2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--证明不等式（含解析）

《导数的综合应用—证明不等式》

考查内容：主要涉及利用导数证明不等式

注意：涉及到复合函数求导问题一般为理科内容

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

2．当时，有不等式 （ ）

A．

B．

C．当时，当时

D．当时，当时

3．已知非零实数a，x，y满足，则下列关系式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

4．已知函数有两个零点，且，则下列结论错误的是（   ）

A． B． 

C． D．

5．已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

6．当时，，则下列大小关系正确的是（   ）

A． B．

C． D．

7．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．下列不等式中正确的是(    )

①；②；③.

A．①③ B．①②③ C．② D．①②

9．若,则下列不等式恒成立的是　(　　)

A． B．

C． D．

10．若，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

11．设为常数，函数，给出以下结论：

（1）若，则存在唯一零点

（2）若，则

（3）若有两个极值点，则

其中正确结论的个数是（   ）

A．3 B．2 C．1 D．0

12．已知函数在处取得最大值，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

二．填空题

13．若0<x1<x2<1，且1<x3<x4，下列命题：①；②；③；④；其中正确的有___

14．已知函数，当时，给出下列几个结论：

①；

②；

③;

④当时，．

其中正确的是           （将所有你认为正确的序号填在横线上）．

15．若，为自然数，则下列不等式：①；

②；③，其中一定成立的序号是___

16．已知函数，且是函数的极值点．给出以下几个命题：

①；②；③；④

其中正确的命题是__________．（填出所有正确命题的序号）

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．利用函数的单调性（利用导数），证明下列不等式:

（1），；（2），.

18．已知函数.

(1)求函数的单调区间；(2)求证：当时，.

19．已知函数曲线在点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）证明：当且时，.

20．已知函数f(x)＝ln(x+1)－x．

⑴求函数f(x)的单调递减区间；

⑵若，证明：．

21．已知函数

（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；

（2）若在定义域上有两个极值点，证明：

22．已知函数

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）设是的导函数的零点，若，求证：.

23．已知函数.

（1）判断函数的单调性；

（2）若满足，证明：.

《导数的综合应用—证明不等式》解析

1.【解析】设，则，由，得，所以函数在上单调递增；由，得，函数在上单调递减，故函数在上不单调，所以与的大小无法确定，从而排除A，B；设，则，由，得，即函数在上单调递增，故函数在上单调递增，所以，即，所以.故选：D

2.【解析】对于函数其导数，当时，当时， 当时

3.【解析】依题意非零实数a，x，y满足，

则，所以.不妨设，

则，所以A选项错误；

，所以B选项错误；

由于，根据指数函数的性质可知：，

所以C选项错误.依题意，要证明，只需证明，

即证，即证，构造函数，，由于，所以，所以在区间上恒成立，所以区间上递增，所以，所以.故D选项正确.故选：D

4.【解析】因为函数,所以,

当a≤0时，所以f(x)在（0，+∞）上单调递增，所以不可能有两个零点.

当a>0时，时，，函数f(x)单调递增，时，，

函数f(x)单调递减.所以

因为函数f(x)有两个零点，所以

又又

令

则

所以函数g(x)在上为减函数，=0，又，

又，∴，即.故答案为B

5.【解析】对A，令，，当，在单调递减，，即，故A正确；

对B，，，，故B错误；

对C，令，当时，；当时，，在单调递减，在单调递增，显然当时，，故C错误；

对D，，由C选项的分析，当时，，故D错误；故选：A.

6.【解析】根据得到，而，

所以根据对数函数的单调性可知时，，

从而可得，函数单调递增，所以，

而，所以有.故选D.

7.【解析】设，则，所以在上递增，在上递减；即有，所以，故.故选：C

8.【解析】对于①：令，则恒成立，

则是减函数，所以有恒成立，

所以成立，所以①正确；

对于②：，令，，

当时，，当时，，

所以函数在上是减函数，在上是增函数，

所以在处取得最小值，所以，

所以成立，所以②正确；

对于③，，，令，有，

所以有当时，，当时，，

所以函数在时取得最大值，即，

所以，恒成立，所以③正确；

所以正确命题的序号是①②③，故选B.

9.【解析】对于,分别画出在上的大致图象如图,知不恒成立,排除；

对于,令，所以为减函数,，为增函数,所以最小值为错，排除 ；对于,当时,错，排除，故选C.

10.【解析】构造函数，函数在上单调递减，在上单调递增，因为，当m和n在不同单调区间时，函数值大小不能确定，故AB不正确;构造函数，函数在，故.故答案为：D.

