），（2）7.2．
14．（2019•朝阳区二模）如图，已知四面体的棱平面，且，其余的棱长均为1．四面体以所在的直线为轴旋转弧度，且始终在水平放置的平面上方．如果将四面体在平面内正投影面积看成关于的函数，记为，则函数的最小值为　　；的最小正周期为　　．

【解析】解：取的中点，连结，，
，，
，，
平面，．
，，
，，，
到的距离为．
当时，取得最小值，
由三棱锥的对称性可知的最小正周期为．
故答案为：，．

15．（2020•随州模拟）2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国．口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产，设该工厂连续5天生产的口罩数依次为，，，，（单位：十万只），若这组数据，，，，的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩　1.6　十万只．
【解析】解：设该工厂这5天平均每天生产口罩为，
由题意可得，
则，
由，
可得
，
解得．
故答案为：1.6．
16．（2019•西城区二模）为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5万棵．若植树的棵数每年的增长率均为，则　　．
【解析】解：由题意可知，
，
，故．
故答案为：．
17．（2019•西城区一模）团体购买公园门票，票价如表：
购票人数


100以上
门票价格
13元人
11元人
9元人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为和，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数　70　；　　．
【解析】解：不能被13整除，两个部门人数之和：，
（1）若，则11 得：，①
由共需支付门票费为1290元可知，②
解①②得：，，不符合题意．
（2）若，则9 ，得③
由共需支付门票费为1290元可知，，，
得④，
解③④得：人，人，
故答案为：70，40．
18．（2019•南昌二模）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是　37.5　万元．
【解析】解：由题知，，所以月利润：
，
当且仅当时取等号，即月最大利润为37.5万元．
故答案为37.5．
19．（2019秋•杨浦区校级期末）研究人员发现某种物质的温度（单位：摄氏度）随时间（单位：分钟）的变化规律是：，经过　1　分钟，该物质温度为5摄氏度．
【解析】解：某种物质的温度（单位：摄氏度）随时间（单位：分钟）的变化规律是：，
当时，，
由，解得．
经过1分钟，该物质温度为5摄氏度．
故答案为：1．
20．（2020•金水区校级模拟）某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重，次品重，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品个产品均为次品）．如果将5袋产品以编号，第袋取出个产品，2，3，4，，并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量，若次品所在的袋子编号是2，此时的重量　1520　；若次品所在的袋子的编号是，此时的重量　　．
【解析】解：第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个．
若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，此时的重量；
若次品是第，2，3，4，袋，则15个产品中次品个，正品个，
此时的重量，，2，3，4，．
故答案为：1520；，，2，3，4，．
21．（2019秋•新乡期中）某桶装水经营部每天的固定成本为420元，每桶水的进价为5元，日均销售量（桶与销售单价（元的关系式为，则该桶装水经营部要使利润最大，销售单价应定为　10　元．
【解析】解：由题意可知，该桶装水日经营部每日利润为：，
整理可得：，则当时，利润最大．
故答案为：10．
22．（2019•长葛市校级模拟）司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过　5　小时，才能开车？（精确到1小时）
【解析】解：设小时后，血液中的酒精含量不超过，
则有，即，
令、2、3、4，可得，
当时，，
则可得5小时后，可以开车．
故答案为：5．
23．（2019秋•承德期中）某商品价格（单位：元）因上架时间（单位：天）的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即且．当商品上架第1天的价格为96元，而上架第3天的价格为54元，则该商品上架第4天的价格为　　元．
【解析】解：由题意可知，解得．
当时，．
故答案为：．
24．（2020春•东营区校级月考）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．若两颗星的星等与亮度满足．其中星等为，星的亮度为．
（1）若，则　　；
（2）若太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为　　．
【解析】解：（1）由，得，
又，
；
（2）设太阳的星等是，天狼星的星等是，
则，即，
则．
即太阳与天狼星的亮度的比值为．
故答案为：；．
25．（2019秋•东宝区校级期中）一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量每小时减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么这个驾驶员至少要经过　5　小时才能开车．（精确到1小时，参考数据，
【解析】解：1小时后驾驶员血液中的酒精含量为，
2小时后其血液中酒精含量为，
即，
小时后其血液中酒精含量为，
由题意知，
即，
两边去对数可得：，解得，
满足要求的的最小整数为5．
故至少要过5小时驾驶员才能驾驶．
故答案为：5．
26．（2020春•海淀区校级月考）对于某种类型的口服药，口服小时后，由消化系统进入血液中药物浓度（单位）与时间小时的关系为，其中，为常数，对于某一种药物，，．
（1）口服药物后　　小时血液中药物浓度最高．
（2）这种药物服药小时后血液中药物浓度如表

