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第05章相交线与平行线（单元测试卷）-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（人教版）
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第05章相交线与平行线测试卷
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·浙江金华市·七年级期中）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，
将题目中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B，
其它三项皆改变了方向，故错误．
故选：B．
2．（2021·山东临沂市·七年级期末）下列四个生活、生产现象：①用两枚钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③体育课上，老师测量某同学的跳远成绩；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用基本事实“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】A
【详解】①②现象可以用两点可以确定一条直线来解释；
③现象可以用垂线段最短来解释；
④现象可以用两点之间，线段最短来解释．
故选：A．
3．（2021·陕西宝鸡市·七年级期末）下列说法中正确的个数为（ ）
①不相交的两条直线叫做平行线；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：①不相交的两条直线叫做平行线必须是在同一个平面内才能成立，故错误．
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是正确的．
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确．
④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交是正确的．
正确的说法共3个
故选：C．
4．（2021·浙江宁波市·七年级期末）如图，点在直线上，，那么下列说法错误的是（ ）
A．与相等 B．与互余
C．与互补 D．与互余
【答案】D
【详解】∵∠EOD＝90°，∠COB＝90°，
∴∠1＋∠DOC＝∠2＋∠DOC＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴∠AOE＋∠2＝90°，即与互余，
∵∠2+=180°，
∴∠1+=180°，即：与互补，
∵∠1＋∠AOE＝∠1＋∠COD，
∴∠AOE＝∠COD，
∴D选项说法是错误的，
故选：D．
5．（2021·福建泉州市·七年级期末）如图，∥，⊥，＝40°，则（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【详解】解：∵∥，
∴∠BAC+∠ACD=180°
又∵⊥，＝40°
∴∠CAD=90°
∴
故选：C．
6．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·八年级期末）如图，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
，
，
，
故选：B．
7．（2020·浙江嘉兴市·七年级期末）将一把直尺和一块三角板如图叠放，直尺的一边刚好经过直角三角板的直角顶点且与斜边相交，则与一定满足的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意可得：∠1+∠3=90°，∠2+∠3=180°
∴∠3=90°-∠1，∠3=180°-∠2
∴90°-∠1=180°-∠2
∴
故选：D．
8．（2021·全国七年级）如图，∠1＝∠2，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAB＝2：1，则∠D的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】A
【详解】解：∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠CAB，
∵∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠2，
∴DC∥AB，
∴∠D+∠DAB＝180°，
又∵∠D：∠DAB＝2：1，
∴∠D＝180°×＝120°．
故选：A
9．（2019·山西七年级月考）在下列方格中，将图中的图形平移到如图所示位置，下列关于图形的平移方法叙述正确的是（ ）
A．向右移动3格，再向上移动3格 B．向右移动3格，再向下移动3格
C．向左移动3格，再向上移动3格 D．向左移动3格，再向下移动3格
【答案】B
【详解】根据图形可知，向右移动3格，再向下移动3格即可得到图形；
故选：B．
10．（2020·山东青岛市·七年级期末）如图，直线，直线与，分别相交于，两点，过点作直线的垂线交直线于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵a∥b，
∴∠1+∠2+∠BAC=180°，
∵∠BAC=90°，∠1=62°，
∴∠2=180°-∠1-∠BAC=180°-62°-90°=28°，
故选：D．
11．（2020·浙江杭州市·八年级期中）老师让4个学生猜一猜这次考试中4个人的成绩谁最好．甲说：“乙最好”：乙说：“丁最好”；丙说：“反正我不是最好”；丁说：“乙说我最好，肯定错了”．老师告诉他们，只有一个人猜对了，于是，聪明的孩子们马上知道是谁的成绩最好了，你知道吗？（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【详解】
假设甲最好，则甲说得错了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是甲最好；
假设乙最好，则甲说对了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是乙最好；
假设丙最好，则甲说错了，则乙说错了，丙说错了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”不矛盾，因此是丙最好；
假设丁最好，则甲说错了，则乙说对了，丙说对了，丁说错了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此是丁不是最好；
因此丙的成绩最好，
故选：C．
12．（2020·武威第八中学七年级期中）数学课上， 老师要求同学们利用三角板画两条平行线．小明的画法如下：将含角的三角尺的最长边与直线重合，另一块三角尺最长边与含角的三角尺的最短边紧贴；将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则小明这样画图的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【详解】利用平移的性质得到
∠1=∠2=60°，
所以a∥b．
故选：A．
13．（2019·洛阳外国语学校七年级月考）如图，下列能判定的条件的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①∠B+∠BCD=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可判断AB∥CD；
②，不可判断AB∥CD；
③，不可判断AB∥CD；
④∠B = ∠5，同位角相等，两直线平行，可判断AB∥CD
故选：B．
