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2023年甘肃省酒泉市中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年甘肃省酒泉市中考数学三模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，得出结论等内容，欢迎下载使用。
2023年甘肃省酒泉市中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 7的相反数是( )
A. 17 B. −17 C. 7 D. −7
2. 下列各式中结果为负数的是( )
A. −(−3) B. −32 C. (−3)2 D. |−3|
3. 如图，直线a//b，∠1=130°，则∠2等于( )
A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
4. 围棋起源于中国．古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行了围棋人机大战．截取对战机棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是( )
A. B. C. D.
5. 下列式子计算正确的是( )
A. 3a−4a=−a B. (ab−1)=a2b2−1
C. (3a)2=6a2 D. a6÷a2=a3
6. 5G网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶.据预测，2020年到2030年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示.根据如图提供的信息，下列推断不合理的是( )
A. 2030年5G间接经济产出比5G直接经济产出多4.2万亿元
B. 2020年到2030年5G直接经济产出和5G间接经济产出都是逐年增长
C. 2022年到2023年与2023年到2024年5G间接经济产出的增长率相同
D. 2030年5G直接经济产出约为2020年5G直接经济产出的13倍
7. 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是( )
A. 5m B. 12m C. 13m D. 18m
8. 如图，直线y=−43x+4与x轴.y轴分别交于A、B两点，△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B的对应点B′的坐标为( )
A. (3,4) B. (3,7) C. (7,3) D. (7,4)
9. 如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是( )
A. 1712π m2
B. 176π m2
C. 254π m2
D. 7712π m2
10. 如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，动点P从点B出发，在线段BC上匀速运动，到达点C时停止，设点P运动的路程为x，线段OP的长为y，如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积是( )
A. 60 B. 48 C. 24 D. 12
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：2a2−2= ______ ．
12. 若关于x的一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为______ ．
13. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF=EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是______ (写出一个即可)．
14. 如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形、以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是______ ．
15. 声音在空气中的传播速度v(m/s)与温度t(℃)的关系如表：
温度(℃)
0
5
10
15
20
速度v(m/s)
331
336
341
346
351
则速度v与温度t之间的关系式为______ ；当t=30℃时，声音的传播速度为______ m/s．
16. 如图，点A、B、C在⊙O上，BC=6，∠BAC=30°，则⊙O的半径为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
计算： 20−(1+ 5)2．
18. (本小题4.0分)
解不等式组：2x−3≤1x+13>−1并将解集在数轴上表示出来．
19. (本小题4.0分)
已知：x2+3x=1，求代数式1x−1⋅x2−2x+1x+2−x−2x+1的值
20. (本小题6.0分)
作图题(要求：尺规作图，写出作法并保留作图痕迹)
已知：线段a、b．
求作：等腰△ABC，使AB=AC，BC=a，BC边上的高AD=b．
21. (本小题6.0分)
小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．
(1)请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
(2)这个游戏公平吗？请说明理由．
22. (本小题8.0分)
风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成(如图1)，图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D(D、C、H在同一直线上)的仰角是45°.已知叶片的长度为35米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计)，山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．(参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6)
23. (本小题7.0分)
4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
一、数据收集，从全校随机抽取20学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下(单位：min)：
30
60
81
50
44
110
130
146
80
100
60
80
120
140
