高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合习题

第六章  计数原理

6.2.2排列数

1.（ ★ ）4×5×6×…(n－1)·n等于(　　)

A.                B.                C.(n－4)!           D.

【答案】D[来源:学§科§网Z§X§X§K]

【解析】从4,5，…到n共n－4＋1＝n－3个数，所以根据排列数公式知4×5×6×…×(n－1)＝.

2.要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(　　)

A．1 440种      B．960种

C．720种        D．480种

【答案】B

【解析】从5名志愿者中选2人排在两端有A种排法，2位老人的排法有种，其余3人和老人排有种排法，共有＝960种不同的排法．

3.α∈N*，且α<27，则(27－α)(28－α)…(34－α)等于(　　)

A.    B.

C.    D.

【答案】D

【解析】从27－α到34－α共有34－α－(27－α)＋1＝8个数.∴(27－α)(28－α)…(34－α)＝.

4.已知A－A＝10，则n的值为(　　)

A．4  B．5

C．6  D．7[来源:学科网ZXXK]

【答案】B

【解析】由－＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.

5.2020北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为(　　)

A.12  B.24  C.36  D.60

【答案】D

【解析】由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种).

6.满足不等式的n的最小值为（　　）

A．12 B．10 C．9 D．8

【答案】B

【解析】由排列数公式得，即（n﹣5）（n﹣6）＞12，

解得n＞9或n＜2，又n≥7，所以n＞9．又n∈N*，[来源:学。科。网Z。X。X。K]

所以n的最小值为10．故选：B．

7.已知自然数x满足，则x（　　）

A．3 B．5 C．4 D．6

【答案】C

【解析】∵自然数x满足，

∴3（x+1）x（x﹣1）﹣2（x+2）（x+1）＝6（x+1）x，

整理，得：3x2﹣11x﹣4＝0，

解得x＝4或x＝﹣ （舍）．故选：C．

8.要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是(　　)

A．20  B．16

C．10  D．6

【答案】B

【解析】不考虑限制条件有A种选法，若a当副组长，有A种选法，故a不当副组长，有－＝16种不同的选法．

【易错辨析】排列与排列数是两个不同的概念，一个排列就是完成一件事的一种方法，不是数；排列数是指所有排列的个数，它是一个数．符号中，m，n均为正整数，且m≤n，是一个整体．

9.在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有(　　)

A.34种  B.48种

C.96种   D.144种

【答案】C

【解析】由题意可知，先排工序A，有2种编排方法；再将工序B和C视为一个整体(有2种顺序)与其他3个工序全排列共有2种编排方法.故实施顺序的编排方法共有2×2＝96(种).故选C.

10.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)[来源:学科网]

A.72      B.120   C.144     D.168

【答案】B

【解析】先排3个歌舞类节目，有＝6种方法，再用相声分类.

第一类：相声排在歌舞类的两端有A＝2种方法，此时歌舞类中必插两个小品有＝2种方法，共有2×2＝4种.

第二类：相声排在歌舞类的中间有＝2种方法，此时余下相邻歌舞类中必插一个小品有＝2，另一个小品有＝4，共有2×2×4＝16(种).

共有排法数为6×(4＋16)＝120(种).

11.满足不等式的n的最小值为________．

【答案】10

【解析】由排列数公式得>12，即(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，

又n∈N*，所以n的最小值为10.

12.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．

【答案】15

【解析】第1类，挂1面旗表示信号，有种不同方法；

第2类，挂2面旗表示信号，有种不同方法；

第3类，挂3面旗表示信号，有种不同方法．

根据分类加法计数原理，共有＋＋＝3＋3×2＋3×2×1＝15种可以表示的信号．

13.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．

【答案】36

【解析】文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A种方法．由分步乘法计数原理知，共有3＝3×12＝36种选法．[来源:学.科.网Z.X.X.K]

14高二(一)班学生安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同的排法的种数是________(填数字).

【答案】3600

【解析】先对4个音乐节目和1个曲艺节目，全排列，有A种.2个舞蹈节目进行插空，有A种，由分步乘法计数原理，共有＝3 600(种)排法.

15.求证－＝m.

【证明】方法一　∵－＝

＝＝m·

∴－＝m.

方法二　表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有个.

含有a1的可这样进行排列：

先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，有A种排法.

故＝m＋，

∴－＝m.

16.名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．

(1)全体站成一排，男、女各站在一起；

(2)全体站成一排，男生必须站在一起；

(3)全体站成一排，男生不能站在一起；

(4)全体站成一排，男、女各不相邻．

【解析】(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有种排法；

女生必须站在一起是女生的全排列，有种排法；

全体男生、女生各视为一个元素，有种排法．

由分步计数原理知，共有··＝288种排队方法．

(2)三个男生全排列有种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有种排法．故有·＝720种排队方法．

(3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的5个空中安排，共有A种排法，故共有·＝1440种排法．

(4)排好男生后让女生插空，共有·＝144种排法．