高考数学(理数)一轮复习：课时达标检测12《函数模型及应用》(教师版)

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对点练(一) 基本初等函数模型
1．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n(n∈N*)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n等于( )
A．6B．7
C．8D．7或8
解析：选B 盈利总额为21n－9－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2n＋\f(1,2)×nn－1×3))＝－eq \f(3,2)n2＋eq \f(41,2)n－9.因为其对应的函数的图象的对称轴方程为n＝eq \f(41,6)，所以当n＝7时取最大值，即盈利总额达到最大值．故选B.
2．有一组试验数据如表所示：
则最能体现这组数据关系的函数模型是( )
A．y＝2x＋1－1B．y＝x2－1
C．y＝2 lg2xD．y＝x3
解析：选B 由表格数据可知，函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型，选项C不正确．取x＝2.01，代入A选项，得y＝2x＋1－1>4，代入B选项，得y＝x2－1≈3，代入D选项，得y＝x3>8；取x＝3，代入A选项，得y＝2x＋1－1＝15，代入B选项，得y＝x2－1＝8，代入D选项，得y＝x3＝27，故选B.
3．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02－eq \f(t,30)，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝( )
A．150毫克/升B．300毫克/升
C．150ln 2毫克/升D．300ln 2毫克/升
解析：选C 因为当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝eq \f(\f(1,2)p0－p0,30－0)，所以p0＝600ln 2，因为p(t)＝p02－eq \f(t,30)，所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)．
4．用长度为24的材料设计一场地，场地为矩形，且中间用该材料加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3B．4
C．6D．12
解析：选A 隔墙的长为x(0＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，y最大．
5．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v＝5lg2eq \f(q,10)(m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为________个单位．当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是________m/s.
解析：由题意，燕子静止时v＝0，即5lg2eq \f(q,10)＝0，解得q＝10；当q＝80时，
v＝5lg2eq \f(80,10)＝15(m/s)．
答案：10 15
6．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)
解析：设n小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n≤0.2，即2n≥15，
解得n≥lg215，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．
答案：4
7．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，有以下结论：
①当x>1时，甲走在最前面；
②当x>1时，乙走在最前面；
③当01时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中正确结论的序号为________．
解析：甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以①不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当01时，丁走在最后面，所以③正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以⑤正确；结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，所以④正确．
答案：③④⑤
对点练(二) 两类特殊函数的模型
1．某市环保研究所对市中心每天环境中放射性污染情况进行调查研究后发现，一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x,x2＋1)－a))＋2a＋eq \f(2,3)，x∈[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).如果以每天f(x)的最大值为当天的环境综合放射性污染指数，并记为M(a)，若规定当M(a)≤2时为环境综合放射性污染指数不超标，则该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,9)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(4,9)))D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,9)，\f(1,2)))
解析：选B 设t＝eq \f(x,x2＋1)，当x≠0时，可得t＝eq \f(1,x＋\f(1,x))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，当x＝0时，t＝0，
因而f(x)＝g(t)＝|t－a|＋2a＋eq \f(2,3)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－t＋3a＋\f(2,3)，0≤t≤a，,t＋a＋\f(2,3)，a从而有g(0)＝3a＋eq \f(2,3)，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝a＋eq \f(7,6)，g(0)－geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,4)))，
因而M(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，0≤a≤\f(1,4)，,g0，\f(1,4)当0≤a≤eq \f(1,4)时，M(a)<2，当eq \f(1,4)2，
所以该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,9))).
2.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，则y＝________.
解析：由题意可得xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，
S＝(x－2)a＋(x－3)×b＝(3x－8)a＝(3x－8)×eq \f(y－3,3)＝1 808－3x－eq \f(8,3 )y
＝1 808－3x－eq \f(8,3)×eq \f(1 800,x)＝1 808－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3x＋\f(4 800,x)))
≤1 808－2eq \r(3x×\f(4 800,x))＝1 808－240＝1 568，
当且仅当3x＝eq \f(4 800,x)，即x＝40时取等号，所以当S取得最大值时，y＝eq \f(1 800,40)＝45.
