2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--函数零点问题（含解析）

《导数的综合应用—函数零点问题》

考查内容：主要涉及利用导数解决函数零点问题

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．求函数零点的个数为（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．若函数在上有2个零点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．若函数存在两个不同零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

6．已知函数，，若方程有2不同的实数解，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．已知存在唯一零点，则实数的取值范围（    ）.

A． B． C． D．

8．已知函数（）只有一个零点，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

11．设函数是函数的导函数，当时，，则函数的零点个数为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数.若，则在上的零点个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

二．填空题

13．已知函数有三个零点，则实数a的取值范围为________.

14．函数在区间上有两个零点，则的取值范围是_________．

15．已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是______.

16．若函数只有一个零点，则实数的取值范围是______.

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知函数，，且在区间上为增函数.

（1）求的取值范围；

（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围.

18．已知函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若是函数的一个极值点，试判断此时函数的零点个数，并说明理由.

19．设函数

（1）若是的极大值点，求的取值范围.

（2）当时，函数有唯一零点，求正数 的值.

20．已知函数，.

（1）求证：函数的图象恒在函数图象的上方；

（2）当时，令的两个零点，.求证：.

21．已知函数，

（1）讨论在上的单调性.

（2）当时，若在上的最大值为，讨论：函数在内的零点个数.

22．已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）证明：只有一个零点．

《导数的综合应用—函数零点问题》解析

1.【解析】,

在上单调递增,在上单调递减,在上上单调递增,

所以当时,取到极大值,

所以当时,取到极小值,

所以函数零点的个数为3，所以C选项是正确的

2.【解析】，.

令，解得，.

，，为增函数，

，，为减函数，

，，为增函数.

所以，.

因为函数有三个不同的零点，

等价于方程有三个不同的根.

所以，解得.故选：D

3.【解析】由得，设，，

则函数在上有2个零点等价于直线与函数的图像有两个交点，又，

当时，；当时，.

则函数在为增函数，在为减函数，

∴，又，，

又函数在上有2个零点，则的取值范围为.

故选：D.

4.【解析】因为函数有两个不同的零点，

所以函数的图像与直线有两个不同的交点，

由得，

令，则，当时，；当时，，

所以 在上单调递减，在上单调递增，

所以时，取最小值，

且当时， ，当时，，

所以要使函数的图像与直线有两个不同的交点，只要即可，即，故选：B

5.【解析】函数存在两个不同零点，

等价于有两个不同的解，

满足条件，所以有一个非零根，

令，，

当时，，时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

且当时，，当时，，

所以有一个非零根时，实数的取值范围是，故选：C.

6.【解析】由得，

去分母整理得有2不同的实数解，

所以或，所以或，

设所以，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减.

所以，所以没有实数解.

所以方程有两个不同的实数解.

当时，；当时，

要方程有两个不同的实数解，必须.故选：B.

7.【解析】由题意知，存在唯一零点，只有一个零点0．

，是奇函数，故只考虑当时，函数无零点即可．

当时，有，．

令，，则，

，，

，在上单调递增，

，，，故选：D．

8.【解析】

,

令，解得，

则当时，，

故函数在上单调递增，

当时，，函数为减函数，

所以当时，函数取得极小值，极小值为，

当时，函数取得极大值，极大值为，

且时，，时，，

因为函数只有一个零点，

所以或，

解得或或，因为，所以，故选：A

9.【解析】因为方程在上有两个解，

即在上有两个解，

设，则，

在上为增函数，且，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

又，，时，，

，.故选：B

10.【解析】函数定义域是，，，设，则，设，则，，易知，即也即在上恒成立，所以在上单调递增，又，因此是的唯一零点，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，，函数至少有一个零点，则，．故选B．

11.【解析】设，则.

当时，，

当时，，故，所以，函数在上单调递减；

当时，，故，所以，函数在上单调递增.

所以，所以，函数没有零点，

故也没有零点.故选：D.

12.【解析】由题意，，

令，则，

当时，，单调递增，即单调递增；当时，，单调递减，即单调递减.

，，，，

存在，使得，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，，

函数在上的大致图象，如下图所示：

所以，若，函数在上有1个零点.故选：B.

