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2021年甘肃省酒泉市中考一模数学试卷（含答案）
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这是一份2021年甘肃省酒泉市中考一模数学试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年甘肃省酒泉市中考数学一模试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1．﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．北京时间2020年11月25日22时06分，嫦娥五号探测器两台150N发动机工作约6秒钟，在距离地球约27万公里顺利完成第二次轨道修正．27万公里就是270000000米．数据270000000用科学记数法表示为（ ）
A．27×107 B．2.7×108 C．0.27×109 D．2.7×109
4．如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算中，正确的是（ ）
A．+＝ B．3×3＝3 C．÷＝3 D．＝﹣3
6．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是（ ）
A．88.5 B．86.5 C．90 D．90.5
7．一个正多边形，它的每一个外角都是45°，则该正多边形是（ ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
8．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．140° B．40° C．70° D．50°
10．如图①，在矩形ABCD中，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．在运动过程中线段BP的长度为x，线段CQ的长为y，y与x之间的函数关系如图②所示．则AB的长为（ ）
A．2.25 B．3 C．4 D．6
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
11．分解因式：x3﹣2x2+x＝ ．
12．甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为S甲2＝2.5，S乙2＝1.2，则两人成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
13．若分式的值为0，则x的值为 ．
14．已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于A，B两点，若点A坐标为（﹣1，0），则点B的坐标为 ．
15．在Rt△ABC中，若两直角边a，b满足，则斜边c的长度是 ．
16．如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标是（0，），将该三角形沿x轴向右平移得Rt△O′A′B′，此时，点B′的坐标为（，），则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为 ．
17．我们定义：圆内接正n边形（n≥4）的最短对角线与最长对角线的比值称为这个正多边形的“特征值”，记为λn．则λ6是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C（1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…以此类推，则点N2021的坐标为 ．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（4分）计算：2sin60°+（π﹣2021）0+|2﹣|．
20．（4分）敦煌莫高窟是我国著名的四大石窟之一，也是世界上现存规模最宏大、保存最完好的佛教艺术宝库．小桐一家和朋友今年“五一”准备去敦煌莫高窟参观游览，需了解莫高窟的票价．据最新信息：1个大人1个小孩需386元，2个大人1个小孩需624元．问成人票价和儿童票价各是多少元？
21．（6分）如图，四边形ABCD是矩形．
（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．
22．（6分）由我国完全自主设计、自主建造的某大型拖船近日完成海上测试．如图，拖船由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与拖船相距80海里．继续航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向．求此时拖船与小岛的距离BC的长（结果保留根号）．
23．（6分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“摸球”游戏：A袋装有编号为1、2、3的三个小球，B袋装有编号为4、5、6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同．从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数，则小颖胜，否则小亮胜．
（1）请用树状图或列表法列出两袋中摸出小球编号之差的所有可能．
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分。解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤。
24．（7分）2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京人民大会堂隆重举行，标志着我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级，A级：非常满意；B级：满意；C级：基本满意；D级：不满意），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是 ；
（2）图1中，∠α的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整．
（3）该县建档立卡贫困户1000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的人数约为多少户？
25．（7分）小龙根据学习函数的经验，对函数y＝2|x|+1的图象和性质进行了探索，下面是小龙的研究过程，请补充完成：
（1）列表，找出y与x的几对对应值：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
7
m
3
1
3
5
…
其中：m的值是 ；
（2）请在给定的平面直角坐标系图中描出（1）中所找出的对应点，并画出函数的图象；
（3）写出该函数的一条性质： ．
26．（8分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，＝
（1）求证：OA＝OB；
（2）已知AB＝4，OA＝4，求阴影部分的面积．
27．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）已知∠AEB＝75°，若点P是EF的中点，连接CP，DP，求∠CPD的度数．
