专题1.4整式的乘法（测试） -简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）

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1．（2019·海口市金盘实验学校八年级期中）如果，那么p、q的值是（ ）
A．p=5, q=6B．p=－1, q=－6C．p=1, q=－6D．p=－5, q=－6
【答案】C
【详解】∵=，
，
∴=，
∴，，
故选：C．
2．（2020·江苏南通市·南通田家炳中学八年级月考）（﹣3x+1）（﹣2x）2等于（ ）
A．﹣6x3﹣2x2B．6x3﹣2x2C．6x3+2x2D．﹣12x3+4x2
【答案】D
【详解】解：（﹣3x+1）（﹣2x）2，
=（﹣3x+1）•（4x2），
=﹣12x3+4x2．
故选：D．
3．（2020·河南安阳市·八年级月考）若单项式和的积为，则的值为（ ）
A．2B．30C．－15D．15
【答案】D
【详解】
单项式和的积为，
，
，
，
．
故选择：D．
4．（2020·武汉市第八十一中学八年级月考）一个三角形的底边为2m，高为m＋4n，它的面积为( )
A．m2＋4mnB．2m2＋8mnC．m2＋8mnD．
【答案】A
【详解】解：根据题意得：三角形面积为
故选：A．
5．（2021·山东济宁市·八年级期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+□，“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写（ ）
A．1B．﹣1C．3xD．﹣3x
【答案】C
【详解】解：-3x（-2x2+3x-1）=6x3-9x2+3x．
故选：C．
6．（2020·安徽滁州市·八年级）图为“”型钢材的截面，要计算其截面面积，下列给出的算式中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
解：由图可得，
“L”型钢材的截面的面积为：ac+（b-c）c=ac+bc-c2，故选项B、D正确，
或“L”型钢材的截面的面积为：bc+（a-c）c=bc+ac-c2，故选项C正确，选项A错误，
故选：A．
7．（2019·全国七年级课时练习）若a3(3an-2am+4ak)=3a9-2a6+4a4，则m，n，k的值分别为（ ）
A．6，3，1 B．3，6，1 C．2，1，3 D．2，3，1
【答案】B
【解析】a3（3an-2am+4ak）=3a3+n-2am+3+4a3+k，
则3+n=9，3+m=6，3+k=4，
解得，n=6，m=3，k=1，
故选：B．
8．（2020·上蔡县第一初级中学八年级月考）若，，则代数式的值等于( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，
当，时，
原式．
故选：A．
9．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）展开后不含和的项，则、的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵（x2+mx+8）（x2-3x+n）=x4-3x3+x2n+x3m-3mx2+mnx+8x2-24x+8n=x4+（-3+m）x3+（n-3m+8）x2+mnx-24x+8n，
又∵（x2+mx+8）（x2-3x+n）展开后不含x2和x3的项，
∴-3+m=0，n-3m+8=0，
∴m=3，n=1；
故选：A．
10．（2017·浙江杭州市·）定义运算：⊗b=(1-b)．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗(-2)=6；②⊗b=b⊗；③若+b=0，则(⊗)+(b⊗b)=2b；④若⊗b=0，则=0或b=1；其中结论正确的序号是（ ）
A．①④B．①③C．②③④D．①③④
【答案】D
【详解】解：∵2(-2)=2×(1+2)=6，选项①正确；
∵ab=a(1-b)=a-ab，ba=b(1-a)=b-ab，不一定相等，选项②错误；
∵(aa)+(bb)=a(1-a)+b(1-b)=a+b-a2-b2=a+b-(a+b)2+2ab=2ab，选项③正确；
∵若ab=a(1-b)=0，则a=0或b=1，选项④正确，
故选：D．
11．（2020·湖北黄石市·八年级期中）小思同学用如图所示的，，三类卡片若干张，拼出了一个长为、宽为的长方形图形，请你通过计算求出小思同学拼这个长方形所用，，三类卡片各（ ）张
A．张，张，张B．张，张，张
C．张，张，张D．张，张，张
【答案】D
【详解】解：根据长方形的长和宽得到面积，
∴需要3张A，1张B，2张C．
故选：D．
12．（2019·华中科技大学同济医学院附属中学）（ ）
A．2019B．2020C．D．
【答案】B
【详解】解：令，
则原式，

故答案为：B.
