（全国通用）中考数学总复习 专题04 二次根式（12个高频考点）（强化训练）（原卷版+解析）

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【考点1 二次根式的定义】
1．（2022·河北邢台·模拟预测）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A．5B．13C．x2+1D．2x
2．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）在式子x2（x＞0），2，33，x2+1，−3x（x＞0）中，二次根式有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
3．（2022·广东广州·二模）已知n是正整数，5n−1是整数，则n的值可以是（ ）
A．5B．7C．9D．10
4．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）在式子34 ，x2+y2+1 ,a−1 ,−2x ( x−1B．x⩾−1C．x⩾−1且x≠0D．x⩽−1且x≠0
7．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·内蒙古包头·中考真题）若代数式x+1+1x在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
9．（2022·湖南常德·中考真题）使式子xx−4有意义的x的取值范围是______．
10．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）已知x，y是实数，且满足y=x−2＋2−x＋18，则x⋅y的值是______．
【考点3 二次根式的性质与化简】
11．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1−b−12+a−b2=______．
12．（2022·四川宜宾·中考真题）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=14c2a2−c2+a2−b222．现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
13．（2022·全国·四川成都·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE=13AE=1，则CD＝______．
14．（2022·广东广州·一模）若(x−1)2=1−x，则x的取值范围是__________．
15．（2022·上海普陀·二模）方程3−2x=x的根是___________．
【考点4 最简二次根式】
16．（2022·河南商丘·二模）已知n>0，若2n是最简二次根式，请写出一个符合条件的n的正整数值_______________．
17．（2022·四川·江油市小溪坝初级中学校一模）若二次根式3a+5是最简二次根式，则最小的正整数a=______
18．（2022·江苏无锡·模拟预测）在根式12，3，4，8中随机抽取一个，它是最简二次根式的概率为____．
19．（2022·湖南益阳·一模）把0.4化成最简二次根式为______．
20．（2022·山东青岛·二模）若最简二次根式2x−1与x+3能合并，则x=__________．
【考点5 二次根式的乘除】
21．（2022·天津红桥·三模）计算23+323−3的结果等于_______．
22．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）2×12=2×a3=ab，则a－b＝______．
23．（2022·山东聊城·二模）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
24．（2022·内蒙古通辽·中考真题）计算：2⋅6+41−3sin60°−12−1．
25．（2022·福建省福州屏东中学二模）计算：2×6−3−2−12−1
【考点6 分母有理化】
26．（2022·安徽·二模）阅读下列解题过程：
12+1＝2−1(2+1)(2−1)＝2-1；
13+2＝3−2(3+2)(3−2)＝3-2；
14+3＝4−3(4+3)(4−3)＝4-3＝2-3；
…
解答下列各题：
（1）110+9＝ ；
（2）观察下面的解题过程，请直接写出式子1n−n−1＝ ．
（3）利用这一规律计算：（12+1+13+2+14+3+…+12021+2020）×（2021+1）．
27．（2022·浙江丽水·一模）把3a12ab化去分母中的根号后得( )
A．4bB．2bC．12bD．b2b
28．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）阅读材料：像（5+2）（5﹣2）＝3，a⋅a＝a（a≥0）、（b+1）（b﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如3与3，2+1与2﹣1，23+35与23﹣35等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：123=323×3=36；2+12-1=(2+1)2(2-1)(2+1)=3+22．解答下列问题：
(1)3﹣7与______互为有理化因式，将232分母有理化得______；
(2)①直接写出式子(12+1+13+2+14+3+⋯12019+2018)×(2019+1)
的计算结果______．
②比大小2020-2019______2019-2018（直接填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）
(3)已知有理数a、b满足a2+1+b2=-1+22，求a、b的值．
29．（2022·福建福州·二模）定义：我们将（a＋b）与（a－b）称为一对“对偶式”．因为（a＋b）（a－b）＝（a）2 －（b）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（a＋b）和（a－b）中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如2+22−2＝(2+2)2(2−2)(2+2)＝3＋22．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)请直接写出7＋2的对偶式_________；
(2)已知m＝12−3，n＝12＋3，求m−nm2n＋mn2的值；
(3)利用“对偶式”相关知识解方程：20−x－4−x＝2，其中x≤4．
