2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--恒成立问题（含解析）

《导数的综合应用--恒成立问题》

考查内容：主要涉及利用导数解决恒成立问题

注意：复合函数求导一般涉及理科

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数，若对任意的，，都有，则实数最小值是（    ）

A． B． C． D．

3．若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．函数，，对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数，当时，恒有，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数对均有，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．已知,当时,不等式（是整数）恒成立,则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数，若，，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数，对任意的，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

10．已知函数，若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．若，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（　　）

A．（0，1] B．（0，2] C． D．（3，+∞）

12．若对任意实数，恒成立，则（    ）

A． B．0 C． D．

二．填空题

13．不等式对于任意正实数恒成立，则实数的取值范围是______．

14．关于的不等式恒成立，实数的取值范围是__________.

15．若关于x的不等式恒成立，则的最大值是______

16．设，当时，不等式恒成立，则的取值范围是______.

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知函数，是的一个极值点．

（1）求的单调递增区间；

（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围．

18．设，其中．

（1）若有极值，求的取值范围；

（2）若当，恒成立，求的取值范围．

19．已知函数.

（1）若在处取得极小值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范围；

20．已知函数().

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

21．已知函数，

（1）判断函数在区间上的单调性；

（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值．

22．已知，函数，．

（1）求的单调区间；

（2）证明：当时，；

（3）若在区间上恒成立，求a的取值范围．

《导数的综合应用--恒成立问题》解析

1.【解析】函数,对都有,

当时,即,即为，

可化为，令,

则，

当时,,单调递减.因此，

所以，故实数的取值范围是，故选：B

2.【解析】函数的导数为，

令，解得，所以为函数的极值点，

因为，，

，，

即

所以对任意的，，都有，

所以，从而的最小值为.故选：C

3.【解析】,

当时，，当时，，

的递减区间是，递增区间是，

所以取得极小值，也是最小值，，

不等式对任意实数x都成立，所以.

故选:D.

4.【解析】因为对任意的，都有恒成立，

又因为和在上为增函数，

所以的最小值为，的最大值为，

所以，.故选：C.

5.【解析】.

令，则.

若，则当时，，为减函数，而，

从而当时，，即，

若，则当时，.为增函数，而，

从而当时， ，即，不合题意.

综上可得，的取值范围为.故选：C

6.【解析】根据题意，将代入，得.

由得，

函数的图象恒过点.

设，当函数的图象和的图象相切时，设切点坐标为，由，得切线斜率，

解得.此时，则要使，

只需，解得，所以实数的取值范围是.

故选：B

7.【解析】,代入，

得，

当时成立,得,所以整数.

又 可证时成立,设，

得, ，

所求的最大值是.故选:B.

8.【解析】设，因为，

所以.

记，则在上单调递增，

故在上恒成立，即在上恒成立，

整理得在上恒成立.

因为，所以函数在上单调递增，

故有.因为，所以，即.

故选：D

9.【解析】且，

，

设，

则，又对任意的，且都成立，

所以在上为增函数，即恒成立，

整理得，当时，不等式成立，

当时，恒成立，

又，所以.故选：B．

10.【解析】由，当时，，

令，则，

由，得；由，得，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以.

当时，，，，；

当时，，令，则，

所以.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.

11.【解析】当时，显然不等式恒成立，

当时，显然不等式恒成立

当，由不等式恒成立，

有，在恒成立，

令，，则，

令，，

则，

∴在上单调递增，∴，即，

∴在上单调递增，∵当时，，

∴当时，恒成立，∵，在恒成立，

∴ ，因此正实数的取值范围为．故选B．

12.【解析】，则．

当，即时，，则在，单调递减，

故，解得，所以不符合题意；

当，即时，在上单调递减，在，上单调递增，则．

因为，所以．

令，不等式可转化为，

设，则，

令，得；令，得，

则在上单调递减，在上单调递增，

当时，有最小值0，即，

因为，所以，此时，故．故选：．

13.【解析】由不等式对于任意正实数恒成立，

令，求导得，

因为，所以按与2比较分类讨论：

当时，，所以在区间上是增函数，

又，所以．

当时，因为是增函数，所以有唯一正数解，设为，

所以在区间上，，是减函数，

所以在上，，不合题意．

综上所述，实数的取值范围是．

14.【解析】由不等式对于任意正实数恒成立，

令，求导得，

因为，所以按与2比较分类讨论：

当时，，所以在区间上是增函数，

又，所以．

当时，因为是增函数，所以有唯一正数解，设为，

所以在区间上，，是减函数，

所以在上，，不合题意．

综上所述，实数的取值范围是．

15.【解析】由，，原不等式可化为.

设，则，

当时，，递增；

，，递减.

所以，在处取得极大值，且为最大值；

时，. 的图象恒在的图象的上方，

显然不符题意；

当时，为直线的横截距，其最大值为的横截距，

再令，可得，所以取得最大值为.

此时，，直线与在点处相切.

16.【解析】由题意，令，

则，令，可得当时，，即在上单调递减；当时，，

即在上单调递增，，

，

即等价于，令

则令可得：，

当时，递减，时，递增，

当时，所以的解集为

的取值范围是.故答案为：

17.【解析】（1）. ∵是的一个极值点，

∴是方程的一个根，解得.

令，则，解得或.

∴函数的单调递增区间为，.

（2）∵当时，时，

∴在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增.

∴是在区间[1，3]上的最小值，且.

若当时，要使恒成立，只需，

即，解得.

18.【解析】（1）由题意可知：，且有极值，

则有两个不同的实数根，故，

解得：，即．

（2）由于，恒成立，则，即，

由于，则

①当时，在处取得极大值、在处取得极小值，

当时，为增函数，因为，所以恒大于，

当时，，解得：；

②当时，，即在上单调递增，且，

则恒成立；

③当时，在处取得极大值、在处取得极小值，

当时，为增函数，因为，所以恒大于，

当时，，解得，

综上所述，的取值范围是．

19.【解析】（1）∵的定义域为，，

∵在处取得极小值，∴，即.

此时，经验证是的极小值点，故

（2）∵，

①当时，，∴在上单调递减，

∴当时，矛盾

②当时，，

令，得；，得.

（ⅰ）当，即时，

时，，即递减，∴矛盾.

（ⅱ）当，即时，

时，，即递增，∴满足题意.

综上，

20.【解析】(1)当时，，，

， ，

曲线在点处的切线方程为，即，

(2)当时，()，

对任意，恒成立，符合题意，

法一:当时，，；，在上单调递增，在上单调递减

只需即可，解得

故实数的取值范围是，

法二: 当时，恒成立恒成立，

令，则，；，

在上单调递增，在上单调递减只需即可，解得

故实数的取值范围是

21.【解析】（1），

∵，∴，∴，

∴在上是减函数；

（2）当时，恒成立，

即对恒成立，

，记，

则，∴在上单调递增，

又，∴存在唯一实数根，

且满足，，

由时，，时，，知的最小值是，

∴，正整数k的最大值是3．

22.【解析】（1）．

因为，由，得，

由，得，由，得．

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）证明：设，则．

当时，，所以在上单调递增，

所以，即，所以，

所以当时，．

（3）当时，，由（Ⅰ）知，，

而，此时在区间上不恒成立．

当时，设．

当时，

，所以在上单调递增，所以，

即此时恒成立．综上所述，a的取值范围是．