初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式课后测评

专题01  二次根式的概念问题

1.二次根式的概念

我们把形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．注意：a可以是数，也可以是式.

2.二次根式有意义的条件

要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数a≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零。

3.二次根式的双重非负性

二次根式中,a≥0且 ≥0, 即为二次根式的双重非负性。

（1）概念：正数和零叫做非负数．常见的非负数有|a|，a2，(a≥0)．

（2）性质：若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．

如：若a2+|b|+=0，则a2=0，|b|=0，=0，可得a=b=c=0．

4.注意：二次根式概念问题小结列表如下

5.归纳总结二次根式问题考点类型及解题方法（十分重要）

【类型1】判断根式是否是二次根式

方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；

(2)被开方数是非负数．

【类型2】 根据二次根式有意义求字母的取值范围

方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：

(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．

【类型3】 利用二次根式的非负性求解

方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.

【类型4】和二次根式有关的规律探究性问题

方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．

【例题1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

(1)；       (2)；      (3)；(4)；     (5)；

(6)(x≤3)；(7)(x≥0)；(8)；(9)；(10)(ab≥0)．

【答案】见解析。

【解析】判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；

(2)被开方数是非负数．

因为，，＝，(x≤3)，，(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.的根指数不是2，，(x≥0)，的被开方数小于0，所以不是二次根式．

【例题2】（2021黑龙江绥化）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ）

A.  B. 且 C. 且 D.

【答案】C

【解析】要使式子在实数范围内有意义，必须保证根号下为非负数，分母不能为零，零指数幂的底数也不能为零，满足上述条件即可．

式子在实数范围内有意义，

必须同时满足下列条件：

，，，

综上：且．

【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，当上述式子同时出现则必须同时满足．

【例题3】（2021广东省）若，则（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】因为，且，

 所以，

所以，，所以

【例题4】先观察下列等式，再回答下列问题．

①＝1＋－＝1；

②＝1＋－＝1；

③＝1＋－＝1.

(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出的结果；

(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数)．

【答案】见解析。

【解析】(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．

解：(1)＝1＋－＝1；

(2)＝1＋－＝1(n为正整数)．

一、选择题

1.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．

根据二次根式里面被开方数即可求解．

由题意知：被开方数，解得：．

2．（2021湖北黄石）函数y＝+（x﹣2）0的自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥﹣1 B．x＞2 C．x＞﹣1且x≠2 D．x≠﹣1且x≠2

【答案】C

【解析】根据二次根式成立的条件，分式成立的条件，零指数幂的概念列不等式组求解．

由题意可得：，

解得：x＞﹣1且x≠2．

3．函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≠2

【答案】A

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．

由题意得：x﹣2＞0，

解得：x＞2．

4.下列各式：                                                                  .

一定是二次根式的个数有（    ）     

A.3个          B.4个          C.5个          D.6个

【答案】B

【解析】只要二次根号内的数或者式子大于等于0，这样的式子都属于二次根式。

5．二次根式中的x的取值范围是 (　　)

A．x＜－2           B．x≤－2 

C．x＞－2           D．x≥－2

【解析】D　

【解析】由题意，得2x＋4≥0，解得x≥－2.故选D.

6．函数的自变量x的取值范围是（    ）

A．，且 B． C． D．，且

【答案】A

【解析】根据分式与二次根式的性质即可求解．

依题意可得x-3≠0，x-2≥0解得，且故选A．

7.若代数式+有意义，则实数x的取值范围是（　　）

A． x≠1 B． x≥0 C． x≠0 D． x≥0且x≠1

【答案】D．

【解析】根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．

∵代数式+有意义，

∴，

解得x≥0且x≠1．

8.代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（　　）

A． B．  

C．  D．

【答案】A

【解析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案．

由题意，得

3﹣x≥0且x﹣1≠0，

解得x≤3且x≠1，

在数轴上表示如图：

，

二、填空题

1．（2021湖北黄冈）式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是 　   　．

【答案】a≥﹣2．

【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．

由题意得，a+2≥0，

解得a≥﹣2．故答案为：a≥﹣2．

2.已知，则_________．

【答案】

【解析】根据被开方数是非负数，可得x，y，根据有理数的减法，可得答案．

由题意得，解得x=1，y=3，∴x-y=1-3=-2，故答案为：-2．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，可得x，y是解题关键．

3.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　．

【答案】x＞3．

【解析】由题意得：2x﹣6＞0，

解得：x＞3，

【点拨】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6＞0，再解即可．

4．使在实数范围内有意义的x的取值范围是　  　．

【答案】x≥1．

【解析】由题意得，x﹣1≥0，

解得，x≥1，

【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．

5.若=3﹣x，则x的取值范围是　    　．

【答案】x≤3．

【解析】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时，=a，

当a＜0时，=﹣a．

根据二次根式的性质得出3﹣x≥0，求出即可．

∵=3﹣x，

∴3﹣x≥0，

解得：x≤3，

6.若，则(a+b)2020=      ．

【答案】1

【解析】根据非负数的意义，求出a、b的值，代入计算即可．

∵，

∴a-2=0且b+1=0，

解得，a=2，b=-1，

∴(a+b)2020=(2-1)2020=1

7.已知|a-1|+=0，则ab=　　　　. 

【答案】1.

【解析】∵|a-1|+=0，则|a-1|=0，=0，

解得：a=1，b=-2.

∴ab=1-2=1.

8．若都是实数，且，则_______．

【答案】2

【解析】根据二次根式有意义的条件可得关于x的不等式组，解不等式组可求得x的值，继而可求得y的值，将x、y的值代入所求式子进行计算即可．

因为，所以，解得：x=1，所以y=4，

所以，故答案为：2．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根等，正确求出x、y的值是解题的关键．

三、解答题

1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？

【答案】(1)(4)(6)均是二次根式，(3)(5)(7)均不是二次根式。

【解析】(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.

2.求使下列式子有意义的x的取值范围．

(1)；     (2)；     (3).

【答案】见解析。

【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．

(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜.当x＜时，有意义；

(2)由题意得解得x≤3且x≠2.当x≤3且x≠2时，有意义；

(3)由题意得解得x≥－5且x≠0.当x≥－5且x≠0时，有意义．

3.(1)已知a、b满足＋|b－|＝0，解关于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1；

(2)已知x、y都是实数，且y＝＋＋4，求yx的平方根．

【答案】见解析。

【解析】(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x的值，进而求得y的值，进而可求出yx的平方根．

(1)根据题意得解得则(a＋2)x＋b2＝a－1，即－2x＋3＝－5，解得x＝4；

(2)根据题意得解得x＝3.则y＝4，故yx＝43＝64，±＝±8，∴yx的平方根为±8.

4.已知|2018﹣m|+＝m，求m﹣20182的值．

【分析】直接利用二次根式有意义的条件分别分析得出答案．

【解答】解：∵m﹣2019≥0，

∴m≥2019，

∴2018﹣m≤0，

∴原方程可化为：m﹣2018+＝m，

∴＝2018，

∴m﹣2019＝20182，

∴m﹣20182＝2019．