答案：45
3．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,20)))2km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________h(车身长度不计)．
解析：设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t相当于最后一辆行驶了eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,20)))2＋400))km所用的时间，因此，t＝eq \f(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v,20)))2＋400,v)≥12，
当且仅当eq \f(36v,400)＝eq \f(400,v)，即v＝eq \f(200,3)时取等号．故这些汽车以eq \f(200,3) km/h的速度匀速行驶时，
所需时间最少，最少时间为12 h.
答案：12
4．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．
解析：设每小时的总费用为y元，则y＝kv2＋96，
又当v＝10时，k×102＝6，解得k＝0.06，
所以每小时的总费用y＝0.06v2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为eq \f(10,v)小时，
故总费用为W＝eq \f(10,v)y＝eq \f(10,v)(0.06v2＋96)＝0.6v＋eq \f(960,v)≥2eq \r(0.6v×\f(960,v))＝48，
当且仅当0.6v＝eq \f(960,v)，即v＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．
答案：40
[大题综合练——迁移贯通]
1．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元到甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿、乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4eq \r(2a)，Q＝eq \f(1,4)a＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
解：(1)因为甲大棚投入50万元，所以乙大棚投入150万元．
所以f(50)＝80＋4eq \r(2×50)＋eq \f(1,4)×150＋120－200＝77.5.
(2)f(x)＝80＋4eq \r(2x)＋eq \f(1,4)(200－x)＋120－200＝－eq \f(1,4)x＋4eq \r(2x)＋50.
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥20，,200－x≥20，))解得20≤x≤180，
所以f(x)＝－eq \f(1,4)x＋4eq \r(2x)＋50(20≤x≤180)．
令t＝eq \r(x)∈[2eq \r(5)，6eq \r(5) ]，则f(x)＝g(t)＝－eq \f(1,4)t2＋4eq \r(2)t＋50＝－eq \f(1,4)(t－8eq \r(2))2＋82.
所以当t＝8eq \r(2)，即x＝128时，f(x)max＝82.
所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为82万元．
2．某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,25)＋2，05.))当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．
(1)如果投放的药剂的质量为m＝5，试问自来水达到有效净化总共可持续几天？
(2)如果投放的药剂质量为m，为了使在9天(从投放药剂算起包括9天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．
解：(1)当m＝5时，y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,5)＋10，05.))当05时，由eq \f(5x＋95,2x－2)≥5解得5所以自来水达到有效净化总共可持续21天．
(2)y＝mf(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(mx2,25)＋2m，05.))
当0当x>5时，y′＝eq \f(－40m,2x－22)<0，所以函数y＝eq \f(mx＋19,2x－2)在(5,9]上单调递减，
所以eq \f(7m,4)≤y<3m.综上可知eq \f(7m,4)≤y≤3m.
为使5≤y≤10恒成立，只要eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(7m,4)≥5，,3m≤10，))解得eq \f(20,7)≤m≤eq \f(10,3)，
所以应该投放的药剂质量m的最小值为eq \f(20,7).
3．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y＝lga(t－5)＋83(a>0，且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．
(1)试求p＝f(t)的函数关系式；
(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．
解：(1)当t∈(0,14]时，设p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，将点(14,81)代入得c＝－eq \f(1,4)，
∴当t∈(0,14]时，p＝f(t)＝－eq \f(1,4)(t－12)2＋82；
当t∈(14,40]时，将点(14,81)代入y＝lga(t－5)＋83，得a＝eq \f(1,3).
所以p＝f(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)t－122＋82，t∈0，14]，,lg SKIPIF 1 < 0 t－5＋83，t∈14，40].))
(2)当t∈(0,14]时，－eq \f(1,4)(t－12)2＋82≥80，解得12－2eq \r(2)≤t≤12＋2eq \r(2)，
所以t∈[12－2eq \r(2)，14]；
当t∈(14,40]时，lg SKIPIF 1 < 0 (t－5)＋83≥80，解得5综上t∈[12－2eq \r(2)，32]，即老师在t∈[12－2eq \r(2)，32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．
x
2.01
3
4.01
5.1
6.12
y
3
8.01
15
23.8
36.04