13．（2021·山东济宁市·八年级期末）在矩形内将两张边长分别为和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：，
，
．
故选：．
14．（2018·山东济宁市·八年级期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：
=a+b
……
请你猜想的展开式中所有系数的和是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由（1）“杨辉三角”可知：的第一项系数为1，第二项系数由上一层的相邻两数之和求得，……以此类推，
故、、、展开式的各项系数如下图所示
根据（2）式可知：的展开式第一项a的指数为n，b的指数为0，第二项a的指数为n-1，b的指数为1，第三项a的指数为n-2，b的指数为2，……以此类推
∴，
系数之和为，
故选：C．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2021·河南漯河市·八年级期末）下图中的四边形均为长方形，根据图形面积，写出一个正确的等式：______．

【答案】（等号两边交换位置也正确）
【详解】
解：从左到右三个小长方形的面积分别为：ma、mb、mc，
大长方形的面积为：m（a+b+c），
三个小长方形的面积和等于大长方形的面积，m（a+b+c）= ma+mb+mc，
故答案为：．
16．（2021·湖北荆州市·八年级期末）若，则的值为______．
【答案】15
【详解】∵x2−3x−3＝0，
∴x2＝3x＋3，
则原式＝（x2−x）（x2−5x＋6）
＝（2x＋3）（−2x＋9）
＝−4x2＋12x＋27
＝−4（3x＋3）＋12x＋27
＝−12x−12＋12x＋27
＝15.
故答案为：15
17．（2021·宁夏石嘴山市·八年级期末）数学家发明了一个魔术盒，当任意有理数对进入其中时，会得到一个新的有理数，现将数对放入其中的得到数再将数对放入其中，最后得到的数是_____________．（结果要化简）
【答案】
【详解】根据题意，将数对放入魔术盒，得到
将数对放入其中，得到
故答案为：．
18．（2020·福建厦门市·厦门一中七年级期中）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第6个图形需要黑色棋子的个数是______，第个图形需要的黑色棋子的个数是______．（为正整数）
【答案】48
【详解】解：观察图形可得：
第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子2×3-3个，
第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子3×4-4个，
第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子4×5-5个，
按照这样的规律下去：则第n个图形需要黑色棋子的个数是，
∴当n=6时，；
故答案为48；．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2021·陕西安康市·八年级期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，.
【详解】原式
，
当时，
原式.
20．（2019·东莞市新世纪英才学校七年级月考）已知x、y为有理数，现规定一种新运算，满足．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）探索与的关系，并用等式把它们表达出来．
【答案】（1）9；（2）-27；（3）=+1．
【详解】解：（1）∵，
∴；
（2），
∴；
（3））∵，
∴
∴=+1．
21．（2021·河南漯河市·八年级期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如下图是2021年1月份的日历，我们任意用一个的方框框出4个数，将其中4个位置上的数两两交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？
（1）图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规律，结果为______．
（2）换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）7；（2）有同样的规律，(a+1)(a+7)-a(a+8)=7，理由见解析
【详解】（1）11×5-4×12=55-48=7，
故答案为：7；
（2）换为3，4，10，11，则10×4-3×11=40-33=7；
设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，
则(a+1)(a+7)-a(a+8)
=a2+7a+a+7-a2-8a
=7．
22．（2020·山西临汾市·八年级期中）长方形的长为厘米，宽为厘米，其中，如果将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形面积记为，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为．
（1）若、为正整数，请说明：与的差一定是5的倍数；
（2）如果，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积．
【答案】（1）见解析；（2）将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为50平方厘米
（1）证明：由题意得：S1=（a+3）（b+3）=ab+3（a+b）+9
S2=（a-2）（b-2）=ab-2（a+b）+4