28．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
2021年甘肃省酒泉市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1．﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数判断即可．
【解答】解：﹣2021的倒数是．
故选：D．
2．下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的定义解决此题．
【解答】解：A：根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，A图形既不是轴对称图形，也是不是中心对称图形，故A不符合题意．
B：根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，B图形既不是轴对称图形，也是不是中心对称图形，故B不符合题意．
C：根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，C图形既不是轴对称图形，也是不是中心对称图形，故C不符合题意．
D：根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，D图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
3．北京时间2020年11月25日22时06分，嫦娥五号探测器两台150N发动机工作约6秒钟，在距离地球约27万公里顺利完成第二次轨道修正．27万公里就是270000000米．数据270000000用科学记数法表示为（ ）
A．27×107 B．2.7×108 C．0.27×109 D．2.7×109
【分析】把一个数表示成a×10n（1≤|a|≤10，n是正整数）的形式叫做科学记数法，根据此定义即可得出答案．
【解答】解：在270000000中，第一个数2后面有8个数，
∴270000000用科学记数法表示为2.7×108，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质判断即可．
【解答】解：A、∵EF∥BC，
∴，即，该选项正确，不符合题意．
B、∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，则，该选项错误，故符合题意．
C、∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，则，该选项正确，不符合题意．
D、∵EF∥BC，
∴，该选项正确，不符合题意．
故选：B．
5．下列计算中，正确的是（ ）
A．+＝ B．3×3＝3 C．÷＝3 D．＝﹣3
【分析】利用二次根式的加法法则，乘法法则，除法法则，以及二次根式的化简的方法对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能相加，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意．
故选：C．
6．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是（ ）
A．88.5 B．86.5 C．90 D．90.5
【分析】直接利用每部分分数所占百分比进而计算得出答案．
【解答】解：由题意可得，小桐这学期的体育成绩是：
95×20%+90×30%+85×50%＝19+27+42.5＝88.5（分）．
故选：A．
7．一个正多边形，它的每一个外角都是45°，则该正多边形是（ ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
【分析】多边形的外角和是360度，因为是正多边形，所以每一个外角都是45°，即可得到外角的个数，从而确定多边形的边数．
【解答】解：360÷45＝8，所以这个正多边形是正八边形．
故选：C．
8．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
故选：B．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．140° B．40° C．70° D．50°
【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB＝20°，∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接AC，
∵点C为劣弧BD的中点，∠DAB＝40°，
∴∠CAB＝∠DAB＝20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
故选：C．
10．如图①，在矩形ABCD中，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．在运动过程中线段BP的长度为x，线段CQ的长为y，y与x之间的函数关系如图②所示．则AB的长为（ ）
A．2.25 B．3 C．4 D．6
【分析】从图象中x的取值范围可以得出BC＝6，当BP＝3时，CQ＝2.25，证明△ABP∽△PCQ，利用相似三角形的对应边成比例，即可求出AB的长度．
【解答】解：由图象可得BC＝6，当x＝3时，y＝2.25，
∵∠APQ＝90°，
∴∠APB+∠CPQ＝90°，
又∵∠APB+∠PAB＝90°，
∴∠PAB＝∠CPQ，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴，代入x＝3，y＝2.25，得AB＝4，
故选：C．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
11．分解因式：x3﹣2x2+x＝ x（x﹣1）2 ．
【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
12．甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为S甲2＝2.5，S乙2＝1.2，则两人成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝2.5，S乙2＝1.2，
∴S乙2＜S甲2，
∴两人成绩比较稳定的是乙，
故答案为：乙．
13．若分式的值为0，则x的值为 3 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得x﹣3＝0且x+3≠0，
解得x＝3．
故答案为：3．
14．已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于A，B两点，若点A坐标为（﹣1，0），则点B的坐标为 （3，0） ．
【分析】根据二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于A，B两点，点A坐标为（﹣1，0），可以求得m的值，从而可以得到该函数的解析式，进而求得点B的坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于A，B两点，点A坐标为（﹣1，0），
∴0＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m，
解得，m＝﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），
解得，x1＝3，x2＝﹣1，