13.【解析】由题意可得：函数，所以，

令，则或，令，则，

所以函数的单调增区间为和，减区间为

所以当时函数有极大值，

当时函数有极小值，，

因为函数有三个零点，

所以且，

解得，故实数a的取值范围为.故答案为：

14.【解析】由题意得，得，设，可得在区间上单调递增；在区间上单调递减，所以当时，函数取得极小值，同时也是最小值，因为当时，，当时，，所以要使得函数在区间上有两个零点，所以实数的取值范围是．

15.【解析】时，，，

所以，

因为函数的定义域为，该定义域关于原点对称，

所以函数为偶函数.

若函数有四个不同的零点，则函数在上有两个不同的零点.

当时，令得，即，

令，则函数在上有两个不同的零点时，

直线与函数的图象在上有两个不同的交点.

，令得，

当时，，为增函数；当时，，为减函数；

所以，作出图象如图，

由图可知，所以实数的取值范围是.

16.【解析】因为，定义域为，

所以

当时，恒成立，即在定义域上单调递减，，当时，，，，所以，所以在上存在唯一的零点，满足条件；

当时，令，解得即函数在上单调递增，令，解得即函数在上单调递减，则在取值极小值即最小值，，

令，，则恒成立，即在定义域上单调递增，且，

所以要使函数只有一个零点，则，解得，综上可得或；

17.【解析】（1）由题意

因为在区间上为增函数

所以在区间上恒成立，

即恒成立，又，所以，故.

当时，在区间恒大于0，

故在区间上单增，符合题意.

所以的取值范围为

（2）设

令得或，由（1）知，

①当时，，在上递增，显然不合题意.

②当时，，随的变化情况如下表：

由于，欲使与图象有三个不同的交点，

即方程，也即有三个不同的实根

故需即

所以解得

综上，所求的范围为.

18.【解析】.

（1）时， ，令解得或.

所以， 时函数的单调递增区间为.

令，解得.

所以， 时函数的单调递减区间为.

（2）因为是函数的一个极值点，则，故： 解得：，此时，令

解得： 或.则变化时， 的变化情况如下.

故此时时， 有极小值；

时， 有极大值；

则当时， ，显然函数在上无零点.

又，（也可取等），则，结合函数在上单调递增，故由零点存在定理知，函数在上必有唯一零点.

综上：若是函数的一个极值点，则此时函数在上有唯一零点

19.【解析】（1）的定义域为，

，由，得.

∴.

①若，由，得.

当 时，，此时是单调递增；

当时，，此时是单调递减，所以是的极大值点.

②若，由，得或.

因为是的极大值点，所以，解得，

综合①②：的取值范围是.

（2）因为函数有唯一零点，即有唯一实数解，

设，则．令 ，．因为，所以，方程有两异号根设为，因为，所以应舍去.

当时，，在上单调递减；

当时，，在单调递增.

故．因为 有唯一解，所以，

则 即，

因为，所以 （*），

设函数，

因为当时，是增函数，所以至多有一解．

因为，所以方程（*）的解为，代入方程组解得

20.【解析】（1）证明：构造函数.

则，令得

时，时

在为减函数，在为增函数，  

所以，即

故函数的图象恒在函数图象的上方. 

（2）证明：由有两个零点，

当时     

则在为增函数，且，则当时，为减函数，当时，为增函数，，

又，

. 在和上各有一个零点，，  故.

21.【解析】（1）

当时，

当，时，；当，时，

当时，在上单调递增；当时，在上单调递减

（2）由（1）知，当时，在上单调递增

，解得：

在上单调递增，，

在内有且仅有个零点，

令，，

，

当时，，，    ，

在内单调递减，

又，，

，使得，

当时，，即；当时，，

即，在上单调递增，在上单调递减，

    在上无零点且，

又，

在上有且仅有个零点，

综上所述：在上共有个零点

22.【解析】（1）当a=3时，f（x）=，f ′（x）=．

令f ′（x）=0解得x=或x=．

当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f ′（x）>0；

当x∈（，）时，f ′（x）<0．

故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．

（2）由于，所以等价于．

设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．

又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．

综上，f（x）只有一个零点．