2021-2022学年中考总复习 函数系列压轴题复习 线段周长问题（二）解析版

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线段周长问题（二）

一、解答题

1．如图，抛物线y=-x2+bx+c经过一次函数y=-x+3与x轴、y轴的交点A、B．

(1)求抛物线的解析式．

(2)当-1≤x≤2时，函数y=-x2+bx+c取最大值与最小值时，在抛物线上分别对应C、D两点，在直线AB上取一点P，当PC+PD最小时，求P点的坐标及PC+PD的最小值．

(3)在抛物线上找一点Q，当S△ABQ=S△ABO时，请直接写出点Q的坐标．

2．已知抛物线（为常数，）经过点，点是轴正半轴上的动点．

（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；

（Ⅲ）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值．

3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，直线AC的解析式为．

(1)如图1，求抛物线的解析式；

(2)如图2，点P是第四象限抛物线上的一点，过P作轴于H，交直线BC于K，设点P的横坐标为t，线段PK的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

(3)如图3，在（2）的条件下，连接BH，延长BH交抛物线于点Q，作于E，连接CE，若，求出此时点Q的坐标．

4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为抛物线对称轴上一点，求△PBC周长取得最小值时点P的坐标；

(3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

5．已知抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D是直线BC下方抛物线上的动点．

(1)求直线BC的解析式；

(2)如图1，过D作DE∥y轴交BC于E，点P是BC下方抛物线上的动点（P在D的右侧），过点P作PQ∥y轴交BC于Q，若四边形EDPQ为平行四边形．且周长最大．求点P的坐标；

(3)如图2，当D点横坐标为1时，过A且平行于BD的直线交抛物线于另一点E，若M在x轴上，是否存在这样点的M，使得以M、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．

6．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），B（﹣4，0），与y轴交于C（0，﹣3），连接BC．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作PE∥y轴交BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，在平移后的抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

7．综合与探究：

如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），且与y轴交于点C．

(1)求A，B，C三点的坐标；

(2)如图1，若M(m，y1)，N(n，y2)是第四象限内抛物线上的两个动点，且m＜n，m+n＝4．分别过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E．判断四边形MDEN的形状，并求其周长的最大值；

(3)如图2，在（2）的条件下，当四边形MDEN的周长有最大值时，若x轴上有一点H(2m，0)，抛物线的对称轴与x轴相交于点F，试探究在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝2∠OCH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图2，直线l：y＝kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当PQ∥y轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；

(3)如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝x﹣4；线段OC的垂直平分线交抛物线于点M、N，点M、N横坐标分别为x1、x2且满足x1+x2＝3．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点Q是直线MN上一动点，当点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出此时点Q的坐标及△QOB周长的最小值；

(3)如图2，P线段CB上的一点，过点P作直线PF⊥x轴于F，交抛物线于G，且PF＝PG；点H是直线BC上一个动点，点Q是坐标平面内一点，以点H，Q，P，F为顶点的四边形是菱形，求所有满足条件的Q点坐标（写出其中一个点的坐标的详细求解过程，其余的点的坐标直接写出即可）．

10．已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线上方抛物线上取一点P，过点P作轴交边于点Q，求的最大值；

(3)在直线上方抛物线上取一点D，连接．交于点F，当时，求点D的坐标．

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点P为直线BC上方抛物线上的一点，过P点作轴，交BC于点D，点E在直线BC上，且四边形PEDF为矩形，求矩形PEDF周长的最大值以及此时点P的坐标；

(3)在（2）问的条件下，将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为平面内一点，将绕点Q顺时针方向旋转90°后得到，若的两个顶点恰好落在新抛物线上时，直接写出此时点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来．

12．如图，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图像经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．

(1)填空：b＝        ，c＝        ；

(2)过点C作轴，交二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图像于点D，点M是二次函数y＝﹣x2＋bx＋c图像上位于线段CD上方的一点，过点M作轴，交线段BC于点N．设点M的横坐标为m，四边形MCND的面积为S．

①求S与m的函数表达式，并求S的最大值；

②点P为直线MN上一动点，当S取得最大值时，求△POC周长的最小值．

13．已知抛物线过定点A．

（1）求定点A的坐标；

（2）若抛物线过点，已知点，，在抛物线对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标．

（3）在（2）的条件下，请问抛物线上是否存在一点，使的值最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

14．综合与探究

如图，已知点B（3，0），C（0，-3），经过B．C两点的抛物线y=x2-bx+c与x轴的另一个交点为A．

（1）求抛物线的解析式;

（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标．

（3）若点E（2，-3），在坐标平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．

（1）求抛物线的表达式；

（2）连接．若点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作 轴交于点E，作于点F，过点B作交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接．

①求的周长为最大值时点P的坐标；

②在①的条件下，求的最小值及点H的坐标．