高考数学(理数)一轮复习：课时达标检测10《函数的图象及其应用》(教师版)

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对点练(一) 函数的图象
1．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))sin x的图象大致是( )

解析：选D 令f(x)＝0可得x＝±1，或x＝kπ(k≠0，k∈Z)，
又f(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(1,x)))sin(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))sin x＝f(x)，即函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))sin x是偶函数，
且经过点(1,0)，(π，0)，(2π，0)，(3π，0)，…，故选D.
2．已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝lg2|x|，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的图象大致为( )
解析：选B f(x)，g(x)均为偶函数，则F(x)也为偶函数，由此排除A，D.
当x>2时，－x2＋2<0，lg2|x|>0，所以F(x)<0，排除C，故选B.
3．如图所示的图象对应的函数解析式可能是( )
A．y＝2x－x2－1
B．y＝eq \f(2xsin x,4x＋1)
C．y＝eq \f(x,ln x)
D．y＝(x2－2x)ex
解析：选D A中，y＝2x－x2－1，当x趋于－∞时，函数y＝2x的值趋于0，y＝x2＋1的值趋于＋∞，所以函数y＝2x－x2－1的值小于0，故A中的函数不满足．B中，y＝sin x是周期函数，所以函数y＝eq \f(2xsin x,4x＋1)的图象是以x轴为中心的波浪线，故B中的函数不满足．C中，函数y＝eq \f(x,ln x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，故C中的函数不满足．
D中，y＝x2－2x，当x<0或x>2时，y>0，当00恒成立，
所以y＝(x2－2x)ex的图象在x趋于＋∞时，y趋于＋∞，故D中的函数满足．
4．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O，O1，O2，动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，记点P运动的路程为x，设y＝|O1P|2，y与x的函数关系式为y＝f(x)，则y＝f(x)的大致图象是( )
解析：选A 当x∈[0，π]时，y＝1.当x∈(π，2π)时， eq \(O1P,\s\up7(―→))＝eq \(O2P,\s\up7(―→))－eq \(O2O1,\s\up7(―→))，
设eq \(O2P,\s\up7(―→))与eq \(O2O1,\s\up7(―→))的夹角为θ，因为|eq \(O2P,\s\up7(―→))|＝1，|eq \(O2O1,\s\up7(―→))|＝2，θ＝x－π，所以y＝|eq \(O1P,\s\up7(―→))|2＝(eq \(O2P,\s\up7(―→))－eq \(O2O1,\s\up7(―→)))2＝5－4cs θ＝5＋4cs x，x∈(π，2π)，此时函数y＝f(x)的图象是曲线，且单调递增，排除C，D.当x∈[2π，4π)时，因为eq \(O1P,\s\up7(―→))＝eq \(OP,\s\up7(―→))－eq \(OO1,\s\up7(―→))，设eq \(OP,\s\up7(―→))，eq \(OO1,\s\up7(―→))的夹角为α，因为|eq \(OP,\s\up7(―→))|＝2，|eq \(OO1,\s\up7(―→))|＝1，α＝2π－eq \f(1,2)x，所以y＝|eq \(O1P,\s\up7(―→))|2＝(eq \(OP,\s\up7(―→))－eq \(OO1,\s\up7(―→)))2＝5－4cs α＝5－4cseq \f(1,2)x，x∈[2π，4π)，此时函数y＝f(x)的图象是曲线，且单调递减，排除B.故选A.
对点练(二) 函数图象的应用问题
1．已知函数f(x)＝x2＋ex－eq \f(1,2)(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,\r(e))))B．(－∞， eq \r(e))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(e))，＋∞))D．( eq \r(e)，＋∞)
解析：选B 原命题等价于在x<0时，f(x)与g(－x)的图象有交点，即方程ex－eq \f(1,2)－ln(－x＋a)＝0在(－∞，0)上有解，令m(x)＝ex－eq \f(1,2)－ln(－x＋a)，显然m(x)在(－∞，0)上为增函数．当a>0时，只需m(0)＝e0－eq \f(1,2)－ln a>0，解得00，即m(x)＝0在(－∞，a)上有解．综上，实数a的取值范围是(－∞，eq \r(e))．
2．若函数f(x)＝eq \f(ax－2,x－1)的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________.
解析：函数f(x)＝eq \f(ax－2,x－1)＝a＋eq \f(a－2,x－1)(x≠1)，当a＝2时，f(x)＝2，函数f(x)的图象不关于点(1,1)对称，故a≠2，其图象的对称中心为(1，a)，即a＝1.
答案：1
3．用min{a，b，c}表示a，b，c中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
解析：f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的图象如图中实线所示．
令x＋2＝10－x，得x＝4.故当x＝4时，f(x)取最大值，又f(4)＝6，所以f(x)的最大值为6.
答案：6
4．已知偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝eq \r(2x－x2)，若直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是________．
解析：因为f(1－x)＝f(1＋x)．所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(1＋x)，即f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的函数．由当x∈[0,1]时，y＝f(x)＝eq \r(2x－x2)，得x2－2x＋y2＝0(y≥0)，即(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，画出函数f(x)的大致图象如图所示．若直线y＝k(x＋1)与曲线y＝f(x)切于点A，则eq \f(|k－0＋k|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq \f(\r(3),3)；若直线y＝k(x＋1)与曲线y＝f(x)切于点B，则eq \f(|3k－0＋k|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq \f(\r(15),15).因为直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，所以根据图象易知eq \f(\r(15),15)答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),15)，\f(\r(3),3)))
5．已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个根，则k的取值范围是________．
解析：由题意作出f(x)在[－1,3]上的示意图如图，记y＝k(x＋1)＋1，∴函数y＝k(x＋1)＋1的图象过定点A(－1,1)．记B(2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y＝f(x)与y＝kx＋k＋1的图象有四个交点，故kAB答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))
6.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥lg2(x＋1)的解集为________．
解析：令g(x)＝y＝lg2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,y＝lg2x＋1，))得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1.))
∴结合图象知不等式f(x)≥lg2(x＋1)的解集为{x|－1答案：{x|－1[大题综合练——迁移贯通]
1．设函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x)))(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
解：(1)函数f(x)的图象如图所示．
(2)∵f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x)))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1，x∈0，1]，,1－\f(1,x)，x∈1，＋∞，))
故f(x)在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
由0(3)由函数f(x)的图象可知，当02．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．
解：(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)f(x)＝x|x－4|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xx－4＝x－22－4，x≥4，,－xx－4＝－x－22＋4，x<4.))f(x)的图象如图所示．
(3)f(x)的单调递减区间是[2,4]．
(4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，
即方程f(x)＝a只有一个实数根，
所以a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．
解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，
G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当0(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，
因为H(t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0].