2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--函数图像及性质（含解析）

《导数的综合应用—函数图像及性质》

考查内容：主要考查利用导数研究函数的图像和性质

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．函数（）的图像可以是（    ）

A．  B．  C．  D．

2．函数f（x）的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

3．函数的导函数的图象大致如下图，则可能是（    ）

A． B．

C． D．

4．已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知定义在区间上的函数的图象如图所示，若函数是的导函数，则不等式的解集为(    )

A． B．

C． D．

6．函数在上的图象大致是（  ）

A． B．

C． D．

7．函数图像如图，在定义域内可导，且其导函数为，则不等式的解集为(  )

A．                 B．

C．                         D．

8．函数的图象大致为（    ）

A．  B．  C．  D．

9．设函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围为（    ）

A． B．[3，6] C．（3，9） D．[3，9]

10．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数的导数的图象，则等于（    ）

A． B． C．或 D．

11．已知三次函数y=f(x)的图像如下图所示，若是函数f(x)的导函数，则关于x的不等式的解集为（   ）

A．  B． 

C．  D．

12．已知函数的图象如图所示，则可以为（    ）

A． B． C． D．

二．填空题

13．如图是函数的导函数的图像，给出下列命题：

①-2是函数的极值点；

②函数在处取最小值；

③函数在处切线的斜率小于零；

④函数在区间上单调递增.

则正确命题的序号是__________．

14．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为__

15．已知函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是      ．

16．已知函数与的图像上存在关于原点对称的对称点，则实数的取值范围是______．

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知函数.

（1）若时，函数的图像恒在直线上方，求实数的取值范围；

（2）证明：当时，.

18．已知函数．

(1)若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；

(2)若，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方．

19．若函数，当时，函数有极值.

（1）求函数的解析式；

（2）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围.

20．已知函数，，且在区间上为增函数.

（1）求的取值范围；

（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围.

《导数的综合应用—函数图像及性质》解析

1.【解析】由题可知：，所以当时，，又，

令，则，令，则，

所以函数在单调递减，在单调递增，故选：B

2.【解析】由f(x),得f′(x),

令g(x)＝1,则g′(x)0,

所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,

又g(e)0,g(e2)0,

所以存在x0∈(e,e2),使得g(x0)＝0,所以当x∈(0,x0)时,g(x)＞0,f′(x)＞0;

当x∈(x0,+∞)时,g(x)＜0,f′(x)＜0,所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.

故选:C.

3.【解析】由题图可知，的导函数是一个奇函数，其中选项CD的导函数分别为，其，都为非奇非偶函数，即可排除C,D，

其中选项B的其中在显然在上单调递增，与图象不符，错误，

故选：A

4.【解析】

因此当时，；当时，；当时，；故选：A

5.【解析】当时,若则,此时函数单调递减,故.当时,若则,此时函数单调递增,故.故选：B

6.【解析】对函数进行求导：，

由可得：，即函数在区间上是增函数，在区间和区间上是减函数，观察所给选项，只有A选项符合题意.

7.【解析】当时，因为，则等价于，所以；当时，因为，

则等价于，所以，

故不等式的解集为.故选B.

8.【解析】设，所以，

当时，，当时，，

所以，所以，所以，

所以，排除B，C，D.故选A

9.【解析】函数有4个不同的零点，即方程有4个根．

当时，，平方得，

解得或1，满足，此时方程有两个根；

当时，方程也需有两个实根，即有两根，只需和函数有两个交点即可，

，

当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增.，，

因为，所以存在，

使得，可画出函数在上的图象，如下图所示，

令，即时，和函数有两个交点，所以当时，函数有4个不同的零点.

故选：C.

10.【解析】因为导函数，

所以导函数的图像是开口向上的抛物线，

所以导函数图像是从左至右第三个，所以 ，

又，即，所以，

所以. 故选D.

