专题6.1-3概率初步（讲练）-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）

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一、知识点
1. 概率及公式
定义：表示一个事件发生的可能性大小的数．
概率公式P(A)＝(m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．
2.利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
3.事件的类型及其概率
3.几何概率的计算方法
求出阴影区域面积与总面积之比即为该事件发生的概率.
4.古典概型（1）古典概型的定义
某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
（2）古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=
二、考点点拨与训练
考点1：随机事件与必然事件
（2020·全国初二课时练习）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)太阳从西边落山；
(2)某人的体温是100 ℃；
(3)a2＋b2＝0；
(4)某个等腰三角形中任意两个角都不相等；
(5)经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．
方法或规律点拨
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
巩固练习
1．（2020·广东揭阳·初一期末）在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的个红球、个蓝球和个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事情是不确定事件、不可能事件，还是必然事件．
从口袋中任意取出一个球，是一个白球；
从口袋中一次任取个球，全是蓝球；
从口袋中一次任意取出个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了．
2．（2020·全国初三课时练习）在一个不透明的袋子里，装有9个大小和形状一样的小球，其中3个红球、3个白球、3个黑球，它们已在袋子中被搅匀，现在有一个事件：从袋子中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个．
（1）当n为何值时，这个事件必然发生？
（2）当n为何值时，这个事件不可能发生？
（3）当n为何值时，这个事件可能发生？
3．（2020·全国初一课时练习）下列事件中，哪些是确定事件？哪些是不确定事件？
（1）任意掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数是6.
（2）在一个平面内，三角形三个内角的和是190度.
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
4．（2020·全国初一课时练习）足球世界杯比赛分成8个小组,每个小组4个队,小组内进行单循环比赛(每个队都与该小组的其他队比赛一场),选出2个队进入16强.比赛规定胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.请问:
(1)每个小组共比赛多少场?
(2)在小组比赛中,有一个队比赛结束后积分为6分,该队出线这一事件是什么事件?
5．（2020·全国初一课时练习）请用“一定”、“很可能”、“可能性极小”、“可能”、“不太可能”、“不可能”等语言来描述下列事件的可能性．
（1）买20注彩票，获特等奖500万．
（2）袋中有20个球，1个红的，19个白的，从中任取一球，取到红色的球．
（3）掷一枚均匀的骰子，6点朝上．
（4）100件产品中有2件次品，98件正品，从中任取一件，刚好是正品．
（5）早晨太阳从东方升起．
（6）小丽能跳100m高．
6．（2020·全国初一课时练习）从1，2，3，4，5这五个数中任意取两个相乘，问：
（1）积为偶数，属于哪类事件？有几种可能情况？
（2）积为奇数，属于哪类事件？有几种可能情况？
（3）积为无理数，属于哪类事件？
7．（2020·灌云县四队中学初二月考）在三个不透明的布袋中分别放入一些除颜色不同外其他都相同的玻璃球，并搅匀，具体情况如下表：
在下列事件中，哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件？
(1) 随机从第一个布袋中摸出一个玻璃球，该球是黄色、绿色或红色的；
(2) 随机的从第二个布袋中摸出两个玻璃球，两个球中至少有一个不是绿色的；
(3) 随机的从第三个布袋中摸出一个玻璃球，该球是红色的；
(4)随机的从第一个布袋中和第二个布袋中各摸出一个玻璃球，两个球的颜色一致．
8．（2019·江苏仪征·初二期中）某班从三名男生（含小强）和五名女生中选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选n名．
（1）当n为何值时，男生小强参加是确定事件？
（2）当n为何值时，男生小强参加是随机事件？
9．（2020·全国初二课时练习）下列事件中，哪些是确定事件？哪些是不确定事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？
(1)上海每年都有人出生.
(2)掷一枚均匀的骰子，3点朝上.
(3)你将长到4 m.
(4)15道选择题全选A．
(5)你最喜欢的篮球队将获得CBA冠军.
(6)打开电视，正在播电视剧.
(7)任买一张足球彩票，中一等奖.
