2021-2022学年中考总复习 专题04 圆周角定理（解析版）

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知识点总结：
1.圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2.圆周角定理及其推论
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形
（1）圆心O在∠BAC的一边上（如图甲）
（2）圆心O 在∠BAC的 内部（如图乙）
（3）圆心O在∠BAC的外部（如图丙）
甲 乙 丙
4.圆周角和直径的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
5.方法总结
在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
6.圆内接四边形
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.

推论1：圆的内接四边形的对角互补.
推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
典例精析
【例题1】（2021湖南邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【例题2】（2021黑龙江）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为 cm．
【例题3】如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
【例题4】如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
强化训练
一、选择题
1．（2021湖南长沙）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（ ）
A．27°B．108°C．116°D．128°
2．（2021甘肃威武定西平凉）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）
A．48°B．24°C．22°D．21°
3．（2021湖北黄石）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝60°，OF⊥AB交⊙O于点F，则∠BAF等于（ ）
A．20°B．22.5°C．15°D．12.5°
4．（2021湖北宜昌）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．85°B．75°C．70°D．65°
5．（2021吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．65°
6．（2021辽宁营口）如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是上任意一点，则∠ADB度数为（ ）
A．112°B．124°C．122°D．134°
7．（2021四川眉山）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（ ）
A．18°B．21°C．22.5°D．30°
8．如图所示，已知四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，∠BCD＝120°，则∠B0D＝（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
9.如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠ABC＝50°，则∠BDC＝（ ）
A．50°B．45°C．40°D．30°
二、填空题
1．（2021江苏连云港）如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，∠OBC＝40°，则∠OAC＝ °．
2．（2021江苏盐城）如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝ °．
3．如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠C＝15°，则∠BOC的度数为 ．
4．如图，在⊙O中，所对的∠AOB的度数为m，C是上一点，D、E是上不同的两点（不与A、B两点重合），则∠D+∠E的度数为 ．
三、解答题
1.如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.
2.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数.
3．如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD．
4．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）填空：∠APC＝ 度，∠BPC＝ 度；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．