高考数学(理数)一轮复习：课时达标检测09《对数与对数函数》(教师版)

这是一份高考数学(理数)一轮复习：课时达标检测09《对数与对数函数》(教师版)，共6页。

对点练(一) 对数的运算
1．已知lg7[lg3(lg2x)]＝0，那么x SKIPIF 1 < 0 ＝( )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(\r(3),6)
C.eq \f(\r(3),3)D.eq \f(\r(2),4)
解析：选D 由条件知，lg3(lg2x)＝1，∴lg2x＝3，∴x＝8，∴x SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(\r(2),4).故选D.
2．计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8))) SKIPIF 1 < 0 ＋lg2(lg216)＝________.
解析：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－3× SKIPIF 1 < 0 ＋lg24＝eq \f(2,3)＋2＝eq \f(8,3).
答案：eq \f(8,3)
3．已知14a＝7b＝4c＝2，则eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝________.
解析：14a＝7b＝4c＝2，则a＝lg142，b＝lg72，c＝lg42，∴eq \f(1,a)＝lg214，eq \f(1,b)＝lg27，
eq \f(1,c)＝lg24，∴eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝lg214－lg27＋lg24＝lg28＝3.
答案：3
4．已知2x＝3，lg4eq \f(8,3)＝y，则x＋2y的值为________．
解析：由2x＝3，lg4eq \f(8,3)＝y得x＝lg23，y＝lg4eq \f(8,3)＝eq \f(1,2)lg2eq \f(8,3)，
所以x＋2y＝lg23＋lg2eq \f(8,3)＝lg28＝3.
答案：3
5．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则eq \f(x,y)的值为________．
解析：∵lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，
即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.
又x>0，y>0，x－2y>0，故x＝y不符合题意，舍去．
∴x＝4y，即eq \f(x,y)＝4.
答案：4
对点练(二) 对数函数的图象及应用
1．函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|lga(x＋1)|的图象大致为( )
解析：选C 法一：∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得a＝2，
∴g(x)＝|lg2(x＋1)|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x＋1，x≥0，,－lg2x＋1，－1且g(0)＝0；当－1法二：由f(2)＝4，即2a＝4得a＝2，∴g(x)＝|lg2(x＋1)|，
函数g(x)是由函数y＝|lg2x|向左平移一个单位得到的，只有C项符合，故选C.
2．已知函数f(x)＝|lg x|.若0A．(2eq \r(2)，＋∞)B．[2eq \r(2)，＋∞)
C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)
解析：选C f(x)＝|lg x|的图象如图所示，由题知f(a)＝f(b)，则有00，∴g(b)在(1，＋∞)上为增函数，∴g(b)＝2b＋eq \f(1,b)>3，故选C.
3.设平行于y轴的直线分别与函数y1＝lg2x及函数y2＝lg2x＋2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位于函数y2＝lg2x＋2的图象上，如图，若△ABC为正三角形，则m·2n＝________.
解析：由题意知，n＝lg2m＋2，所以m＝2n－2.又BC＝y2－y1＝2，且△ABC为正三角形，所以可知B(m＋eq \r(3)，n－1)在y1＝lg2x的图象上，所以n－1＝lg2(m＋eq \r(3))，即m＝2n－1－eq \r(3)，所以2n＝4eq \r(3)，所以m＝eq \r(3)，所以m·2n＝eq \r(3)×4eq \r(3)＝12.
答案：12
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x，x≤0，))关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.
答案：(1，＋∞)
对点练(三) 对数函数的性质及应用
1．(2018·湖北孝感统考)函数f(x)＝eq \f(1,ln3x＋1)的定义域是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，＋∞))B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))∪(0，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，＋∞))D．[0，＋∞)
解析：选B 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋1>0，,ln3x＋1≠0，))解得x>－eq \f(1,3)且x≠0，故选B.
2．设a＝60.4，b＝lg0.40.5，c＝lg80.4，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．c解析：选B ∵a＝60.4>1，b＝lg0.40.5∈(0,1)，c＝lg80.4<0，∴a>b>c.故选B.
3．若lgaeq \f(2,3)<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))B．(1，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
解析：选C 当01时，lgaeq \f(2,3)∴a>1.∴实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)．
4．设f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1－x)＋a))是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－1,0)B．(0,1)
C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：选A 由f(x)是奇函数可得a＝－1，∴f(x)＝lgeq \f(1＋x,1－x)，定义域为(－1,1)．
由f(x)<0，可得05．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2)B．[1,2]
C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)
解析：选A 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，其图象的对称轴为x＝a，
要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g1>0，,a≥1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a>0，,a≥1，))
解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A.