14．（2016·浙江杭州市·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，
∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，
∴=∠BCD+∠DCM=，
故选：C．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2021·浙江绍兴市·八年级期末）把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为：为_____．
【答案】如果两个角是同位角，那么这两个角相等
【详解】
解：命题“同位角相等”写成“如果…，那么…”的形式：如果两个角是同位角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等．
16．（2021·北京海淀区·北理工附中七年级期末）如图，小区规划在一个长米，宽米的长方形场地上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与平行，另一条与平行，场地的其余部分种草，前道的宽度为x米．用含a与x的代数式表示草坪的长为_________米；宽为__________米．
【答案】（5a-2x） （2a-x）
【详解】解：由题意可知，用含a与x的代数式表示草坪的长为（5a-2x）米；宽为（2a-x）米．
故答案为：（5a-2x），（2a-x）．
17．（2021·北京昌平区·七年级期末）如图，已知于点O，，那么______________′．
【答案】69 40
【详解】
解：如右图所示，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-20°20′=69°40′．
故答案是69；40．
18．（2021·福建泉州市·七年级期末）如图，两直线l1∥12，等腰直角三角尺ABC的两个锐角顶点A，B分别在l1∥12上，若∠1=75°，则∠2=_____．
【答案】15°
【详解】解：如图，过点C作CD∥l1，则∠2=∠ACD．
∵l1∥l2，
∴CD∥l2，
∴∠1=∠DCB．
∵∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠1=75°，
∴∠2=15°．
故答案为：15°．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2021·浙江宁波市·七年级期末）（1）如图，过点A画直线BC的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交BC于点H．
（2）线段 的长度是点A到直线BC的距离．
（3）线段AG、AH的大小关系为AG AH．（用符号>，<，=，表示）．理由是 ．
【答案】（1）见解析；（2）AG；（3）<，垂线段最短
【详解】
解：（1）如图，
（2）∵AG是BC的垂线，
∴线段AG的长度是点A到直线BC的距离，
故答案为：AG；
（3）线段AG、AH的大小关系为AG
20．（2021·福建泉州市·七年级期末）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2＋∠3＝180°．试说明：∠GDC＝∠B．下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴AD∥EF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠1＋∠2＝ °（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠2＋∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠ （同角的补角相等），
∴AB∥DG（ ），
∴∠GDC＝∠B（ ）．
【答案】180；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【详解】
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴AD∥ EF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠1＋∠2＝180°两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠2＋∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠ 3（同角的补角相等），
∴AB∥DG（ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠GDC＝∠B（ 两直线平行，同位角相等 ）．
故答案为：180；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
21．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，已知有四条直线：直线，直线，直线，直线．若直线，直线．
（1）判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（2）说明直线与的数量关系，并说明理由；
（3）若度，求出的度数．
【答案】（1）平行；（2）∠1=∠2；（3）115°
【详解】
解：（1）平行，
∵b⊥m，a⊥m，
∴a∥b；
（2）∵a∥b，
根据两直线平行，同位角相等可得：
∴∠1=∠2；
（3）∵∠1=65°，
∴∠2=65°，
∴∠5=180°-∠2=115°．
22．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的方格中，有一个且的每个顶点均与小正方形的顶点重合
（1）在方格中，将向下平移5个单位长度得到，请画出．
（2）求平移到的过程中，所扫过的面积．
【答案】（1）见解析；（2）24
【详解】
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求．
（2）△ABC所扫过的面积=BB1C1C的面积+△ABC的面积=5×4+4×2÷2=24．
23．（2021·辽宁朝阳市·八年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD，CE交于点O，F，G分别是AC，BC延长线上一点，且∠EOD＋∠OBF＝180°，∠DBC＝∠G，指出图中所有平行线，并说明理由．
【答案】EC∥BF，DG∥BF，DG∥EC，见解析
【详解】
解：EC∥BF，DG∥BF，DG∥EC．
理由：∵∠EOD＋∠OBF＝180°，
又∠EOD＋∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝∠OBF，
∴EC∥BF；
∵∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB，
又∵EC∥BF，
∴∠ECB＝∠CBF，
∴∠DBC＝∠CBF，
又∵∠DBC＝∠G，
∴∠CBF＝∠G，
∴DG∥BF；
∵EC∥BF，DG∥BF，
∴DG∥EC．
24．（2020·山西大同市·七年级月考）庚子年初，突如其来的疫情，给我们的生活按下了“暂停键”，春季开学延期．我市各学校积极响应教育局“停课不停学”的号召，实行线上教学.王老师发现他的电脑桌支架形状正好与他最近所讲授的数学知识有关，于是，数学课上王老师提出如下问题：如图是电脑桌支架的截面示意图，已知平分与相交于点．请你用所学知识证明：．
【答案】见解析
【详解】
解:
平分
．
25．（2020·河南省淮滨县第一中学七年级期末）（1）如图，，，，试说明；
（2）若把（1）中的题设“”与结论“”对调，所得命题是否为真命题，试说明理由；
（3）若把（1）中的题设“”与结论“”对调呢？
【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）成立，