75
81
10
30
81
92
二、整理数据，按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间x(min)
0≤x<40
40≤x<80
80≤x<120
120≤x<160
等级
D
C
B
A
人数
3
a
8
b
三、分析数据，补全下列表格中的统计量：
平均数
中位数
众数
80
c
81
四、得出结论：
①表格中的数据：a=______，b=______，c=______；
②用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为______；
③如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有______人；
④假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读______本课外书．
24. (本小题7.0分)
如图，已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A(1,4)，点B(−4,n)．
(1)求n和b的值；
(2)求△OAB的面积；
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
25. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，CB，CD分别与⊙O相切于点B，D，连接OC，点E在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F．
(1)求证：FA//CO；
(2)若FA=FE，CD=4，BE=2，求FA的长．
26. (本小题8.0分)
(1)问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为______ ；
②线段AD，BE之间的数量关系为______ ．
(2)拓展探究
如图2，∠ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上.CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系.并说明理由．
27. (本小题10.0分)
已知抛物线y=ax2+c(a≠0)过点P(3,0)，Q(1,4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作AB⊥x轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角ABC．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：7的相反数是−7．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】B
【解析】解；∵−(−3)=3，−32=−9，(−3)2=9，|−3|=3，
∴−32是负数．
故选：B．
先计算各数，根据计算结果得结论．
本题主要考查了实数，掌握相反数、绝对值、乘方运算是解决本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵a//b，∠1=130°，
∴∠3=∠1=130°，
∴∠2=180°−130°=50°，
故选：C．
根据两直线平行，同位角相等得出∠3，进而利用邻补角解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
4.【答案】B
【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
5.【答案】A
【解析】解：A、3a−4a=−a，故A符合题意；
B、(ab−1)=ab−1，故B不符合题意；
C、(3a)2=9a2，故C不符合题意；
D、a6÷a2=a4，故D不符合题意；
故选：A．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】C
【解析】解：根据折线统计图，可知：
A.2030年5G间接经济产出比5G直接经济产出多10.6−6.4=4.2(万亿元)，故此项说法正确，不合题意；
B.2020年到2030年，5G直接经济产出和5G间接经济产出都是逐年增长，故此项说法正确，不合题意；
C.2022年到2023年间接经济产出的增长率：(5−4)÷4=25%，2023年到2024年5G间接经济产出的增长率(6−5)÷5=20%，故此项推断不合理，故此项符合题意；
D.2030年5G直接经济产出约为2020年5G直接经济产出6.4万亿元÷0.5万亿元≈13倍，故此项说法正确，不合题意．
故选：C．
观察折线统计图并得到有用信息，并通过计算间接经济产出和直接经济产出得结论．
本题考查了折线统计图，熟练读懂折线统计图，利用数形结合的方法解答是解题思的关键．
7.【答案】D
【解析】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，AB= AB2+BC2= 122+52=13(m)，
所以旗杆折断之前高度为BC+AB=13+5=18(m)．
故选：D．
旗杆的长=BC+AB，利用勾股定理求出AB即可解决问题．
本题考查的是勾股定理的正确应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题；
8.【答案】C
【解析】解：∵对于直线y=−43x+4：当x=0时，y=4，故B点坐标为(0,4)；
当y=0，x=3，故A点坐标为(3,0)．
∴AO=AO′=3，BO=B′O′=4．
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后，B′O′平行于x轴，
∴B′横坐标为x=3+4=7，纵坐标为y=AO′=3．
故选：C．
△AOB旋转前后两个图形全等，由旋转前各顶点坐标及边长可确定旋转后各顶点坐标．
本题较为简单，主要考查了一次函数的性质及图形旋转后坐标的变化．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了扇形的面积的计算，本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可．
小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．
【解答】
解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积=90π×25360=5π4m2；
小扇形的圆心角是180°−120°=60°，半径是1m，
则面积=60π360=π6(m2)，
则小羊A在草地上的最大活动区域面积=25π4+π6=7712π(m2).