∴点B的坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）．
15．在Rt△ABC中，若两直角边a，b满足，则斜边c的长度是 13 ．
【分析】首先利用非负数的性质求得a＝5，b＝12，然后根据勾股定理求得斜边c的长度即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，若两直角边a，b满足，
∴10﹣2a＝0，b﹣12＝0，
解得a＝5，b＝12，
∴c＝＝＝13．
故答案是：13．
16．如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标是（0，），将该三角形沿x轴向右平移得Rt△O′A′B′，此时，点B′的坐标为（，），则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为 1 ．
【分析】利用平移的性质得出AA′的长，根据等腰直角三角形的性质得到AA′对应的高，再结合平行四边形面积公式求出即可．
【解答】解：∵点B的坐标为（0，），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（，），
∴AA′＝BB′＝，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴A（，），
∴AA′对应的高，
∴线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为×＝1．
故答案为：1．
17．我们定义：圆内接正n边形（n≥4）的最短对角线与最长对角线的比值称为这个正多边形的“特征值”，记为λn．则λ6是 ．
【分析】如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，只要证明△BEC是直角三角形即可解决问题．
【解答】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．
易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠BOC＝60°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠BOC＝∠OEC+∠OCE，
∴∠OEC＝∠OCE＝30°，
∴∠BCE＝90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴cos∠BEC＝，
∴cos30°＝，
∴λ6＝，
故答案为．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C（1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…以此类推，则点N2021的坐标为 （3，﹣4） ．
【分析】先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解．
【解答】解：由题意得，作出如下图形：
N点坐标为（﹣1，0），
N点关于A点对称的N1点的坐标为（﹣3，0），
N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），
N2点关于C点对称的N3点的坐标为（﹣3，﹣8），
N3点关于A点对称的N4点的坐标为（﹣1，8），
N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，﹣4），
N5点关于C点对称的N6点的坐标为（﹣1，0），此时刚好回到最开始的点N处，
∴其每6个点循环一次，
∴2021÷6＝336……5，
即循环了336次后余下5，
故N2020的坐标与N5点的坐标相同，其坐标为（3，﹣4）．
故答案为：（3，﹣4）．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（4分）计算：2sin60°+（π﹣2021）0+|2﹣|．
【分析】利用特殊角的三角形函数值，零指数幂，绝对值，对所求式子进行运算即可．
【解答】解：2sin60°+（π﹣2021）0+|2﹣|
＝2×+1+2﹣
＝+3﹣
＝3．
20．（4分）敦煌莫高窟是我国著名的四大石窟之一，也是世界上现存规模最宏大、保存最完好的佛教艺术宝库．小桐一家和朋友今年“五一”准备去敦煌莫高窟参观游览，需了解莫高窟的票价．据最新信息：1个大人1个小孩需386元，2个大人1个小孩需624元．问成人票价和儿童票价各是多少元？
【分析】设成人票每张x元，儿童票每张y元，根据“1个大人1个小孩需386元，2个大人1个小孩需624元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出成人票和儿童票的售价．
【解答】解：设成人票每张x元，儿童票每张y元，
依题意得：，
解得：．
答：成人票每张238元，儿童票每张148元．
21．（6分）如图，四边形ABCD是矩形．
（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作图解答即可；
（2）利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵四边形ABCD是矩形，EF是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，∠CAB＝∠ACE＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ECB＝30°，
∵BC＝4，
∴BE＝．
22．（6分）由我国完全自主设计、自主建造的某大型拖船近日完成海上测试．如图，拖船由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与拖船相距80海里．继续航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向．求此时拖船与小岛的距离BC的长（结果保留根号）．
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据题意得∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AB＝80海里，解直角三角形即可得到答案．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
由题意得：∠BAD＝90°﹣30°＝60°，∠BCD＝90°﹣45°＝45°，AB＝80海里，
在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，
∵sin∠BAD＝＝，
∴BD＝AB＝40（海里），
在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝40（海里），
∴BC＝BD＝40（海里），
答：此时拖船与小岛的距离BC的长为40海里．
23．（6分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“摸球”游戏：A袋装有编号为1、2、3的三个小球，B袋装有编号为4、5、6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同．从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数，则小颖胜，否则小亮胜．