理由是：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）成立，
理由是：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．（2020·湖南广益实验中学）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）①如图1，∠DPC＝ 度．
②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°旋转360°），问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．
（2）如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速2°/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，以下两个结论：①为定值；②∠BPN+∠CPD为定值，请选择你认为对的结论加以证明．
【答案】（1）①90；②t为或或或或或或；（2）①正确，②错误，证明见解析．
【详解】
解：（1）①∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180﹣30﹣60＝90°，
故答案为90；
②如图1﹣1，当BD∥PC时，
∵PC∥BD，∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图1﹣2，当PC∥BD时，
∵∠PBD＝90°，
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
如图1﹣3，当PA∥BD时，即点D与点C重合，此时∠ACP＝∠BPD＝30°，则AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠APN＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为9秒，
如图1﹣4，当PA∥BD时，
∵∠DPB＝∠ACP＝30°，
∴AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠BPA＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°＝270°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为27秒，
如图1﹣5，当AC∥DP时，
∵AC∥DP，
∴∠C＝∠DPC＝30°，
∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为6秒，
如图1﹣6，当时，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为秒，
如图1﹣7，当AC∥BD时，
∵AC∥BD，
∴∠DBP＝∠BAC＝90°，
∴点A在MN上，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为18秒，
当时，如图1-3，1-4，旋转时间分别为：，
综上所述：当t为或或或或或或时，这两个三角形是“孪生三角形”；
（2）如图，当在上方时，
①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．
∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，
∴
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
当在下方时，如图，
①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝ ∠APN＝3t．
∴∠CPD＝
∴
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
综上：①正确，②错误．
第05章相交线与平行线测试卷
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·浙江金华市·七年级期中）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，
将题目中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B，
其它三项皆改变了方向，故错误．
故选：B．
2．（2021·山东临沂市·七年级期末）下列四个生活、生产现象：①用两枚钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③体育课上，老师测量某同学的跳远成绩；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用基本事实“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】A
【详解】①②现象可以用两点可以确定一条直线来解释；
③现象可以用垂线段最短来解释；
④现象可以用两点之间，线段最短来解释．
故选：A．
3．（2021·陕西宝鸡市·七年级期末）下列说法中正确的个数为（ ）
①不相交的两条直线叫做平行线；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：①不相交的两条直线叫做平行线必须是在同一个平面内才能成立，故错误．
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是正确的．
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确．
④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交是正确的．
正确的说法共3个
故选：C．
4．（2021·浙江宁波市·七年级期末）如图，点在直线上，，那么下列说法错误的是（ ）
A．与相等 B．与互余
C．与互补 D．与互余
【答案】D
【详解】∵∠EOD＝90°，∠COB＝90°，
∴∠1＋∠DOC＝∠2＋∠DOC＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴∠AOE＋∠2＝90°，即与互余，
∵∠2+=180°，
∴∠1+=180°，即：与互补，
∵∠1＋∠AOE＝∠1＋∠COD，
∴∠AOE＝∠COD，
∴D选项说法是错误的，
故选：D．
5．（2021·福建泉州市·七年级期末）如图，∥，⊥，＝40°，则（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【详解】解：∵∥，
∴∠BAC+∠ACD=180°
又∵⊥，＝40°
∴∠CAD=90°
∴
故选：C．
6．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·八年级期末）如图，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
，
，
，
故选：B．
7．（2020·浙江嘉兴市·七年级期末）将一把直尺和一块三角板如图叠放，直尺的一边刚好经过直角三角板的直角顶点且与斜边相交，则与一定满足的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意可得：∠1+∠3=90°，∠2+∠3=180°
∴∠3=90°-∠1，∠3=180°-∠2
∴90°-∠1=180°-∠2
∴
故选：D．
8．（2021·全国七年级）如图，∠1＝∠2，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAB＝2：1，则∠D的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】A