1
2
3
4
5
6
7
8

0.9545
0.9304
0.6932
0.4680
0.3010
0.1892
0.1163
0.072
一个病人．上午第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上，第三次服药时间是　　（时间以整点为准）．
【解析】解：（1）当，，时，，
则令，得，
且当时，单调递增；当时，，单调递减，
故当时，最大
即当服药后小时血液中药物浓度最高；
（2）由表格可知，若第一次服药时间在上午，则第二次服药时间在，
且第一次服药7小时候残留为0.1163，第二次服药后4小时残留为0.4680，则
故第三次服药时间应为，
故答案为：；．
27．（2019秋•西湖区校级期中）某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与到车站的距离成正比，如果在距离车站处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站　5　处，最少费用为　　万元．
【解析】解：设为仓库与车站距离，由题意可设，，
把，与，分别代入上式得，，
，
费用之和，
当且仅当，即时等号成立．
当仓库建在离车站处两项费用之和最小．最少费用为8万元．
故答案为：5，8．
28．（2019秋•天心区校级期中）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质，若要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤　7　次．（参考数据：
【解析】解：设至少需过滤的次数为，则由题意可得，
即，，706，
再由为正整数可得的最小值为7，
故答案为：7．
三．解答题（共6小题）
29．（2013•上海）甲厂以千克小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求，每小时可获得的利润是元．
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【解析】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为
根据题意，，即
或
，；
（2）设利润为元，则生产900千克该产品获得的利润为

，时，取得最大利润为元
故甲厂应以6千克小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．
30．（2011•湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米小时）是车流密度（单位：辆千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆千米时，车流速度为60千米小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．
（Ⅰ）当时，求函数的表达式；
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆时）．
【解析】解：（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设
再由已知得，解得
故函数的表达式为．

（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得
当时，为增函数，故当时，其最大值为
当时，
当且仅当，即时，等号成立．
所以，当时，在区间，上取得最大值．
综上所述，当时，在区间，上取得最大值为，
即当车流密度为100辆千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆小时．
答：（Ⅰ）函数的表达式
（Ⅱ）当车流密度为100辆千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆小时．
31．（2003•北京）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【解析】解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，
未租出的车辆数为，
所以这时租出了88辆车．
（Ⅱ）设每辆车的月租金定为元，
则租赁公司的月收益为，
整理得．
所以，当时，最大，最大值为，
即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．
32．（2012•江苏）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

【解析】解：（1）在中，令，得．
由实际意义和题设条件知，．
，当且仅当时取等号．
炮的最大射程是10千米．
（2），炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，
即关于的方程有正根．
由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，
故只需△得．
此时，．
当不超过6千米时，炮弹可以击中目标．
33．（2011•福建）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元千克）满足关系式，其中，为常数．已知销售价格为5元千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若该商品的成品为3元千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【解析】解：（Ⅰ）因为时，，所以，故
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量
所以商场每日销售该商品所获得的利润为

从而，
于是，当变化时，、的变化情况如下表：


4



0


单调递增
极大值42
单调递减
由上表可得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点．
所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于42
答：当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
34．（2010•湖北）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求的值及的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
【解析】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为．
再由，得，因此．
而建造费用为，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

（Ⅱ）方法一：，令，即．
解得，（舍去）．
当时，，当时，，
故是的最小值点，对应的最小值为．
当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．
方法二：由（Ⅰ）知，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．