30．（2022·福建福州·一模）阅读材料：像5+25−2=3，7⋅7=7这样，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．
例如：123=323×3=36；2+12−1=2+122−12+1=3+22．
解答下列问题：
(1)请写出一个6−5的有理化因式；
(2)将3−73+7分母有理化；
(3)应用：当n为正整数时，通过计算比较式子n+1−n和n+2−n+1的大小．
【考点7 同类二次根式】
31．（2022·广东韶关·模拟预测）下列各组二次根式，属于同类二次根式的是（ ）
A．3与18B．63与28C．0.5与23D．12与72
32．（2022·江苏南通·一模）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ）
A．18B．13C．24D．0.3
33．（2022·重庆·模拟预测）估算50−412的结果最接近的整数是（ ）．
A．3B．4C．5D．6
34．（2022·广东·二模）若二次根式2a+6与−33是同类二次根式，则整数a可以等于___________．（写出一个即可）
35．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知最简二次根式−343a2+2与27a2−2是同类二次根式，则a的值为_________．
【考点8 二次根式的加减法】
36．（2022·黑龙江·哈尔滨市第八十四中学校一模）计算：33−27=_____．
37．（2022·浙江金华·一模）如图所示，数轴上表示1，3的点分别为A，B，且CA=2AB（C在A的左侧），则点C所表示的数是________．
38．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知x+1x=2，则代数式x+1x−2=______．
39．（2022·河北·中考真题）已知：18−2=a2−2=b2，则ab=_________．
40．（2022·湖南怀化·中考真题）计算：（3.14﹣π）0+|2﹣1|+（12）﹣1﹣8．
【考点9 二次根式的混合运算】
41．（2022·青海西宁·中考真题）计算：(5+3)(5−3)−(3−1)2．
42．（2013·山东滨州·中考真题）计算：33−(3)2+(π+3)0−27+|3−2|．
43．（2022·上海·华东师范大学松江实验中学三模）计算：27+23−1−|3−2|+(−2)0+(12)−1．
44．（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z=0，则有：1x2+1y2+1z2=1x+1y+1z（结论不需要证明）
例如：122+132+152=122+132+1(−5)2=12+13+1(−5)=1930
根据以上阅读，请解决下列问题：
【基础训练】
(1)求112+122+132的值；
【能力提升】
(2)设S=1+112+122+1+122+132+⋯+1+120192+120202，求S的整数部分．
【拓展升华】
(3)已知x+y+z=0(xyz≠0,x>0)，其中，且y+z=3yz．当1x2+1y2+1z2+1x−1y−1z取得最小值时，求x的取值范围．
45．（2022·湖北宜昌·中考模拟）计算(a3b+ab3+ab)÷ab
【考点10 二次根式的化简求值】
46．（2022·福建省厦门第六中学二模）已知x=3−23+2，y=3+23−2，求xy2+yx2的值．
47．（2022·四川·成都市三原外国语学校一模）已知x=110−3，y=110+3．
（1）求x2+2xy+y2的值．
（2）求x2−4x+4x(x−2)−y2+2y+1y(y+1)值．
48．（2022·四川·东辰国际学校三模）若x，y是实数，且y＝4x−1+1−4x+13，求（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
49．（2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）已知：x=3−12，y=3+12，求下列各式的值：
（1）x2-xy+y2；
（2）yx+xy+2
50．（2022·湖北省黄梅县大河镇第一中学模拟预测）已知：x=a+1a（0＜a＜1），求代数式x2+x−6x÷x+3x2−2x−x−2+x2−4xx−2−x2−4x的值．
【考点11 比较二次根式的大小】
51．（2022·福建泉州·中考模拟）设M=20172−2016×2018，N=20172−4034×2018+20182，则M与N的关系为（ ）
A．M＞NB．M＜NC．M=ND．M=±N
52．（2022·四川成都·一模）已知0＜a＜b，x=a+b−b，y=b−b−a，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x=yC．x＜yD．与a、b的取值有关
53．（2022·四川成都·二模）比较大小：7−6___6−5
54．（2022·河南·模拟预测）比较大小： 5−3_______5−22 (填“＞”“＜”或“＝”)
55．（2022·陕西·西安市第四中学中考模拟）比较大小：7−12 ________1（“>”“20.2×3.2=1.6；12+18>212×18=12
猜想：如果a>0，b>0，那么存在a+b≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）．
猜想证明：∵a−b2≥0．∴①当且仅当a−b=0，即a=b时，a−2ab+b=0，∴a+b=2ab；
②当a−b≠0，即a≠b时，a−2ab+b>0，∴a+b>2ab．
综合上述可得：若a>0，b>0，则a+b≥2ab成立（当日仅当a=b时等号成立）．
猜想运用：
(1)对于函数y=x+1xx>0，当x=______时，函数y的最小值为______．
变式探究：
(2)对于函数y=1x−3+xx>3，当x=______时，函数y的最小值为______．
拓展应用：
(3)疫情期间，为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图．设每间离房的面积为S（m2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
32
2
3
1
6
3
2
专题04 二次根式（12个高频考点）（强化训练）
【考点1 二次根式的定义】
1．（2022·河北邢台·模拟预测）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A．5B．13C．x2+1D．2x
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的定义即可解答．