10．（2017·全国课时练习）小明和小红在讨论两个事件，小明说“中央电视台天气预报说明天小雨，明天一定会下雨”，而小红却说不一定，同时她还认为“‘供电局通知，明天电路检修，某小区停电’该小区明天一定会停电”他们俩意见不统一，各执己见，他们说得对吗？你能说说你的看法吗？
考点2：可能性大小的比较
典例：（2020·陕西渭滨·初一期末）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色．估计各事件的可能性大小，完成下列问题：
（1）可能性最大和最小的事件分别是哪个？（填写序号）
（2）将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列： ．
方法或规律点拨
本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
巩固练习
1．（2018·全国初三课时练习）指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件？这些事件是确定性事件吗？
①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
②367人中至少有2人的生日相同；
③没有水分，种子也会发芽；
④奥运会上百米赛跑的成绩是5秒；
⑤同种电荷，相互排斥；
⑥通常情况下，高铁比普通列车快；
⑦用长为3 cm，5 cm，8 cm的三条线段围成三角形．
2．（2020·全国初一课时练习）我会连.（任意摸出一个球，可能是什么颜色？）

一定是白球 可能是白球 不可能是白球
3．（2019·江苏邳州·期中） ①四边形内角和是180°；②今年的五四青年节是晴天；③367人中有2人同月同日生．指出上述3个事件分别是什么事件？并按事件发生的可能性由大到小排列．
4．（2020·全国初二课时练习）九八班从三名男生（含小强）和五名女生中选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选n名．
（1）当n为何值时，男生小强参加是必然事件？
（2）当n为何值时，男生小强参加是不可能事件？
（3）当n为何值时，男生小强参加是随机事件？
5．（2020·全国初二课时练习）有个均匀的正十二面体的骰子，其中1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，2个面标有“4”，1个面标有“5”，其余面标有“6”，将这个骰子掷出后：
(1)掷出“6”朝上的可能性有多大？
(2)哪些数字朝上的可能性一样大？
(3)哪些数字朝上的可能性最大？
6．（2020·全国初二课时练习）判断下列事件的可能性是否相同，并简要说明理由：
(1)袋中装有3个红球和3个白球，除颜色外都相同，从中任取1个球，取到红球与白球的可能性；
(2)袋中放有5个红色的正方形木块和5个白色的三角形木块，若取木块的人事先知道哪种颜色是何种形状，问取到红色木块与取到白色木块的可能性；
(3)袋中放有5个红色正方形木块和5个白色三角形木块，若取木块的人事先不知道哪种形状是何种颜色，问取到红色木块与取到白色木块的可能性．
7．（2019·江苏南通第一初中初三期中）现有4个红球,请你设计摸球方案:
（1）使摸球事件是个不可能事件;
（2）使摸球事件是个必然事件.
8．（2019·全国初三）掷一枚六面标有1～6的均匀的正方体骰子，正面是大于4的可能性与小于4的可能性哪个大？为什么？
9．（2018·全国初三课时练习）在一个不透明的口袋中，装着10个大小和外形完全相同的小球，其中有5个红球，3个蓝球，2个黑球，把它们搅匀以后，请问：下列哪些事件是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是不确定事件．
（1）从口袋中任意取出一个球，它刚好是黑球．
（2）从口袋中一次取出3个球，它们恰好全是蓝球．
（3）从口袋中一次取出9个球，恰好红，蓝，黑三种颜色全齐．
（4）从口袋中一次取出6个球，它们恰好是1个红球，2个蓝球，3个黑球．
10．（2018·全国初三课时练习）一张写有密码的纸片被随意地埋在如图所示的矩形区域内，图中的四个正方形大小一样则纸片埋在几号区域的可能性最大?为什么?