6．已知f(x)＝lga(1＋x)＋lga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2，则f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))上的最大值为( )
A．4B．2
C．6D．8
解析：选B ∵f(1)＝2，∴lga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2，f(x)＝lg2(1＋x)＋lg2(3－x)
＝lg2(1＋x)(3－x)＝lg2[－(x－1)2＋4]，∴当x∈[0,1]时， f(x)是增函数；
当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))时，f(x)是减函数．故函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))上的最大值是f(1)＝2.
7．已知函数f(x)＝|lg3x|，实数m，n满足0解析：∵f(x)＝|lg3x|，正实数m，n满足m∴mn＝1.∵f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f(x)在[m2,1)上是减函数，
在(1，n]上是增函数，∴－lg3m2＝2或lg3n＝2.若－lg3m2＝2，得m＝eq \f(1,3)，则n＝3，
此时lg3n＝1，满足题意．那么eq \f(n,m)＝3÷eq \f(1,3)＝9.同理，若lg3n＝2，得n＝9，则m＝eq \f(1,9)，
此时－lg3m2＝4>2，不满足题意．综上可得eq \f(n,m)＝9.
答案：9
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知函数f(x)＝lg2eq \f(1＋ax,x－1)(a为常数)是奇函数．
(1)求a的值与函数f(x)的定义域；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋lg2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵函数f(x)＝lg2eq \f(1＋ax,x－1)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴lg2eq \f(1－ax,－x－1)＝－lg2eq \f(1＋ax,x－1)，即lg2eq \f(ax－1,x＋1)＝lg2eq \f(x－1,1＋ax)，
∴a＝1，f(x)＝lg2eq \f(1＋x,x－1).
令eq \f(1＋x,x－1)>0，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋x>0，,x－1>0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋x<0，,x－1<0，))
解得x<－1或x>1.
∴函数f(x)的定义域为{x|x<－1或x>1}．
(2)∵f(x)＋lg2(x－1)＝lg2(1＋x)，
当x>1时，x＋1>2，∴lg2(1＋x)>lg22＝1.
∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋lg2(x－1)>m恒成立，
∴m≤1.
∴m的取值范围是(－∞，1]．
2.设x∈[2,8]时，函数f(x)＝eq \f(1,2)lga(ax)·lga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－eq \f(1,8)，求实数a的值．
解：f(x)＝eq \f(1,2)(lgax＋1)(lgax＋2)＝eq \f(1,2)[(lgax)2＋3lgax＋2]＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lgax＋\f(3,2)))2－eq \f(1,8).
当f(x)取最小值－eq \f(1,8)时，lgax＝－eq \f(3,2).
∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是关于lgax的二次函数，
∴f(x)的最大值必在x＝2或x＝8处取得．
若eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lga2＋\f(3,2)))2－eq \f(1,8)＝1，则a＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
此时f(x)取得最小值时，x＝（2 SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(2)∉[2,8]，舍去；
若eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lga8＋\f(3,2)))2－eq \f(1,8)＝1，则a＝eq \f(1,2)，
此时f(x)取得最小值时，x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－eq \f(3,2)＝2eq \r(2)∈[2,8]，符合题意．∴a＝eq \f(1,2).
3．已知函数f(x)＝lgax＋m(a>0且a≠1)的图象过点(8,2)，点P(3，－1)关于直线x＝2的对称点Q在f(x)的图象上．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值．
解：(1)点P(3，－1)关于直线x＝2的对称点Q的坐标为(1，－1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f8＝2，,f1＝－1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋lga8＝2，,m＋lga1＝－1，))
解得m＝－1，a＝2，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝－1＋lg2x.
(2)g(x)＝2f(x)－f(x－1)＝2(－1＋lg2x)－[－1＋lg2(x－1)]＝lg2eq \f(x2,x－1)－1(x>1)，
∵eq \f(x2,x－1)＝eq \f(x－12＋2x－1＋1,x－1)＝(x－1)＋eq \f(1,x－1)＋2≥2 eq \r(x－1·\f(1,x－1))＋2＝4，
当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)，即x＝2时，“＝”成立，
而函数y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，则lg2eq \f(x2,x－1)－1≥lg24－1＝1，
故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.