【详解】解：∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠CAB，
∵∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠2，
∴DC∥AB，
∴∠D+∠DAB＝180°，
又∵∠D：∠DAB＝2：1，
∴∠D＝180°×＝120°．
故选：A
9．（2019·山西七年级月考）在下列方格中，将图中的图形平移到如图所示位置，下列关于图形的平移方法叙述正确的是（ ）
A．向右移动3格，再向上移动3格 B．向右移动3格，再向下移动3格
C．向左移动3格，再向上移动3格 D．向左移动3格，再向下移动3格
【答案】B
【详解】根据图形可知，向右移动3格，再向下移动3格即可得到图形；
故选：B．
10．（2020·山东青岛市·七年级期末）如图，直线，直线与，分别相交于，两点，过点作直线的垂线交直线于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵a∥b，
∴∠1+∠2+∠BAC=180°，
∵∠BAC=90°，∠1=62°，
∴∠2=180°-∠1-∠BAC=180°-62°-90°=28°，
故选：D．
11．（2020·浙江杭州市·八年级期中）老师让4个学生猜一猜这次考试中4个人的成绩谁最好．甲说：“乙最好”：乙说：“丁最好”；丙说：“反正我不是最好”；丁说：“乙说我最好，肯定错了”．老师告诉他们，只有一个人猜对了，于是，聪明的孩子们马上知道是谁的成绩最好了，你知道吗？（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【详解】
假设甲最好，则甲说得错了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是甲最好；
假设乙最好，则甲说对了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是乙最好；
假设丙最好，则甲说错了，则乙说错了，丙说错了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”不矛盾，因此是丙最好；
假设丁最好，则甲说错了，则乙说对了，丙说对了，丁说错了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此是丁不是最好；
因此丙的成绩最好，
故选：C．
12．（2020·武威第八中学七年级期中）数学课上， 老师要求同学们利用三角板画两条平行线．小明的画法如下：将含角的三角尺的最长边与直线重合，另一块三角尺最长边与含角的三角尺的最短边紧贴；将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则小明这样画图的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【详解】利用平移的性质得到
∠1=∠2=60°，
所以a∥b．
故选：A．
13．（2019·洛阳外国语学校七年级月考）如图，下列能判定的条件的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①∠B+∠BCD=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可判断AB∥CD；
②，不可判断AB∥CD；
③，不可判断AB∥CD；
④∠B = ∠5，同位角相等，两直线平行，可判断AB∥CD
故选：B．
14．（2016·浙江杭州市·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，
∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，
∴=∠BCD+∠DCM=，
故选：C．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2021·浙江绍兴市·八年级期末）把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为：为_____．
【答案】如果两个角是同位角，那么这两个角相等
【详解】
解：命题“同位角相等”写成“如果…，那么…”的形式：如果两个角是同位角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等．
16．（2021·北京海淀区·北理工附中七年级期末）如图，小区规划在一个长米，宽米的长方形场地上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与平行，另一条与平行，场地的其余部分种草，前道的宽度为x米．用含a与x的代数式表示草坪的长为_________米；宽为__________米．
【答案】（5a-2x） （2a-x）
【详解】解：由题意可知，用含a与x的代数式表示草坪的长为（5a-2x）米；宽为（2a-x）米．
故答案为：（5a-2x），（2a-x）．
17．（2021·北京昌平区·七年级期末）如图，已知于点O，，那么______________′．
【答案】69 40
【详解】
解：如右图所示，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-20°20′=69°40′．
故答案是69；40．
18．（2021·福建泉州市·七年级期末）如图，两直线l1∥12，等腰直角三角尺ABC的两个锐角顶点A，B分别在l1∥12上，若∠1=75°，则∠2=_____．
【答案】15°
【详解】解：如图，过点C作CD∥l1，则∠2=∠ACD．
∵l1∥l2，
∴CD∥l2，
∴∠1=∠DCB．
∵∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠1=75°，
∴∠2=15°．
故答案为：15°．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2021·浙江宁波市·七年级期末）（1）如图，过点A画直线BC的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交BC于点H．
（2）线段 的长度是点A到直线BC的距离．
（3）线段AG、AH的大小关系为AG AH．（用符号>，<，=，表示）．理由是 ．
【答案】（1）见解析；（2）AG；（3）<，垂线段最短
【详解】
解：（1）如图，
（2）∵AG是BC的垂线，
∴线段AG的长度是点A到直线BC的距离，
故答案为：AG；
（3）线段AG、AH的大小关系为AG
20．（2021·福建泉州市·七年级期末）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2＋∠3＝180°．试说明：∠GDC＝∠B．下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴AD∥EF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠1＋∠2＝ °（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠2＋∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠ （同角的补角相等），
∴AB∥DG（ ），
∴∠GDC＝∠B（ ）．
【答案】180；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【详解】