11.【解析】由题图可知，所以即解0，当时，等价于0，故满足条件的为，当时,等价于0,故满足条件的为，所以综合可得的解集为，故选A.

12.【解析】由图象可知，函数为上的奇函数，且在上先增后减.

对于A选项，函数的定义域为，，该函数为奇函数，当时，，.

当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减，合乎题意；

对于B选项，函数的定义域为，不合乎题意；

对于C选项，函数的定义域为，，，，该函数不是奇函数，不合乎题意；

对于D选项，函数的定义域为，当时，，，该函数在区间上单调递增，不合乎题意.

故选：A.

13.【解析】根据导函数的图象可得，

当上，，在上，，

故函数在上函数单调递减，

在，函数单调递增，

所以是函数的极小值点，所以①正确；

其中两函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以②不正确；

由图象可得，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以③不正确；

由图象可得，当时，，所以函数在上单调递增，所以④是正确的，

综上可知，①④是正确的.

14.【解析】由图象特征可得，

导数，在上，在上，

所以等价于或，解得或，

即不等式的解集为．

15.【解析】∵，∴求导数，得f′（x）=a（x-1）（x+2）．

①a=0时，f（x）=1，不符合题意；

②若a＞0，则当x＜-2或x＞1时，f′（x）＞0；当-2＜x＜1时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（-2，1）是为减函数，在（-∞，-2）、（1，+∞）上为增函数；

③若a＜0，则当x＜-2或x＞1时，f′（x）＜0；当-2＜x＜1时，f′（x）＞0，

∴f（x）在（-2，1）是为增函数，在（-∞，-2）、（1，+∞）上为减函数

因此，若函数的图象经过四个象限，必须有f（-2）•f（1）＜0，

即，解之得

16.【解析】函数与的图像上存在关于原点对称的对称点，∴方程，即在上有解，

∴方程在有解．

设，，且为的切线，设切点为，

由得，则有，解得．

由图象可得，要使直线和的图象有公共点，

则，解得．所以实数的取值范围是．

17.【解析】（1）当时，函数的图像恒在直线上方，

等价于当时，恒成立，     

即恒成立，                  

令，，则

当时，，故在上递增，

当时，，故在上递减，

∴为在区间上的极小值，仅有一个极值点故为最小值，

∴时，                      

所以实数的取值范围是 ；                       

（2）证明：

①当时，由，知成立；     

②假设当时命题成立，即

那么，当时，

下面利用分析法证明：    

要证上式成立，只需证：

只需证：                         

令，只需证：，          

只需证：，

由（1）知当时，恒成立.              

所以，当时，也成立，

由①②可知，原不等式成立.

18.【解析】(1)解由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝－1时，f′(x)＝x－

令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在(0,1)上是单调递减的，

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上是单调递增的，

则x＝1是f(x)极小值点，所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)=

(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，

则F′(x)＝x＋－2x2＝，

当x>1时，F′(x)<0，故f(x)在区间[1，＋∞)上是单调递减的，

又F(1)＝－<0，∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．即f(x)—g(x)<0恒成立

即f(x)<g(x)恒成立.

因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方．

19.【解析】（1）因为，由题意得，解得

故所求函数的解析式为.

（2）由（1）可得，

令，得或.

当变化时，变化情况如下表：

因此，当时，有极大值，当时，有极小值，

因为函数的图象大致如图所示：

若有3个不同的根，则直线与函数

的图象有3个交点，所以.

20.【解析】（1）由题意 ，

因为在区间上为增函数，

所以在区间上恒成立，

即恒成立，又，所以，故.

当时，在区间恒大于0，

故在区间上单增，符合题意.

所以的取值范围为

（2）设，

，

令得或，由（1）知，

①当时，，在上递增，显然不合题意.

②当时，，随的变化情况如下表：

由于，欲使与图象有三个不同的交点，

即方程，也即有三个不同的实根，

故需即，

所以，解得，

综上，所求的范围为.