（1）请用树状图或列表法列出两袋中摸出小球编号之差的所有可能．
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，列出两袋中摸出小球编号之差的所有可能即可；
（2）由树状图求得所有等可能的结果与数字的差为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图如下：
∴共有9中可能，两袋中摸出小球编号之差的所有可能分别为﹣3，﹣4，﹣5，﹣2，﹣3，﹣4，﹣1，﹣2，﹣3；
（2）∵共有9种等可能的结果，数字的差为偶数的有4种情况，
∴P（小华胜）＝，P（小军胜）＝，
∵≠，
∴这个游戏对双方不公平．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分。解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤。
24．（7分）2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京人民大会堂隆重举行，标志着我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级，A级：非常满意；B级：满意；C级：基本满意；D级：不满意），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是 60 ；
（2）图1中，∠α的度数是 54° ，并把图2条形统计图补充完整．
（3）该县建档立卡贫困户1000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的人数约为多少户？
【分析】（1）根据B级的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出∠α的度数，然后计算出C级的人数，即可将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出非常满意的人数约为多少户．
【解答】解：（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是21÷35%＝60，
故答案为：60；
（2）图1中，∠α的度数是360°×＝54°，
C级人数为：60﹣9﹣21﹣9＝21，
补全的条形统计图如右图所示，
故答案为：54°；
（3）1000×＝150（户），
即估计非常满意的人数约为150户．
25．（7分）小龙根据学习函数的经验，对函数y＝2|x|+1的图象和性质进行了探索，下面是小龙的研究过程，请补充完成：
（1）列表，找出y与x的几对对应值：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
7
m
3
1
3
5
…
其中：m的值是 5 ；
（2）请在给定的平面直角坐标系图中描出（1）中所找出的对应点，并画出函数的图象；
（3）写出该函数的一条性质： 图象关于y轴对称 ．
【分析】（1）把x＝﹣2代入y＝2|x|+1即可；
（2）根据描点法即可画出函数图象；
（3）根据函数图象即可写出其性质．
【解答】解：（1）当x＝﹣2时，由y＝m＝2×2+1＝5，
故答案为：5；
（2）画出函数的图象如下：
（3）答案不唯一：例如：图象关于y轴对称；
故答案为：图象关于y轴对称．
26．（8分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，＝
（1）求证：OA＝OB；
（2）已知AB＝4，OA＝4，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可知∠ACO＝90°，由于＝，所以∠AOC＝∠BOC，从而可证明∠A＝∠B，从而可知OA＝OB；
（2）由（1）可知：△AOB是等腰三角形，所以AC＝2，从可求出扇形OCE的面积以及△OCB的面积
【解答】解：（1）连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C
∴∠ACO＝90°，
由于＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠A＝∠B
∴OA＝OB，
（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，
∴BC＝AB＝2，
∴sin∠COB＝＝，
∴∠COB＝60°，
∴∠B＝30°，
∴OC＝OB＝2，
∴扇形OCE的面积为：＝，
△OCB的面积为：×2×2＝2
∴S阴影＝2﹣π
27．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）已知∠AEB＝75°，若点P是EF的中点，连接CP，DP，求∠CPD的度数．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，利用SAS定理证明结论；
（2）连接AP，证明∴△APD≌△CPD，再由斜边中线导角即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
∴AE＝AF，
（2）连接AP，
∵△ABE≌△ADF，
∴BAE＝∠DAF，FAE＝90°，
在Rt△EAF和Rt△ECF中，P是EF中点，
∴PA＝PC＝PE＝PF＝EF，
又∵AE＝AF，∠AEB＝75°，
∴∠AEP＝45°，∠CEP＝∠ECP＝60°，
∴∠DCP＝30°，
在△APD和△CPD中，
∴△APD≌△CPD（SSS），
∴∠COP＝45°，
∴∠CPD＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
28．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
【分析】（1）直接根据待定系数法进行求解即可；
（2）由二次函数的性质得OC＝3，然后根据勾股定理和等腰三角形的性质得CP1＝DP2＝CP3＝CD，作CH⊥对称轴于H，即可得到答案；
（3）首先得点B（3，0），待定系数法得直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+3），F（ a，﹣a2+2a+3），利用面积公式可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式；y＝﹣x2+2x+3．
（2）存在，如图：
∵C（0，3），
∴OC＝3，
在直角三角形OCB中，由勾股定理，得CD＝，
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CD＝PD＝，
∴P1（1，），P2（1，﹣），
PC＝PD时，设P（1，b），
1+（b﹣3）2＝b2，
∴b＝6，
∴P3（1，6），
∴P1（1，），P2（1，﹣），P3（1，6），
（3）当y＝0时，0＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，由图象得，
，
∴，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
设E（a，﹣a+3），F（ a，﹣a2+2a+3），
∴EF＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a（0≤a≤3），
S△CDB＝BD•OC＝＝3，
S△CBF＝S△CDB+S△BEF＝﹣a2+a，