故选D．
10.【答案】B
【解析】解：∵当OP⊥BC时，OP最小，且此时BP=4，OP=3，
∴AB=2OP=6，AD=2BP=8，
∴矩形ABCD的面积是=8×6=48．
故选：B．
根据矩形的性质结合图②的最低点的坐标，即可得出AB、AD的长度，再利用矩形的周长公式即可求出结论．
本题考查了动点问题的函数图象以及矩形的周长，观察图②最低点的坐标，找出矩形的长和宽的长度是解题的关键．
11.【答案】2(a+1)(a−1)
【解析】解：2a2−2
=2(a2−1)
=2(a+1)(a−1)，
故答案为：2(a+1)(a−1)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12.【答案】94
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=32−4c=0，
解得c=94，
故答案为：94．
根据判别式的意义得到Δ=32+4c=0，解得即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
13.【答案】AF=AE(答案不唯一)
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵AF=EC，
∴四边形AECF平行四边形，
∵AF=AE，
∴四边形AECF是菱形．
故答案为：AF=AE(答案不唯一)．
先证明四边形AECF平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，解决本题的关键是掌握菱形的判定．
14.【答案】2− 2
【解析】解：由题意可得数轴上表示2的点与点A之间的距离为 12+12= 2，
则点A表示的数为2− 2，
故答案为：2− 2．
利用勾股定理求得数轴上表示2的点与点A之间的距离，然后根据实数与数轴的关系计算即可．
本题考查实数与数轴的关系及勾股定理，利用勾股定理求得数轴上表示2的点与点A之间的距离是解题的关键．
15.【答案】v=t+331 361
【解析】解：由图中所给数据，得
速度−温度=331，即v−t=331，即v=t+331．
当t=30℃时，代入v=t+331，得v=30+331=361．
故答案为：v=t+331，361．
根据图中所给数据，找到速度与对应温度之间的关系即可解答．
本题较为简单，主要考查了函数的表示方法与函数关系式．
16.【答案】6
【解析】
【分析】
本题考查圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．
根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．
【解答】
解：连接OB，OC，
∵∠BOC=2∠BAC=60°，
又OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB=BC=6，
故答案为6．
17.【答案】解：原式=2 5−(1+2 5+5)
=2 5−1−2 5−5
=−6
【解析】根据二次根式的性质以及完全平方公式进行计算即可求解．
本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：解不等式2x−3≤1，得：x≤2，
解不等式x+13>−1，得：x>−4，
则不等式组的解集为−4
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：原式=1x−1⋅(x−1)2x+2−x−2x+1
=x−1x+2−x−2x+1
=x2−1−(x2−4)(x+1)(x+2)
=3x2+3x+2
∵x²+3x=1∴原式=31+2=1
【解析】直接利用分式的混合运算，进而化简，代入求出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
20.【答案】解：如图所示．
先画BC=a，进而作出BC的垂直平分线DM，交BC于D，以D为圆心，h为半径画弧，交DM于点A，连接AB，AC即可．△ABC就是所求的三角形．
【解析】先画BC=a，进而作出BC的垂直平分线DM，交BC于D，以D为圆心，h为半径画弧，交DM于点A，连接AB，AC即可．
本题考查已知等腰三角形底边和高画等腰三角形的方法；主要利用了等腰三角形三线合一的性质．
21.【答案】解：(1)树状图如右：
则小红获胜的概率：612=12，小丁获胜的概率：612=12，
所以这个游戏比较公平．
【解析】(1)根据题意画出树状图，即可解决问题；
(2)根据树状图，利用概率公式即可求得小红获胜的概率，由概率相等，即可判定这个游戏公平；
本题考查的是用列表法与树状图法求事件的概率，解题的关键是学会正确画出树状图，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．．
22.【答案】解：如图，作BE⊥DH于点E，
则GH=BE、BG=EH=10，
设AH=x，则BE=GH=GA+AH=43+x，
在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°⋅x，
∴CE=CH−EH=tan55°⋅x−10，
∵∠DBE=45°，
∴BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55°⋅x−10+35，
解得：x≈45，
∴CH=tan55°⋅x=1.4×45=63，
答：塔杆CH的高为63米．
【解析】作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=43+x，由CH=AHtan∠CAH=tan55°⋅x知CE=CH−EH=tan55°⋅x−10，根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
23.【答案】①5，4，80.5
②B
③160
④13
【解析】解：①由已知数据知a=5，b=4，
∵第10、11个数据分别为80、81，
∴中位数c=80+812=80.5，
故答案为：5、4、80.5；
②用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为B，
故答案为：B；
③估计等级为“B”的学生有400×820=160(人)，
故答案为：160；
④估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读课外书80320×52=13(本)，
故答案为：13．
①根据已知数据和中位数的概念可得；
②由样本中位数和众数、平均数都是B等级可得答案；
③利用样本估计总体思想求解可得；
④用没有阅读书籍的平均时间乘以一年的周数，再除以阅读每本书所需时间即可得．
