初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式一课一练

这是一份初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式一课一练，文件包含专题10二次根式单元系统总结与复习解析版doc、专题10二次根式单元系统总结与复习原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
专题11  二次根式单元系统总结与复习一．牢记并理解思维导图二、二次根式单元知识再现1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注】被开方数只能是非负数．即要使二次根式有意义，则a≥0．（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；（4）；（5）．3．二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除乘法法则：；除法法则：．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．三、单元考点例题解析考点一：   二次根式的相关概念有意义的条件求二次根式中字母的取值范围的基本依据：（1）开方数大于或等于零；（2）分母中有字母时，要保证分母不为零.【例题1】（2021湖北襄阳）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）A．x≥﹣3 B．x≥3 C．x≤﹣3 D．x＞﹣3【答案】A【解析】根据二次根式的概念，形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．若二次根式在实数范围内有意义，则x+3≥0，解得：x≥﹣3．【例题2】（2021湖南怀化）函数y＝的自变量x的取值范围是 　     　．【答案】x≥2且x≠3．【解析】让二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0列不等式组求解集即可．由题意得：，解得：x≥2且x≠3． 【例题3】用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．（1）求；（2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．【答案】(1)；(2)，图见解析【解析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；
（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．解：（1）===（2）∵，
∴解得：将解集表示在数轴上如下：考点二：   二次根式的性质初中阶段主要涉及三种非负数：   ≥ 0，|a|≥0，a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一. 【例题4】（2021重庆）下列计算中，正确的是（　　）A．5﹣2＝21 B．2+＝2 C．×＝3 D．÷＝3【答案】C【解析】根据合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则逐一判断即可．A．5﹣2＝3，此选项计算错误；B．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；C．×＝××＝3，此选项计算正确；D．÷＝＝，此选项计算错误．考点三：   二次根式的运算及应用二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运算律和乘法公式简化运算.【例题5】计算： ＋【答案】见解析。【解析】先把各个二次根式化简，然后合并同类二次根式即可．(3)原式＝＋(×2 －3×)＝4 －2 ＋－＝3 －.【例题6】阅读材料：小明在学习二次根式的化简后，遇到了这样一个需要化简的式子：．该如何化简呢？思考后，他发现3+2＝1+2+（）2＝（1+）2．于是＝＝1+．善于思考的小明继续深入探索；当a+b＝（m+n）2时（其中a，b，m，n均为正整数），则a+b＝m2+2mn+2n2．此时，a＝m2+2n2，b＝2mn，于是，＝m+n．请你仿照小明的方法探索并解决下列何题：（1）设a，b，m，n均为正整数且＝m+n，用含m，n的式子分别表示a，b时，结果a＝　       　，b＝　        　；（2）利用（1）中的结论，选择一组正整数填空：＝　　+　　；（3）化简：．【分析】（1）利用已知直接去括号进而得出a，b的值；（2）取m＝2，n＝1，计算a和b的值，利用完全平方公式，变形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解答】解：（1）由题意得：a+b＝（m+n）2，∴a+b＝m2+3n2+2mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn；故答案为：m2+3n2；2mn；（2）取m＝2，n＝1，则a＝m2+3n2＝7，b＝2mn＝4，7+4＝（2+）2；故答案为：；（3）＝＝+1．考点四：  二次根式的化简求值【例题7】（2021山东泰安）（1）先化简，再求值：，其中a＝+3；【答案】见解析。【解析】（1）分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里面的，然后代入求值；解：（1）原式＝[]＝＝﹣，当a＝+3时，原式＝﹣；考点五： 本章解题思想方法1.分类讨论思想【例题8】2.整体思想【例题9】3.类比思想  【例题10】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=　    　，b=　  　；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　　+2=（　　+）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？【答案】（1）m2+3n2，2mn．（2）4、1．（3）13 【解析】根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．