∵S四边形COBF＝S△BCD+S△BCF＝﹣a2+a+3＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，S四边形COBF最大值为，
y＝﹣+3＝，
∴E（，）．
2021年甘肃省酒泉市中考数学一模试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1．﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．北京时间2020年11月25日22时06分，嫦娥五号探测器两台150N发动机工作约6秒钟，在距离地球约27万公里顺利完成第二次轨道修正．27万公里就是270000000米．数据270000000用科学记数法表示为（ ）
A．27×107 B．2.7×108 C．0.27×109 D．2.7×109
4．如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算中，正确的是（ ）
A．+＝ B．3×3＝3 C．÷＝3 D．＝﹣3
6．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是（ ）
A．88.5 B．86.5 C．90 D．90.5
7．一个正多边形，它的每一个外角都是45°，则该正多边形是（ ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
8．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．140° B．40° C．70° D．50°
10．如图①，在矩形ABCD中，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．在运动过程中线段BP的长度为x，线段CQ的长为y，y与x之间的函数关系如图②所示．则AB的长为（ ）
A．2.25 B．3 C．4 D．6
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
11．分解因式：x3﹣2x2+x＝ ．
12．甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为S甲2＝2.5，S乙2＝1.2，则两人成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
13．若分式的值为0，则x的值为 ．
14．已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于A，B两点，若点A坐标为（﹣1，0），则点B的坐标为 ．
15．在Rt△ABC中，若两直角边a，b满足，则斜边c的长度是 ．
16．如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标是（0，），将该三角形沿x轴向右平移得Rt△O′A′B′，此时，点B′的坐标为（，），则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为 ．
17．我们定义：圆内接正n边形（n≥4）的最短对角线与最长对角线的比值称为这个正多边形的“特征值”，记为λn．则λ6是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C（1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…以此类推，则点N2021的坐标为 ．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（4分）计算：2sin60°+（π﹣2021）0+|2﹣|．
20．（4分）敦煌莫高窟是我国著名的四大石窟之一，也是世界上现存规模最宏大、保存最完好的佛教艺术宝库．小桐一家和朋友今年“五一”准备去敦煌莫高窟参观游览，需了解莫高窟的票价．据最新信息：1个大人1个小孩需386元，2个大人1个小孩需624元．问成人票价和儿童票价各是多少元？
21．（6分）如图，四边形ABCD是矩形．
（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．
22．（6分）由我国完全自主设计、自主建造的某大型拖船近日完成海上测试．如图，拖船由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与拖船相距80海里．继续航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向．求此时拖船与小岛的距离BC的长（结果保留根号）．
23．（6分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“摸球”游戏：A袋装有编号为1、2、3的三个小球，B袋装有编号为4、5、6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同．从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数，则小颖胜，否则小亮胜．
（1）请用树状图或列表法列出两袋中摸出小球编号之差的所有可能．
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分。解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤。
24．（7分）2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京人民大会堂隆重举行，标志着我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级，A级：非常满意；B级：满意；C级：基本满意；D级：不满意），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是 ；
（2）图1中，∠α的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整．
（3）该县建档立卡贫困户1000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的人数约为多少户？
25．（7分）小龙根据学习函数的经验，对函数y＝2|x|+1的图象和性质进行了探索，下面是小龙的研究过程，请补充完成：
（1）列表，找出y与x的几对对应值：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
7
m
3
1
3
5
…
其中：m的值是 ；
（2）请在给定的平面直角坐标系图中描出（1）中所找出的对应点，并画出函数的图象；
（3）写出该函数的一条性质： ．
26．（8分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，＝
（1）求证：OA＝OB；
（2）已知AB＝4，OA＝4，求阴影部分的面积．
27．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）已知∠AEB＝75°，若点P是EF的中点，连接CP，DP，求∠CPD的度数．
28．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
2021年甘肃省酒泉市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1．﹣2021的倒数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数判断即可．