此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数(平均数、中位数、众数)和理解样本和总体的关系是关键．
24.【答案】解：(1)把A点(1,4)分别代入反比例函数y=kx，一次函数y=x+b，
得k=1×4，1+b=4，
解得k=4，b=3，
∵点B(−4,n)也在反比例函数y=4x的图象上，
∴n=4−4=−1；
(2)如图，设直线y=x+3与y轴的交点为C，
∵当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×3×1+12×3×4=7.5；
(3)∵B(−4,−1)，A(1,4)，
∴根据图象可知：当x>1或−4
(2)求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；
(3)根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．
25.【答案】(1)证明：如图1，连接BD，OD，
∵CD，CB均为⊙O的切线，
∴CD=CB，∠ODC=∠OBC=90°，
在Rt△ODC和Rt△OBC中，
OC=OCOD=OB，
∴Rt△ODC≌Rt△OBC(HL)，
∴∠OCD=∠OCB，
∵△CDB为等腰三角形，
∴OC⊥BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AF⊥BD，
∴FA//CO；
(2)解：如图2，
∵CD=4，
∴CB=CD=4，
∵∠OBC=90°，
∴∠EBC=90°，
∵BE=2，
∴CE= CB2+BE2= 42+22=2 5，
∵FA=FE，
∴∠A=∠E，
∵FA//CO，
∴∠A=∠COE，
∴∠COE=∠E，
∴CO=CE，
∵CB⊥OE，
∴OB=BE=2，
∴OA=2，
∴AE=6，OE=4，
∵OC//FA，
∴ECEF=EOEA，
∴2 5EF=46，
∴EF=3 5，
∴FA=EF=3 5．
【解析】(1)连接BD，OD，由切线长定理及切线的性质可得CD=CB，∠ODC=∠OBC=90°，利用“HL”证明Rt△ODC≌Rt△OBC，得出∠OCD=∠OCB，由等腰三角形的性质得出OC⊥BD，由圆周角定理得出AF⊥BD，进而得出FA//CO；
(2)由勾股定理求出CE=2 5，由平行线的性质及等腰三角形的性质得出CO=CE，进而得出OB=BE=2，OA=2，即可得出AE=6，OE=4，由平行线分线段成比例定理得出ECEF=EOEA，即可求出EF=3 5，继而得出FA=EF=3 5．
本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握切线长定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
26.【答案】60° AD=BE
【解析】解：(1)①∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，
∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；
故答案为：60°；
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
故答案为：AD=BE；
(2)∠AEB=90°，AE=BE+2CM．
理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
(1)①由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC=120°，从而可以求出∠AEB的度数；
②由全等三角形的性质可得AD=BE；
(2)首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
27.【答案】解：(1)将P(3,0)，Q(1,4)两点分别代入y=ax2+c，
得：9a+c=0a+c=4，
解得：a=−12c=92．
∴抛物线的解析式是：y=−12x2+92；
(2)①∵抛物线的对称轴是y轴，
∴当点A与点Q(1,4)重合时，AB=4，
作CH⊥AB于H，如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△CBH和△CAH也是等腰直角三角形，
∴CH=AH=BH=2．
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1；
②如图，C落在抛物线上，
设直线PQ的解析式为y=kx+b，
由题意得：3k+b=0k+b=4，
解得：k=−2b=6，
∴直线PQ的解析式为y=−2x+6．
设A(m,−2m+6)，则AB=−2m+6，OB=m，
∴CH=BH=AH=12AB=−m+3．
∴yC=−m+3，xC=−(−m+3−m)=2m−3．
∵C落在抛物线上，
∴将点C(2m−3,−m+3)代入y=−12x2+92，得：
−m+3=−12(2m−3)2+92，
整理，得：2m2−7m+3=0，
解得：m=12，或m=3(与点B重合，舍去)．
∴m=12．
当m=12时，
∵2m−3=1−3=−2,−m+3=−12+3=52，
∴点C的坐标是(−2,52)．
【解析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)①依题意画出图形，利用点的坐标表示出相应线段的长度，再利用等腰直角三角形的性质解答即可得出结论；
②依题意画出图形，设A(m,−2m+6)，则AB=−2m+6，OB=m，利用等腰直角三角形的性质求得点C的坐标，利用待定系数法求得m值，则结论可得．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，一次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，都要自己设计想到现在，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
2023年甘肃省酒泉市中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 7的相反数是( )
A. 17 B. −17 C. 7 D. −7
2. 下列各式中结果为负数的是( )
A. −(−3) B. −32 C. (−3)2 D. |−3|
3. 如图，直线a//b，∠1=130°，则∠2等于( )
A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
4. 围棋起源于中国．古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行了围棋人机大战．截取对战机棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是( )
