2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--能成立问题（含解析）

《导数的综合应用—能成立问题》

考查内容：主要涉及利用导数解决能成立问题

注意：涉及到复合函数求导一般为理科

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知函数，若存在，使得有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．若存在实数，使得的解集为，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

3．若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

4．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数，，函数，若对于任意，总存在，使得成立，则a的值为（    ）

A．-1 B．1 C．-2 D．2

6．已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数，若存在，使成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ）

A． B．（-2,2） C． D．（0.2）

10．设函数，若存在，使，则实数a的值为（    ）

A． B． C． D．1

11．已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，，若存在，使得恒成立，则实数b的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二．填空题

13．函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是______.

14．已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是______________.

15．已知函数与的图像上存在关于原点的对称点，则实数的取值范围是__________．

16．已知函数，若不等式有解，则整数的最小值为________.

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知.

（1）求的单调区间；

（2）若存在使成立，求实数的取值范围.

18．已知函数

（1）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；

（2）若有解,求的取值范围.

19．已知函数在点处的切线方程为.

（1）求实数的值；

（2）若存在，满足，求实数的取值范围.

20．已知函数

（1）求在点处的切线方程；

（2）若存在，满足成立，求的取值范围．

21．已知函数，.

（1）求函数在上的最小值；

（2）若存在（是自然对数的底数，），使不等式成立，求实数的取值范围.

22．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，若存在，使得不等式成立，求m的取值范围.

《导数的综合应用—能成立问题》解析

1.【解析】若存在，使得有解,即存在,使得,

令,则问题转化为:,

因为,

当 时, ;当 时, ,

所以函数 在 上递增,在 上递减,

所以，所以.故选B.

2.【解析】设当时，则不存在的解集，

当时，，此时函数单调递减，则不存在的解集为，

当时，由得，当，，

此时，则的解集为，不符合题；

当时，不等式等价为，设则，

当时，，当时，，

即当时，取得极大值，同时也是最大值，

故若存在实数，使得的解集，

则必有，即，故答案为D

3.【解析】首先时，不等式为，恒成立，即整数2是不等式的一个解，则由题意1或3是不等式的另一个整数解．

若1不是不等式的解，则，，此时不等式化为：

，易知函数在上是增函数，

则大于2的所有整数都是原不等式的解，不合题意．

所以1是原不等式的解，大于3的所有整数不是原不等式的解，，

所以时，不等式恒成立，即在上恒成立，设，

则，时，，，单调递增，所以，所以．

综上的取值范围是．故选：C．

4.【解析】关于的不等式在上有解，

即在上有解，，

，

恒成立，即在上为增函数，

.故选：C.

5.【解析】因为，，

所以 ，可得时，即在区间上单调递减；时，即在区间上单调递增；

又，，，故

因为，

所以在上单调递减；，，所以

又因为对于任意，总存在，使得成立，

所以，所以解得，所以，故选：D

6.【解析】由于，

则，

所以，解得.

所以，，

所以单调递增，且，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值为.

所以，故.故选：C

7.【解析】由，即恰有两个整数解，

令，得，

令，在上为减函数，，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减．

，．

由题意可得，．故选：D..

8.【解析】由题意，得，当时，不成立；

当时，，设，则，

当时，，为减函数，

当时，，为增函数.

当时，，当时，，

又∵，∴，∴.

故选：C.

9.【解析】因为函数存在单调递减区间，

所以在上有解，

即在上有解，令

所以，

当时 ，，当时 ，，

所以当时 ，取得最小值2.所以 .

当时，，递增，不成立.

故.故选：A.

10.【解析】表示点与点间的距离的平方，

的最小值表示曲线上的点到直线的距离的最小值，

设过点到直线的距离的最小值，

，则由，解得 ，

即为点到直线的距离，

，所以，

由，解得，所以.故选：A

11.【解析】因为，等价于，

不妨令，，

容易知：是恒过定点且斜率为的直线；

对求导，可得，

令，可得或，

故在和单调递增，在单调递减，

故在同一坐标系中绘制两个函数的图像如下：

图中所示点，

与满足题意，只需直线在处的函数值小于等于-3，

在处的函数值大于-16即可.

则：，且,解得：，故选：C.

12.【解析】，，

，

，

存在，，使得，

，设，，

，

当时，解的，

当时，即时，函数单调递增，

当时，即时，函数单调递减，

当时，函数取最大值，最大值为（2），

，故选．

13.【解析】由，所以

令，得或，又，

当时，，当时，，

所以函数在单调递减，在单调递增，

所以，又在单调递增，

所以，根据题意：若，，

使得，即，

所以，可得得取值范围为，

14.【解析】，

即为，

整理得到，即，使得成立，

（当且仅当，即时取等号），

，即实数的取值范围为.

15.【解析】设的图象与的图象关于原点对称，

由，得，

因为函数与的图象上存在关于原点的对称点，

即与的图象有交点，即有解，

即有解．令，

则，

当时，，函数单调递减，

当，，函数单调递增，

所以有最小值，所以，即．

故的取值范围为．

16.【解析】函数，，

且不等式有解，所以，即有解，

只需，令，，

则，设

则，

即在内单调递增，

而，

，

所以存在使得，

而当时单调递减，当时单调递增，

所以在处取得极小值，即为最小值.此时，

，

设，

恒成立，

单调递增，

，即，

又因为，即

而，所以整数的最小值为.

17.【解析】（1）∵，∴

∴.

则当，即时，；

当，即时，，

∴的递减区间为，递增区间为.

（2）若存在使成立，则，

由（1）可知.∴.

18.【解析】（1）由题可知的定义域为，

当时，函数

所以函数在区间上是增函数.

在区间上的最大值为，最小值为 ，

（2），

当时，，显然有解 ，

当时，由得，

当时，，

当时，，

故在处取得最大值 ，

若使有解，只需，

解得结合，

此时的取值范围为

19.【解析】（1）函数的定义域为，

∵，∴.∴，

又,∴所求切线方程为，

即.

又函数在点处的切线方程为，∴.

所以实数的值为.

（2）由题意得，

所以问题转化为在上有解.令，，

则 .

令，

则当时，有.

所以函数在区间上单调递减，

所以.所以，

所以在区间上单调递减.

所以.

所以实数的取值范围为.

20.【解析】（1），，

在处的切线方程为：，

即；

（2），即，令，得.

时， ，时，.

在上减，在上增，

又时，的最大值在区间端点处取到.

  ，

，

，在上最大值为，

故的取值范围是：.

21.【解析】（1）由已知可得函数的定义域为，

当，，单调递减，

当，，单调递增，

当，即时，；

当，即时，；

综上所述，.

（2）不等式成立，即

，

设，则

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

，

由题意可得：

22.【解析】（1）函数的定义域为，

且

当，即时，恒成立，

故函数在上单调递增；

当，即时，令，解得，

故函数在上单调递增；

令，解得，故函数在上单调递减；

综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

（2）若存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立，

令，，则，

当时，，在上恒成立，故函数在上单调递增，，解得，所以；

当时，，在上单调递减，在上单调递增，则

令，，恒成立，即函数，在上单调递减，又，

故在上恒成立，即，故，

当时，，在上恒成立，

故函数在上单调递减，，不符题意，舍去；

综上可得