【解答】解：﹣2021的倒数是．
故选：D．
2．下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的定义解决此题．
【解答】解：A：根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，A图形既不是轴对称图形，也是不是中心对称图形，故A不符合题意．
B：根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，B图形既不是轴对称图形，也是不是中心对称图形，故B不符合题意．
C：根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，C图形既不是轴对称图形，也是不是中心对称图形，故C不符合题意．
D：根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，D图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
3．北京时间2020年11月25日22时06分，嫦娥五号探测器两台150N发动机工作约6秒钟，在距离地球约27万公里顺利完成第二次轨道修正．27万公里就是270000000米．数据270000000用科学记数法表示为（ ）
A．27×107 B．2.7×108 C．0.27×109 D．2.7×109
【分析】把一个数表示成a×10n（1≤|a|≤10，n是正整数）的形式叫做科学记数法，根据此定义即可得出答案．
【解答】解：在270000000中，第一个数2后面有8个数，
∴270000000用科学记数法表示为2.7×108，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质判断即可．
【解答】解：A、∵EF∥BC，
∴，即，该选项正确，不符合题意．
B、∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，则，该选项错误，故符合题意．
C、∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，则，该选项正确，不符合题意．
D、∵EF∥BC，
∴，该选项正确，不符合题意．
故选：B．
5．下列计算中，正确的是（ ）
A．+＝ B．3×3＝3 C．÷＝3 D．＝﹣3
【分析】利用二次根式的加法法则，乘法法则，除法法则，以及二次根式的化简的方法对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能相加，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意．
故选：C．
6．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是（ ）
A．88.5 B．86.5 C．90 D．90.5
【分析】直接利用每部分分数所占百分比进而计算得出答案．
【解答】解：由题意可得，小桐这学期的体育成绩是：
95×20%+90×30%+85×50%＝19+27+42.5＝88.5（分）．
故选：A．
7．一个正多边形，它的每一个外角都是45°，则该正多边形是（ ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
【分析】多边形的外角和是360度，因为是正多边形，所以每一个外角都是45°，即可得到外角的个数，从而确定多边形的边数．
【解答】解：360÷45＝8，所以这个正多边形是正八边形．
故选：C．
8．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
故选：B．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC的度数是（ ）
A．140° B．40° C．70° D．50°
【分析】连接AC，根据圆周角定理得到∠CAB＝20°，∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接AC，
∵点C为劣弧BD的中点，∠DAB＝40°，
∴∠CAB＝∠DAB＝20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，
故选：C．
10．如图①，在矩形ABCD中，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．在运动过程中线段BP的长度为x，线段CQ的长为y，y与x之间的函数关系如图②所示．则AB的长为（ ）
A．2.25 B．3 C．4 D．6
【分析】从图象中x的取值范围可以得出BC＝6，当BP＝3时，CQ＝2.25，证明△ABP∽△PCQ，利用相似三角形的对应边成比例，即可求出AB的长度．
【解答】解：由图象可得BC＝6，当x＝3时，y＝2.25，
∵∠APQ＝90°，
∴∠APB+∠CPQ＝90°，
又∵∠APB+∠PAB＝90°，
∴∠PAB＝∠CPQ，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴，代入x＝3，y＝2.25，得AB＝4，
故选：C．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
11．分解因式：x3﹣2x2+x＝ x（x﹣1）2 ．
【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
12．甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为S甲2＝2.5，S乙2＝1.2，则两人成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝2.5，S乙2＝1.2，
∴S乙2＜S甲2，
∴两人成绩比较稳定的是乙，
故答案为：乙．
13．若分式的值为0，则x的值为 3 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得x﹣3＝0且x+3≠0，
解得x＝3．
故答案为：3．
14．已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于A，B两点，若点A坐标为（﹣1，0），则点B的坐标为 （3，0） ．
【分析】根据二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于A，B两点，点A坐标为（﹣1，0），可以求得m的值，从而可以得到该函数的解析式，进而求得点B的坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于A，B两点，点A坐标为（﹣1，0），
∴0＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m，
解得，m＝﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），
解得，x1＝3，x2＝﹣1，
∴点B的坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）．
15．在Rt△ABC中，若两直角边a，b满足，则斜边c的长度是 13 ．