A. B. C. D.
5. 下列式子计算正确的是( )
A. 3a−4a=−a B. (ab−1)=a2b2−1
C. (3a)2=6a2 D. a6÷a2=a3
6. 5G网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶.据预测，2020年到2030年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示.根据如图提供的信息，下列推断不合理的是( )
A. 2030年5G间接经济产出比5G直接经济产出多4.2万亿元
B. 2020年到2030年5G直接经济产出和5G间接经济产出都是逐年增长
C. 2022年到2023年与2023年到2024年5G间接经济产出的增长率相同
D. 2030年5G直接经济产出约为2020年5G直接经济产出的13倍
7. 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是( )
A. 5m B. 12m C. 13m D. 18m
8. 如图，直线y=−43x+4与x轴.y轴分别交于A、B两点，△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B的对应点B′的坐标为( )
A. (3,4) B. (3,7) C. (7,3) D. (7,4)
9. 如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是( )
A. 1712π m2
B. 176π m2
C. 254π m2
D. 7712π m2
10. 如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，动点P从点B出发，在线段BC上匀速运动，到达点C时停止，设点P运动的路程为x，线段OP的长为y，如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积是( )
A. 60 B. 48 C. 24 D. 12
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：2a2−2= ______ ．
12. 若关于x的一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为______ ．
13. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF=EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是______ (写出一个即可)．
14. 如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形、以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是______ ．
15. 声音在空气中的传播速度v(m/s)与温度t(℃)的关系如表：
温度(℃)
0
5
10
15
20
速度v(m/s)
331
336
341
346
351
则速度v与温度t之间的关系式为______ ；当t=30℃时，声音的传播速度为______ m/s．
16. 如图，点A、B、C在⊙O上，BC=6，∠BAC=30°，则⊙O的半径为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
计算： 20−(1+ 5)2．
18. (本小题4.0分)
解不等式组：2x−3≤1x+13>−1并将解集在数轴上表示出来．
19. (本小题4.0分)
已知：x2+3x=1，求代数式1x−1⋅x2−2x+1x+2−x−2x+1的值
20. (本小题6.0分)
作图题(要求：尺规作图，写出作法并保留作图痕迹)
已知：线段a、b．
求作：等腰△ABC，使AB=AC，BC=a，BC边上的高AD=b．
21. (本小题6.0分)
小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．
(1)请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
(2)这个游戏公平吗？请说明理由．
22. (本小题8.0分)
风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成(如图1)，图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D(D、C、H在同一直线上)的仰角是45°.已知叶片的长度为35米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计)，山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．(参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6)
23. (本小题7.0分)
4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
一、数据收集，从全校随机抽取20学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下(单位：min)：
30
60
81
50
44
110
130
146
80
100
60
80
120
140
75
81
10
30
81
92
二、整理数据，按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间x(min)
0≤x<40
40≤x<80
80≤x<120
120≤x<160
等级
D
C
B
A
人数
3
a
8
b
三、分析数据，补全下列表格中的统计量：
平均数
中位数
众数
80
c
81
四、得出结论：
①表格中的数据：a=______，b=______，c=______；
②用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为______；