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴AD∥ EF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠1＋∠2＝180°两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠2＋∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠ 3（同角的补角相等），
∴AB∥DG（ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠GDC＝∠B（ 两直线平行，同位角相等 ）．
故答案为：180；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
21．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，已知有四条直线：直线，直线，直线，直线．若直线，直线．
（1）判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（2）说明直线与的数量关系，并说明理由；
（3）若度，求出的度数．
【答案】（1）平行；（2）∠1=∠2；（3）115°
【详解】
解：（1）平行，
∵b⊥m，a⊥m，
∴a∥b；
（2）∵a∥b，
根据两直线平行，同位角相等可得：
∴∠1=∠2；
（3）∵∠1=65°，
∴∠2=65°，
∴∠5=180°-∠2=115°．
22．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的方格中，有一个且的每个顶点均与小正方形的顶点重合
（1）在方格中，将向下平移5个单位长度得到，请画出．
（2）求平移到的过程中，所扫过的面积．
【答案】（1）见解析；（2）24
【详解】
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求．
（2）△ABC所扫过的面积=BB1C1C的面积+△ABC的面积=5×4+4×2÷2=24．
23．（2021·辽宁朝阳市·八年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD，CE交于点O，F，G分别是AC，BC延长线上一点，且∠EOD＋∠OBF＝180°，∠DBC＝∠G，指出图中所有平行线，并说明理由．
【答案】EC∥BF，DG∥BF，DG∥EC，见解析
【详解】
解：EC∥BF，DG∥BF，DG∥EC．
理由：∵∠EOD＋∠OBF＝180°，
又∠EOD＋∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝∠OBF，
∴EC∥BF；
∵∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB，
又∵EC∥BF，
∴∠ECB＝∠CBF，
∴∠DBC＝∠CBF，
又∵∠DBC＝∠G，
∴∠CBF＝∠G，
∴DG∥BF；
∵EC∥BF，DG∥BF，
∴DG∥EC．
24．（2020·山西大同市·七年级月考）庚子年初，突如其来的疫情，给我们的生活按下了“暂停键”，春季开学延期．我市各学校积极响应教育局“停课不停学”的号召，实行线上教学.王老师发现他的电脑桌支架形状正好与他最近所讲授的数学知识有关，于是，数学课上王老师提出如下问题：如图是电脑桌支架的截面示意图，已知平分与相交于点．请你用所学知识证明：．
【答案】见解析
【详解】
解:
平分
．
25．（2020·河南省淮滨县第一中学七年级期末）（1）如图，，，，试说明；
（2）若把（1）中的题设“”与结论“”对调，所得命题是否为真命题，试说明理由；
（3）若把（1）中的题设“”与结论“”对调呢？
【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）成立，
理由是：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）成立，
理由是：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．（2020·湖南广益实验中学）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）①如图1，∠DPC＝ 度．
②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°旋转360°），问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．
（2）如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速2°/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，以下两个结论：①为定值；②∠BPN+∠CPD为定值，请选择你认为对的结论加以证明．
【答案】（1）①90；②t为或或或或或或；（2）①正确，②错误，证明见解析．
【详解】
解：（1）①∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180﹣30﹣60＝90°，
故答案为90；
②如图1﹣1，当BD∥PC时，
∵PC∥BD，∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图1﹣2，当PC∥BD时，
∵∠PBD＝90°，
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
如图1﹣3，当PA∥BD时，即点D与点C重合，此时∠ACP＝∠BPD＝30°，则AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠APN＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为9秒，
如图1﹣4，当PA∥BD时，
∵∠DPB＝∠ACP＝30°，
∴AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠BPA＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°＝270°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为27秒，
如图1﹣5，当AC∥DP时，
∵AC∥DP，
∴∠C＝∠DPC＝30°，
∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为6秒，
如图1﹣6，当时，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为秒，
如图1﹣7，当AC∥BD时，
∵AC∥BD，
∴∠DBP＝∠BAC＝90°，
∴点A在MN上，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为18秒，
当时，如图1-3，1-4，旋转时间分别为：，
综上所述：当t为或或或或或或时，这两个三角形是“孪生三角形”；
（2）如图，当在上方时，
①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．
∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，
∴
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
当在下方时，如图，
①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝ ∠APN＝3t．
∴∠CPD＝
∴
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
综上：①正确，②错误．
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