【分析】首先利用非负数的性质求得a＝5，b＝12，然后根据勾股定理求得斜边c的长度即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，若两直角边a，b满足，
∴10﹣2a＝0，b﹣12＝0，
解得a＝5，b＝12，
∴c＝＝＝13．
故答案是：13．
16．如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标是（0，），将该三角形沿x轴向右平移得Rt△O′A′B′，此时，点B′的坐标为（，），则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为 1 ．
【分析】利用平移的性质得出AA′的长，根据等腰直角三角形的性质得到AA′对应的高，再结合平行四边形面积公式求出即可．
【解答】解：∵点B的坐标为（0，），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（，），
∴AA′＝BB′＝，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴A（，），
∴AA′对应的高，
∴线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为×＝1．
故答案为：1．
17．我们定义：圆内接正n边形（n≥4）的最短对角线与最长对角线的比值称为这个正多边形的“特征值”，记为λn．则λ6是 ．
【分析】如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，只要证明△BEC是直角三角形即可解决问题．
【解答】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．
易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠BOC＝60°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠BOC＝∠OEC+∠OCE，
∴∠OEC＝∠OCE＝30°，
∴∠BCE＝90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴cos∠BEC＝，
∴cos30°＝，
∴λ6＝，
故答案为．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C（1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…以此类推，则点N2021的坐标为 （3，﹣4） ．
【分析】先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解．
【解答】解：由题意得，作出如下图形：
N点坐标为（﹣1，0），
N点关于A点对称的N1点的坐标为（﹣3，0），
N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），
N2点关于C点对称的N3点的坐标为（﹣3，﹣8），
N3点关于A点对称的N4点的坐标为（﹣1，8），
N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，﹣4），
N5点关于C点对称的N6点的坐标为（﹣1，0），此时刚好回到最开始的点N处，
∴其每6个点循环一次，
∴2021÷6＝336……5，
即循环了336次后余下5，
故N2020的坐标与N5点的坐标相同，其坐标为（3，﹣4）．
故答案为：（3，﹣4）．
三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（4分）计算：2sin60°+（π﹣2021）0+|2﹣|．
【分析】利用特殊角的三角形函数值，零指数幂，绝对值，对所求式子进行运算即可．
【解答】解：2sin60°+（π﹣2021）0+|2﹣|
＝2×+1+2﹣
＝+3﹣
＝3．
20．（4分）敦煌莫高窟是我国著名的四大石窟之一，也是世界上现存规模最宏大、保存最完好的佛教艺术宝库．小桐一家和朋友今年“五一”准备去敦煌莫高窟参观游览，需了解莫高窟的票价．据最新信息：1个大人1个小孩需386元，2个大人1个小孩需624元．问成人票价和儿童票价各是多少元？
【分析】设成人票每张x元，儿童票每张y元，根据“1个大人1个小孩需386元，2个大人1个小孩需624元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出成人票和儿童票的售价．
【解答】解：设成人票每张x元，儿童票每张y元，
依题意得：，
解得：．
答：成人票每张238元，儿童票每张148元．
21．（6分）如图，四边形ABCD是矩形．
（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作图解答即可；
（2）利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵四边形ABCD是矩形，EF是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，∠CAB＝∠ACE＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ECB＝30°，
∵BC＝4，
∴BE＝．
22．（6分）由我国完全自主设计、自主建造的某大型拖船近日完成海上测试．如图，拖船由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与拖船相距80海里．继续航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向．求此时拖船与小岛的距离BC的长（结果保留根号）．
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据题意得∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AB＝80海里，解直角三角形即可得到答案．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
由题意得：∠BAD＝90°﹣30°＝60°，∠BCD＝90°﹣45°＝45°，AB＝80海里，
在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，
∵sin∠BAD＝＝，
∴BD＝AB＝40（海里），
在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝40（海里），
∴BC＝BD＝40（海里），
答：此时拖船与小岛的距离BC的长为40海里．
23．（6分）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“摸球”游戏：A袋装有编号为1、2、3的三个小球，B袋装有编号为4、5、6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同．从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数，则小颖胜，否则小亮胜．
（1）请用树状图或列表法列出两袋中摸出小球编号之差的所有可能．
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，列出两袋中摸出小球编号之差的所有可能即可；