③如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有______人；
④假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读______本课外书．
24. (本小题7.0分)
如图，已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A(1,4)，点B(−4,n)．
(1)求n和b的值；
(2)求△OAB的面积；
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
25. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，CB，CD分别与⊙O相切于点B，D，连接OC，点E在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F．
(1)求证：FA//CO；
(2)若FA=FE，CD=4，BE=2，求FA的长．
26. (本小题8.0分)
(1)问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为______ ；
②线段AD，BE之间的数量关系为______ ．
(2)拓展探究
如图2，∠ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上.CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系.并说明理由．
27. (本小题10.0分)
已知抛物线y=ax2+c(a≠0)过点P(3,0)，Q(1,4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作AB⊥x轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角ABC．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：7的相反数是−7．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】B
【解析】解；∵−(−3)=3，−32=−9，(−3)2=9，|−3|=3，
∴−32是负数．
故选：B．
先计算各数，根据计算结果得结论．
本题主要考查了实数，掌握相反数、绝对值、乘方运算是解决本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵a//b，∠1=130°，
∴∠3=∠1=130°，
∴∠2=180°−130°=50°，
故选：C．
根据两直线平行，同位角相等得出∠3，进而利用邻补角解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
4.【答案】B
【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
5.【答案】A
【解析】解：A、3a−4a=−a，故A符合题意；
B、(ab−1)=ab−1，故B不符合题意；
C、(3a)2=9a2，故C不符合题意；
D、a6÷a2=a4，故D不符合题意；
故选：A．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】C
【解析】解：根据折线统计图，可知：
A.2030年5G间接经济产出比5G直接经济产出多10.6−6.4=4.2(万亿元)，故此项说法正确，不合题意；
B.2020年到2030年，5G直接经济产出和5G间接经济产出都是逐年增长，故此项说法正确，不合题意；
C.2022年到2023年间接经济产出的增长率：(5−4)÷4=25%，2023年到2024年5G间接经济产出的增长率(6−5)÷5=20%，故此项推断不合理，故此项符合题意；
D.2030年5G直接经济产出约为2020年5G直接经济产出6.4万亿元÷0.5万亿元≈13倍，故此项说法正确，不合题意．
故选：C．
观察折线统计图并得到有用信息，并通过计算间接经济产出和直接经济产出得结论．
本题考查了折线统计图，熟练读懂折线统计图，利用数形结合的方法解答是解题思的关键．
7.【答案】D
【解析】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，AB= AB2+BC2= 122+52=13(m)，
所以旗杆折断之前高度为BC+AB=13+5=18(m)．
故选：D．
旗杆的长=BC+AB，利用勾股定理求出AB即可解决问题．
本题考查的是勾股定理的正确应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题；
8.【答案】C
【解析】解：∵对于直线y=−43x+4：当x=0时，y=4，故B点坐标为(0,4)；
当y=0，x=3，故A点坐标为(3,0)．
∴AO=AO′=3，BO=B′O′=4．
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后，B′O′平行于x轴，
∴B′横坐标为x=3+4=7，纵坐标为y=AO′=3．
故选：C．
△AOB旋转前后两个图形全等，由旋转前各顶点坐标及边长可确定旋转后各顶点坐标．
本题较为简单，主要考查了一次函数的性质及图形旋转后坐标的变化．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了扇形的面积的计算，本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可．
小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．
【解答】
解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积=90π×25360=5π4m2；
小扇形的圆心角是180°−120°=60°，半径是1m，
则面积=60π360=π6(m2)，
则小羊A在草地上的最大活动区域面积=25π4+π6=7712π(m2).