11.【解析】（1）若函数存在零点，只需方程有实根，即方程有实根，令，则只需函数图像与直线有交点即可.

又，由可得；由可得；

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

故，

因此，当时，直线与图像仅有一个交点，即原函数只有一个零点，所以（1）正确；

（2）由（1）可知，当时，在上恒成立，

即在上恒成立，即在上恒成立；故（2）正确；

（3）因为，所以，

若有两个极值点，则，所以，

又由有两个极值点，可得方程有两不等实根，即方程有两不等式实根，令，则，

由得；由得；

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，又当时，；当时，；

所以方程有两不等式实根，只需直线与函数的图像有两不同交点，故；所以，即（3）正确.故选A

12.【解析】函数的定义域为，而，

令，则在上单调递减，

且，

使，从而在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值，，

.故选：A

13.【解析】令，则，

易知当时，单调递增，

由，，则存在使得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

，当时，即，

此时，故②错误；

，即，

，故①正确；

令，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

，与的大小无法确定即、的大小无法确定，故③错误；，即，

，故④正确.故答案为：①④.

14.【解析】因为，所以，可知（0，）递减，

（，+∞）递增，故①错误；令，所以，

可知在（0,1）上递减，（1，+∞）上递增，故②错；令，所以h（x）在（0，+∞）上递增，所以，故③正确；当时，

可知，又因为f（x）在（，+∞）递增，

设，又因为f（x）在（，+∞）递增，所以时，即，所以时，，故为增函数，所以，所以，故④正确．

15.【解析】对于①若成立.两边同时取对数可得,

化简得，因为，

则,不等式两边同时除以可得

令,，则

当时, ,所以

即在内单调递增

所以当时,即，所以，故①正确

对于②若,化简可得，

令,，则，

由可知在内单调递增，

而，

所以在内先负后正，

因而在内先递减,再递增,所以当时无法判断，与的大小关系.故②错误.

对于③,若，令，

利用换底公式化简可得,

则

当时, ，

所以,即，

则在内单调递减，

所以当时, ，

即，所以③正确，综上可知,正确的为①③，故答案为: ①③

16.【解析】的定义域为，，所以有，所以有，即，

即，所以有；因为，

所以有．

17.【解析】（1）设，，

∴，，

∵，∴，∴，，

∴函数在上单调递减；函数在单调递增；∴，，即，，

∴，；

（2）设函数，所以 ；

令得：，

由得；由得；

所以函数在上单调递减，在上单调递增；

∴当时，取最小值，即，

∴当时，恒有，即，显然成立．

18.【解析】(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，

∵f′(x)＝2x-2=，

由f′(x)>0， 得x>1; 由f′(x)<0， 得0<x<1

∴f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)．

 (2)设g(x)＝f（x）-3x+1=x2－2lnx-3x+4，

∴g′(x)＝2x-2--3=，

∵当x>2时，g′(x)>0，∴g(x)在(2，＋∞)上为增函数，

∴g(x)>g(2)＝4-2ln2-6+4>0，∴当x>2时， x2-2lnx>3x-4,

即当x>2时..

19.【解析】1）

由于直线的斜率为，且过点，故

即解得，.

（2）由（1）知f(x)=所以

考虑函数，

则h′(x)=，

所以x≠1时h′(x)＜0而h(1)=0,

故x时h(x)>0可得,

x h(x)<0可得,

从而当，且时，.

20.【解析】（1）函数f(x)的定义域为．＝－1＝－．

由<0及x>－1，得x>0．∴ 当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，

即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）．

（2）证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，＞0，

当x∈（0，＋∞）时，＜0，

因此，当时，≤，即≤0∴．

令，则＝．

∴ 当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．

∴ 当时，≥，即≥0，∴．

综上可知，当时，有．

21.【解析】（1） ，

，则 ，

当时 ，此时在单调递减，

当时 ，方程 有两个不等的正根 ，

不妨设，则当时 ，

当时， ，这时不是单调函数，

综上，的取值范围为 ，

（2）由（1）可知当且仅当时，有极小值点和极大值点

且， ，

，

令 ， ，

则当时， ，

则在时单调递减，

所以 ，即，

22.【解析】（1）当时，，

，且，

曲线在处的切线的斜率.

曲线在处的切线方程为，

即；

（2）由题意得.是的导函数的零点，

，即，，

即.

又，则.

令，显然，所以

因此在上是增函数，且.

，因此..

23.【解析】（1）函数的定义域是.

因为恒成立，

所以函数在定义域上是单调递增函数.

（2）由（1）知.令，

得，由一元二次方程根与系数关系得，

即，得，

∴

令，则，令，

则，得.