【详解】解：A、5是二次根式，故此选项不合题意；
B、13是二次根式，故此选项不合题意；
C、x2+1是二次根式，故此选项不合题意；
D、2x，不是二次根式，故此选项符合题意．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，一般形如a（a≥0）的代数式叫做二次根式，正确把握二次根式的定义是解答本题的关键．
2．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）在式子x2（x＞0），2，33，x2+1，−3x（x＞0）中，二次根式有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地，形如a的代数式叫做二次根式，其中a≥0．
【详解】解：式子x2（x＞0），2，33，x2+1，−3x（x＞0）中，
二次根式有：x2（x＞0），2，x2+1，共3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．二次根式：一般地，形如a的代数式叫做二次根式，其中a≥0．
3．（2022·广东广州·二模）已知n是正整数，5n−1是整数，则n的值可以是（ ）
A．5B．7C．9D．10
【答案】D
【分析】将选项代入逐一验证即可．
【详解】A. 当n=5时，5n−1=24=26，不是整数，故该选项错误；
B. 当n=7时，5n−1=34，不是整数，故该选项错误；
C. 当n=9时，5n−1=44=211，不是整数，故该选项错误；
D. 当n=10时，5n−1=49=7，是整数，故该选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
4．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）在式子34 ，x2+y2+1 ,a−1 ,−2x ( x0；当x0；
∴x2+y2+1，−2x(x−1B．x⩾−1C．x⩾−1且x≠0D．x⩽−1且x≠0
【答案】C
【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；
【详解】解：由题意得：x+1≥0且x≠0，
∴x≥-1且x≠0，
故选： C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键．
7．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，求出不等式的解集，然后进行判断即可．
【详解】解：由题意知，x−2≥0，
解得x≥2，
∴解集在数轴上表示如图，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集．解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件．
8．（2022·内蒙古包头·中考真题）若代数式x+1+1x在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】x≥−1且x≠0
【分析】根据二次根式与分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意得：x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥−1且x≠0，
故答案为：x≥−1且x≠0．
【点睛】本题考查二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．
9．（2022·湖南常德·中考真题）使式子xx−4有意义的x的取值范围是______．
【答案】x>4
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意，得：x−4≥0x−4≠0，
解得：x>4，
故答案为：x>4．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件是二次根式的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为0．
10．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）已知x，y是实数，且满足y=x−2＋2−x＋18，则x⋅y的值是______．
【答案】12
【分析】根据二次根式的定义可得x−2≥02−x≥0，解得：x=2，即可求出y的值，即可求出x⋅y的值.
【详解】解：∵由二次根式的定义得x−2≥02−x≥0，解得：x=2，
∴y=0+0+18，即：y=18，
∴x⋅y=2×18=2×18=14=12.
故答案为：12.
【点睛】本题主要考查二次根式的定义以及二次根式的乘除，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义以及二次根式的乘除的运算法则即可.
【考点3 二次根式的性质与化简】
11．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1−b−12+a−b2=______．
【答案】2
【分析】利用数轴可得出−10)，其中，且y+z=3yz．当1x2+1y2+1z2+1x−1y−1z取得最小值时，求x的取值范围．
【答案】(1)112+122+132=76
(2)S的整数部分2019
(3)代数式取得最小值时，x的取值范围是00，
∴原式=1+3xx+1−3xx=|3x+1|+|3x−1|x，
当01时，
|3x+1|+|3x−1|=3x+1+3x−1=6x>2；
∴当00，
∴1x>0，
∴y=x+1x≥2x⋅1x=2，
∴当x=1x时，ymin=2，
此时x2=1，
只取x=1，
即x=1时，函数y的最小值为2．
（2）
解：∵x>3，
∴x−3>0，1x−3>0，
∴y=1x−3+x−3+3≥21x−3⋅x−3+3=5，
∴当1x−3=x−3时，ymin=5，
此时x−32=1，
∴x1=4，x2=2（舍去），
即x=4时，函数y的最小值为5.
（3）
解：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，依题意得：
9x+12y=63，
即3x+4y=21，
∵3x>0，4y>0，
∴3x+4y≥23x⋅4y，
即21≥23x⋅4y，
整理得：xy≤14716，
即S≤14716，
∴当3x=4y时Smax=14716，
此时x=72，y=218，
即每间隔离房长为72米，宽为218米时，S的最大值为14716米2．
【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．32
2
3
1
6
3
2