故选D．
10.【答案】B
【解析】解：∵当OP⊥BC时，OP最小，且此时BP=4，OP=3，
∴AB=2OP=6，AD=2BP=8，
∴矩形ABCD的面积是=8×6=48．
故选：B．
根据矩形的性质结合图②的最低点的坐标，即可得出AB、AD的长度，再利用矩形的周长公式即可求出结论．
本题考查了动点问题的函数图象以及矩形的周长，观察图②最低点的坐标，找出矩形的长和宽的长度是解题的关键．
11.【答案】2(a+1)(a−1)
【解析】解：2a2−2
=2(a2−1)
=2(a+1)(a−1)，
故答案为：2(a+1)(a−1)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12.【答案】94
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=32−4c=0，
解得c=94，
故答案为：94．
根据判别式的意义得到Δ=32+4c=0，解得即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
13.【答案】AF=AE(答案不唯一)
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵AF=EC，
∴四边形AECF平行四边形，
∵AF=AE，
∴四边形AECF是菱形．
故答案为：AF=AE(答案不唯一)．
先证明四边形AECF平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，解决本题的关键是掌握菱形的判定．
14.【答案】2− 2
【解析】解：由题意可得数轴上表示2的点与点A之间的距离为 12+12= 2，
则点A表示的数为2− 2，
故答案为：2− 2．
利用勾股定理求得数轴上表示2的点与点A之间的距离，然后根据实数与数轴的关系计算即可．
本题考查实数与数轴的关系及勾股定理，利用勾股定理求得数轴上表示2的点与点A之间的距离是解题的关键．
15.【答案】v=t+331 361
【解析】解：由图中所给数据，得
速度−温度=331，即v−t=331，即v=t+331．
当t=30℃时，代入v=t+331，得v=30+331=361．
故答案为：v=t+331，361．
根据图中所给数据，找到速度与对应温度之间的关系即可解答．
本题较为简单，主要考查了函数的表示方法与函数关系式．
16.【答案】6
【解析】
【分析】
本题考查圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．
根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．
【解答】
解：连接OB，OC，
∵∠BOC=2∠BAC=60°，
又OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB=BC=6，
故答案为6．
17.【答案】解：原式=2 5−(1+2 5+5)
=2 5−1−2 5−5
=−6
【解析】根据二次根式的性质以及完全平方公式进行计算即可求解．
本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：解不等式2x−3≤1，得：x≤2，
解不等式x+13>−1，得：x>−4，
则不等式组的解集为−4
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：原式=1x−1⋅(x−1)2x+2−x−2x+1
=x−1x+2−x−2x+1
=x2−1−(x2−4)(x+1)(x+2)
=3x2+3x+2
∵x²+3x=1∴原式=31+2=1
【解析】直接利用分式的混合运算，进而化简，代入求出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
20.【答案】解：如图所示．
先画BC=a，进而作出BC的垂直平分线DM，交BC于D，以D为圆心，h为半径画弧，交DM于点A，连接AB，AC即可．△ABC就是所求的三角形．
【解析】先画BC=a，进而作出BC的垂直平分线DM，交BC于D，以D为圆心，h为半径画弧，交DM于点A，连接AB，AC即可．
本题考查已知等腰三角形底边和高画等腰三角形的方法；主要利用了等腰三角形三线合一的性质．
21.【答案】解：(1)树状图如右：
则小红获胜的概率：612=12，小丁获胜的概率：612=12，
所以这个游戏比较公平．
【解析】(1)根据题意画出树状图，即可解决问题；
(2)根据树状图，利用概率公式即可求得小红获胜的概率，由概率相等，即可判定这个游戏公平；
本题考查的是用列表法与树状图法求事件的概率，解题的关键是学会正确画出树状图，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．．
22.【答案】解：如图，作BE⊥DH于点E，
则GH=BE、BG=EH=10，
设AH=x，则BE=GH=GA+AH=43+x，
在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°⋅x，
∴CE=CH−EH=tan55°⋅x−10，
∵∠DBE=45°，
∴BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55°⋅x−10+35，
解得：x≈45，
∴CH=tan55°⋅x=1.4×45=63，
答：塔杆CH的高为63米．
【解析】作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=43+x，由CH=AHtan∠CAH=tan55°⋅x知CE=CH−EH=tan55°⋅x−10，根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
23.【答案】①5，4，80.5
②B
③160
④13
【解析】解：①由已知数据知a=5，b=4，
∵第10、11个数据分别为80、81，
∴中位数c=80+812=80.5，
故答案为：5、4、80.5；
②用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为B，
故答案为：B；
③估计等级为“B”的学生有400×820=160(人)，
故答案为：160；
④估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读课外书80320×52=13(本)，