（2）由树状图求得所有等可能的结果与数字的差为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图如下：
∴共有9中可能，两袋中摸出小球编号之差的所有可能分别为﹣3，﹣4，﹣5，﹣2，﹣3，﹣4，﹣1，﹣2，﹣3；
（2）∵共有9种等可能的结果，数字的差为偶数的有4种情况，
∴P（小华胜）＝，P（小军胜）＝，
∵≠，
∴这个游戏对双方不公平．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分。解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤。
24．（7分）2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京人民大会堂隆重举行，标志着我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级，A级：非常满意；B级：满意；C级：基本满意；D级：不满意），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是 60 ；
（2）图1中，∠α的度数是 54° ，并把图2条形统计图补充完整．
（3）该县建档立卡贫困户1000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的人数约为多少户？
【分析】（1）根据B级的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出∠α的度数，然后计算出C级的人数，即可将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出非常满意的人数约为多少户．
【解答】解：（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是21÷35%＝60，
故答案为：60；
（2）图1中，∠α的度数是360°×＝54°，
C级人数为：60﹣9﹣21﹣9＝21，
补全的条形统计图如右图所示，
故答案为：54°；
（3）1000×＝150（户），
即估计非常满意的人数约为150户．
25．（7分）小龙根据学习函数的经验，对函数y＝2|x|+1的图象和性质进行了探索，下面是小龙的研究过程，请补充完成：
（1）列表，找出y与x的几对对应值：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
7
m
3
1
3
5
…
其中：m的值是 5 ；
（2）请在给定的平面直角坐标系图中描出（1）中所找出的对应点，并画出函数的图象；
（3）写出该函数的一条性质： 图象关于y轴对称 ．
【分析】（1）把x＝﹣2代入y＝2|x|+1即可；
（2）根据描点法即可画出函数图象；
（3）根据函数图象即可写出其性质．
【解答】解：（1）当x＝﹣2时，由y＝m＝2×2+1＝5，
故答案为：5；
（2）画出函数的图象如下：
（3）答案不唯一：例如：图象关于y轴对称；
故答案为：图象关于y轴对称．
26．（8分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，＝
（1）求证：OA＝OB；
（2）已知AB＝4，OA＝4，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可知∠ACO＝90°，由于＝，所以∠AOC＝∠BOC，从而可证明∠A＝∠B，从而可知OA＝OB；
（2）由（1）可知：△AOB是等腰三角形，所以AC＝2，从可求出扇形OCE的面积以及△OCB的面积
【解答】解：（1）连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C
∴∠ACO＝90°，
由于＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠A＝∠B
∴OA＝OB，
（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，
∴BC＝AB＝2，
∴sin∠COB＝＝，
∴∠COB＝60°，
∴∠B＝30°，
∴OC＝OB＝2，
∴扇形OCE的面积为：＝，
△OCB的面积为：×2×2＝2
∴S阴影＝2﹣π
27．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）已知∠AEB＝75°，若点P是EF的中点，连接CP，DP，求∠CPD的度数．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，利用SAS定理证明结论；
（2）连接AP，证明∴△APD≌△CPD，再由斜边中线导角即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
∴AE＝AF，
（2）连接AP，
∵△ABE≌△ADF，
∴BAE＝∠DAF，FAE＝90°，
在Rt△EAF和Rt△ECF中，P是EF中点，
∴PA＝PC＝PE＝PF＝EF，
又∵AE＝AF，∠AEB＝75°，
∴∠AEP＝45°，∠CEP＝∠ECP＝60°，
∴∠DCP＝30°，
在△APD和△CPD中，
∴△APD≌△CPD（SSS），
∴∠COP＝45°，
∴∠CPD＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
28．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
【分析】（1）直接根据待定系数法进行求解即可；
（2）由二次函数的性质得OC＝3，然后根据勾股定理和等腰三角形的性质得CP1＝DP2＝CP3＝CD，作CH⊥对称轴于H，即可得到答案；
（3）首先得点B（3，0），待定系数法得直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+3），F（ a，﹣a2+2a+3），利用面积公式可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式；y＝﹣x2+2x+3．
（2）存在，如图：
∵C（0，3），
∴OC＝3，
在直角三角形OCB中，由勾股定理，得CD＝，
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CD＝PD＝，
∴P1（1，），P2（1，﹣），
PC＝PD时，设P（1，b），
1+（b﹣3）2＝b2，
∴b＝6，
∴P3（1，6），
∴P1（1，），P2（1，﹣），P3（1，6），
（3）当y＝0时，0＝﹣x2+2x+3，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，由图象得，
，
∴，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
设E（a，﹣a+3），F（ a，﹣a2+2a+3），
∴EF＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a（0≤a≤3），
S△CDB＝BD•OC＝＝3，
S△CBF＝S△CDB+S△BEF＝﹣a2+a，
∵S四边形COBF＝S△BCD+S△BCF＝﹣a2+a+3＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，S四边形COBF最大值为，
y＝﹣+3＝，
∴E（，）．
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