S1-S2=[ab+3（a+b）+9]-[ab-2（a+b）+4]
=ab+3（a+b）+9-ab+2（a+b）-4
=5（a+b）+5
=5（a+b+1）
∴S1与S2的差一定是5的倍数．
（2）∵S1=2S2
∴ab+3（a+b）+9=2[ab-2（a+b）+4]
∴ab-7a-7b-1=0
∴ab-7a-7b=1
∴将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为：（a-7）（b-7）=ab-7a-7b+49=1+49=50．
∴将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为50平方厘米．
23．（2020·吉林长春市·）小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“+”写成“一”，得到的结果为．
（1）求、的值．
（2）计算这道整式乘法的正确结果．
【答案】（1）a=5，b=-19；（2）．
【详解】解：（1）由题意，得
，．
（2）．
24．（2020·内江市市中区天立学校七年级期中）仔细观察，探索规律：
（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4．
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝① （其中n为正整数，且n≥2）．
②（2﹣1）（2+1）＝ ；③（2﹣1）（22+2+1）＝ ；
④（2﹣1）（23+22+2+1）＝ ；⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝ ；
（2）根据上述规律，求22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是多少？
（3）根据上述规律，求29﹣28+27﹣…+23﹣22+2的值？
【答案】（1）①an﹣bn②22﹣1；③23﹣1；④24﹣1；⑤2n﹣1；（2）5；（3）342
【详解】解：（1）①由上式的规律可得，an﹣bn，
故答案为：an﹣bn；
由题干中提供的等式的规律可得，
②（2+1）（2﹣1）＝22﹣1；
③（2﹣1）（22+2+1）＝23﹣1；
④（2﹣1）（23+22+2+1）＝24﹣1；
⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝2n﹣1；
（2）22019+22018+22017+…+2+1
＝（2﹣1）（22019+22018+22017+…+2+1）
＝22020﹣1，
又∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……
∴22020的个位数字为6，
∴22020﹣1的个位数字为6﹣1＝5，
答：22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是5．
（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2
＝28（2﹣1）+26（2﹣1）+24（2﹣1）+22（2﹣1）+2
＝28+26+24+22+2
＝256+64+16+4+2
＝342．
25．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）准备若干张如图一所示边长为､的正方形和边长分别为､的长方形卡片，用这些卡片拼出新的图形，用不同的方法计算它的面积，可以得到一些等式．请解答下列问题：
（1）由图二，可得等式______．
（2）圆圆同学用x张边长为a的正方形､y张边长为b的正方形和z张边长分别为a､b的长方形纸片，拼出一个面积为长方形，求的值．
（3）已知这两个边长为a､b的正方形面积和为60，边长为a､b的长方形面积为20．点点同学将这两个正方形拼成图三形状，B､C､G三点在同一直线上，连接和．求阴影部分的面积．
【答案】（1）；（2）32；（3）20．
【详解】（1）由图可知，大长方形的面积等于三个正方形的面积与三个长方形的面积之和，
则，
故答案为：；
（2）由题意得：，
，
∴，
则；
（3）由题意得：，
则，
，
，
，
，
，
即阴影部分的面积为20．
26．（2020·东北师大附中明珠学校八年级期中）好学的晓璐同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？
根据尝试和总结她发现：一次项就是：x×5×（﹣6）+2x×4×（﹣6）+3x×4×5＝﹣3x．
请你认真领会晓璐同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题：
（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的最高次项为 ，一次项为 ；
（2）若计算（x+1）（﹣3x+m）（2x﹣1）（m为常数）所得的多项式不含一次项，求m的值；
（3）若（x+1）2021＝a0x2021+a1x2020+a2x2019+…+a2020x+a2021，则a2020＝ ．
【答案】（1）15x3，﹣11x；（2）m＝－3；（3）2021
【详解】（1）由题意得：
（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的最高次项为x×3x×5x＝15x3，
一次项为：1×1×（﹣3）x+2×3×（﹣3）x+2×1×5x＝﹣11x，
故答案为：15x3，﹣11x；
（2）依题意有：1×m×（﹣1）+1×（﹣3）×（﹣1）+1×m×2＝0，
解得m＝﹣3；
（3）根据题意可知即为所得多项式的一次项系数，
∵展开之后x的一次项共有2021个，且每一项的系数都为，
∴
故答案为：2021．