2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--构造函数问题（含解析）

《导数的综合应用—构造函数》

考查内容：主要涉及利用构造函数解决导数问题

说明：一般复杂的复合函数求导为理科内容

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．定义在上的函数的导函数满足，则下列判断正确的是（    ）

A． B．

C． D．

2．若函数的定义域是，，，则不等式的的解集为（    ）

A． B．

C． D．

3．已知定义在上的函数的导函数为，且，若对任意，恒成立，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

4．函数的定义域为，对任意则的解集为（   ）

A． B． C． D．

5．已知定义在上的函数的导函数为，且对于任意的，都有，则（    ）

A． B．

C． D．

6．已知曲线在处的切线为，曲线在处的切线为，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知函数在R上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

9．已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意，均满足：．若，则不等式的解集是（ ）

A． B．

C． D．

10．已知是函数的导函数且对任意的实数都有，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

11．定义在上的连续函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为(    )

A． B． C． D．

12．设是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式的解集为（    ）

A． B． 

C． D．

二．填空题

13．已知偶函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为______.

14．已知定义在上的函数的导函数为，若对任意的实数，恒成立，且，则不等式的解集为______.

15．若对于任意的，都有，则的最大值为__

16．设函数是偶函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________.

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知函数．

（1）若函数的最小值为2，求的值；

（2）当时，证明：．

18．已知函数，.

（1）若的图像在处的切线经过点，求的值；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.

19．已知函数，其中.

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，若恒成立，实数的取值范围.

20．已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求、的值；

（2）求证：当，时，不等式恒成立

21．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程.

（2）若正实数满足，求证：.

22．已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点、，求的取值范围.

《导数的综合应用—构造函数》解析

1.【解析】由，

得

设，则，故在上单调递减，

则，即，即,

故选D.

2.【解析】构造函数，

则不等式可转化为，

则，

∵，∴，

则函数在上单调递减，∵，

∴，则的解集为，

则不等式的解集为.故选：A.

3.【解析】由题可知：，，

所以，即，

令，则，

又对任意，恒成立，

所以，可知函数在单调递增，

又，所以，

所以即的解集为，

即不等式的解集为，故选：C

4.【解析】令，则，

因为对任意

所以对任意恒成立；

因此，函数在上单调递增；

又所以，

因此不等式可化为，所以.故选B

5.【解析】构造函数，则在恒成立，在单调递减，所以

所以，

即

故， ，，

故正确的是A；

6.【解析】令，，

则，，所以，，

因为，故，所以，

因为，故.又，令，

则，

当时，为减函数，故，

所以在上恒成立，

故在上为减函数，所以，

又当时，，

所以的取值范围为，故选：B.

7.【解析】构造函数，则函数的定义域为，

对任意，，则，

所以，函数为上的增函数，

，，

由可得，解得.

因此，不等式的解集为.故选：D.

8.【解析】令，因为时，，

所以当时，，又，

所以，所以为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以.

故选：B

9.【解析】时，

而也为偶函数，所以，选C.

10.【解析】令，则，

可设，，，

所以，

解不等式，即，所以，解得，

所以不等式的解集为.故选：B

1.【解析】，，

令，则，

函数为奇函数，

当时，，函数在上单调递减，

又函数为连续函数，函数在上单调递减，

不等式可转化为，

即，，解得.故选：A.

12.【解析】设，

则，

，，

，在定义域上单调递增，，，

，．，

（其中为自然对数的底数）的解集为．故选：．

13.【解析】根据题意，设，其导数为，

又由时，有，则有，

则函数在上为减函数，

又由为定义域为的偶函数，

则，则函数为偶函数，

，，

又由为偶函数且在上为减函数，且定义域为，

则有，解可得：或，

即不等式的解集为，

14.【解析】令，则，

在上单调递增，又，

等价于，

则：，解得：，

15.【解析】由题意可得：，

，，，

据此可得函数 在定义域上单调递增，

其导函数：在上恒成立，

据此可得：，即实数的最大值为1．

16.【解析】设函数，是偶函数，，

所以函数是奇函数，且，

当时，，

即当时，单调递减，，

所以当时，，，

当时，，，

是偶函数，所以当时，，当时，，

所以使得成立的的取值范围是.

17.【解析】（1）的定义城为，

且，函数的最小值为2，

若，则，于是在上单调递增，

故无最小值，不合题意，

若，则当时，；当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

于是当时，，取得最小值，

由已知得，解得．

综上可知．

（2）∵由（1）得，当时，取得最小值，

所以当时，取得最小值，即，

则，即：，

由题知，当时，证明：，

∴要证，只要证，

∴令，则，

∴当时，，

所以在上单调递增．

∴当时，，即，

∴当时，不等式成立．

18.【解析】（1）由题知的定义域为.

又，则.

又因为，所以切点为.所以，解得.

（2）当时，.

当时，不等式恒成立

即不等式，恒成立.

设，，

则.

因为，所以.

所以在上单调递减，从而.

要使原不等式恒成立，即恒成立，故.

即的取值范围为.

19.【解析】（1）由题意，，

则，

则

所以函数的极大值，极小值；

（2）因为恒成立，

所以即恒成立，

令，则，

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，所以.

20.【解析】（1），，

，，

将点代入切线方程得，可得，

，解得；

（2）证明：由（1）得，

当，时，要证不等式，

即证，

当时，先证，

构造函数，，

则，

构造函数，，则，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，则，

，函数在上单调递增，

即当时，，

则当，时，，

当，时，不等式恒成立.

21.【解析】（1），切点为.

，.

切线为：，即.

（2）

.

令， ，，，

，，为减函数，

，，为增函数，

，所以.即.

得：，得到，即：.

22.【解析】（1）函数的定义域为，

，令.

当，即时，，则对任意的恒成立，

此时函数在上单调递增；

当时，对任意的恒成立，

此时函数在上单调递增；

当时，有两个正根，

分别为，，

当或时，；当时，.

此时函数在，上单调递增，在上单调递减.

综上可得：当时，函数的单调递增区间是，无递减区间；

当时，函数的单调递增区间是，，

单调递减区间是；

（2）由（1）可知、是关于的二次方程的两根，

由韦达定理可得，，，，，

，，，

，

令，则，设，

，

当时，，当时，.

所以，函数在单调递增，在单调递减，

，

因此，的取值范围是.