故答案为：13．
①根据已知数据和中位数的概念可得；
②由样本中位数和众数、平均数都是B等级可得答案；
③利用样本估计总体思想求解可得；
④用没有阅读书籍的平均时间乘以一年的周数，再除以阅读每本书所需时间即可得．
此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数(平均数、中位数、众数)和理解样本和总体的关系是关键．
24.【答案】解：(1)把A点(1,4)分别代入反比例函数y=kx，一次函数y=x+b，
得k=1×4，1+b=4，
解得k=4，b=3，
∵点B(−4,n)也在反比例函数y=4x的图象上，
∴n=4−4=−1；
(2)如图，设直线y=x+3与y轴的交点为C，
∵当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×3×1+12×3×4=7.5；
(3)∵B(−4,−1)，A(1,4)，
∴根据图象可知：当x>1或−4
(2)求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；
(3)根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．
25.【答案】(1)证明：如图1，连接BD，OD，
∵CD，CB均为⊙O的切线，
∴CD=CB，∠ODC=∠OBC=90°，
在Rt△ODC和Rt△OBC中，
OC=OCOD=OB，
∴Rt△ODC≌Rt△OBC(HL)，
∴∠OCD=∠OCB，
∵△CDB为等腰三角形，
∴OC⊥BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AF⊥BD，
∴FA//CO；
(2)解：如图2，
∵CD=4，
∴CB=CD=4，
∵∠OBC=90°，
∴∠EBC=90°，
∵BE=2，
∴CE= CB2+BE2= 42+22=2 5，
∵FA=FE，
∴∠A=∠E，
∵FA//CO，
∴∠A=∠COE，
∴∠COE=∠E，
∴CO=CE，
∵CB⊥OE，
∴OB=BE=2，
∴OA=2，
∴AE=6，OE=4，
∵OC//FA，
∴ECEF=EOEA，
∴2 5EF=46，
∴EF=3 5，
∴FA=EF=3 5．
【解析】(1)连接BD，OD，由切线长定理及切线的性质可得CD=CB，∠ODC=∠OBC=90°，利用“HL”证明Rt△ODC≌Rt△OBC，得出∠OCD=∠OCB，由等腰三角形的性质得出OC⊥BD，由圆周角定理得出AF⊥BD，进而得出FA//CO；
(2)由勾股定理求出CE=2 5，由平行线的性质及等腰三角形的性质得出CO=CE，进而得出OB=BE=2，OA=2，即可得出AE=6，OE=4，由平行线分线段成比例定理得出ECEF=EOEA，即可求出EF=3 5，继而得出FA=EF=3 5．
本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握切线长定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
26.【答案】60° AD=BE
【解析】解：(1)①∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，
∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；
故答案为：60°；
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
故答案为：AD=BE；
(2)∠AEB=90°，AE=BE+2CM．
理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
(1)①由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC=120°，从而可以求出∠AEB的度数；
②由全等三角形的性质可得AD=BE；
(2)首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
27.【答案】解：(1)将P(3,0)，Q(1,4)两点分别代入y=ax2+c，
得：9a+c=0a+c=4，
解得：a=−12c=92．
∴抛物线的解析式是：y=−12x2+92；
(2)①∵抛物线的对称轴是y轴，
∴当点A与点Q(1,4)重合时，AB=4，
作CH⊥AB于H，如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△CBH和△CAH也是等腰直角三角形，
∴CH=AH=BH=2．
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1；
②如图，C落在抛物线上，
设直线PQ的解析式为y=kx+b，
由题意得：3k+b=0k+b=4，
解得：k=−2b=6，
∴直线PQ的解析式为y=−2x+6．
设A(m,−2m+6)，则AB=−2m+6，OB=m，
∴CH=BH=AH=12AB=−m+3．
∴yC=−m+3，xC=−(−m+3−m)=2m−3．
∵C落在抛物线上，
∴将点C(2m−3,−m+3)代入y=−12x2+92，得：
−m+3=−12(2m−3)2+92，
整理，得：2m2−7m+3=0，
解得：m=12，或m=3(与点B重合，舍去)．
∴m=12．
当m=12时，
∵2m−3=1−3=−2,−m+3=−12+3=52，
∴点C的坐标是(−2,52)．
【解析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)①依题意画出图形，利用点的坐标表示出相应线段的长度，再利用等腰直角三角形的性质解答即可得出结论；
②依题意画出图形，设A(m,−2m+6)，则AB=−2m+6，OB=m，利用等腰直角三角形的性质求得点C的坐标，利用待定系数法求得m值，则结论可得．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，一次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，都要自己设计想到现在，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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