考点3：由频率估计概率
典例：（2020·江苏秦淮初三月考）在一个不透明的袋子中有1个红球，2个白球和若干个黑球．小明将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回袋中并摇匀，在多次重复以上操作后，小明统计了摸到红球的频率，并绘制了如下折线统计图：
（1）袋子中一共有 个球；
（2）若从该袋中同时摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率．
方法或规律点拨
本题考查的是用频率来估计概率，同时考查画树状图或列表的方法求概率，掌握以上知识是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·深圳市高级中学初三期中）某次数学测验中，一道题满分3分，老师评分只给整数，即得分只能为0分，1分，2分，3分．李老师为了了解学生得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的试题进行了分析整理，并绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示．
解答下列问题：
（1）m= ，n= ，并补全条形统计图；
（2）在初三（1）班随机抽取一名学生的成绩，求抽中的成绩为得分众数的概率；
（3）根据右侧“小知识”，通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类难度的试题？
2．（2019·河北迁安�初三一模）小明对,,,四个中小型超市的女工人数进行了统计，并绘制了下面的统计图表，已知超市有女工20人.所有超市女工占比统计表
（1）超市共有员工多少人？超市有女工多少人？
（2）若从这些女工中随机选出一个，求正好是超市的概率；
（3）现在超市又招进男、女员工各1人，超市女工占比还是75%吗？甲同学认为是，乙同学认为不是.你认为谁说的对，并说明理由.
3．（2020·江苏泰州中考真题）一只不透明袋子中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到），由此估出红球有______个．
（2）现从该袋中摸出个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到个白球，个红球的概率．
4．（2020·广东禅城初一期末）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（4）班的数学学习小组做了摸球实验．他们]将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：
（1）请估计：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近 ；(精确到0.1)
（2）假如你去摸一次，则摸到红球的概率的估计值为 ；
（3）试估算盒子里红球的数量为 个，黑球的数量为 个
5．（2020·渠县崇德实验学校初一期末）在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据
(1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 (精确到0.1)．
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ．
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．
6．（2020·福建莆田初三其他）“五月杨梅已满林，初疑一颗值千金 ”，莆田杨梅核小，果味酸甜适中，既可直接食用，又可加工成杨梅干、酱、蜜饯等，还可酿酒， 止渴、生津、助消化等功能，深受当地老百姓喜爱．杨梅采摘当天食用口感最好，隔天食用口感较差，某水果超市计划六月份订购莆田杨梅，每天进货量相同，进货成本每斤4元，售价每斤6元，未售出的杨梅降价转卖给蜜饯加工厂，以每斤2元的价格当天全部处理完，根据往年销售经验，每天需求量与当天平均气温有关，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份日平均气温数据，如下表所示：
（1）以前三年六月份日平均气温为样本，估计今年六月份日平均气温不低于25℃的概率；
（2）该超市六月份莆田杨梅每天的进货量为x斤(300≤x≤500，试以“平均每天销售利润y元”为决策依据，说明当x为何值时，y取得最大值．
7．（2020·江苏泰州初三其他）在一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外均相同．
（1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球，经过大量重复该实验，发现摸到绿球的频率值稳定于，则n的值是 ；
（2）当n=2时，从该不透明的袋子中一次摸出两个球，求摸出的两个球颜色不同的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程)
考点4：简单概率计算
典例：（2020·辽宁丹东初一期末）现有除数字外完全相同的10张卡片，上面分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．小明和小亮两人合作完成一个游戏，规则是小明先随意抽取1张卡片，然后由小亮猜这张卡片上标的数，如果小亮猜对了，则小亮获胜，如果猜错了，则小明获胜．
（1）这个游戏对双方公平吗？
（2）下面这几个游戏规则，你认为对双方公平的是哪几个？（只写出序号即可）
①猜奇数还是偶数；②猜不是3的倍数：③猜是3的倍数；④猜大于5的数；⑤猜不大于5的数．
（3）如果你是小亮，为了获胜，你想选择上面（2）中的哪一个猜法？并说明理由．
方法或规律点拨
此题考查事件发生的可能性的大小，判断游戏是否公平，正确理解事件的意义，计算事件发生的概率进行比较是解题的关键.
巩固练习
1．（2020·北京怀柔初三零模）我区在2020年1月至4月组织了“怀柔区公益广告作品征集”活动，某校九（1）班班委会收到全班同学上传作品六十余份，评出一等奖6份准备参加校级评比，其中社会主义核心价值观类2份、中国梦类1份、志愿服务类2份、优秀传统文化类1份．学校分配给九（1）班参评作品指标为1份，班委会将一等奖6份作品打乱顺序编号为1，2……6号，从1，2……6号作品中抽取一份参赛恰好是社会主义核心价值观类作品的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·海南海口初三二模）箱子内装有53个白球和2个红球，小颖打算从箱子内抽球，以每次抽出一球后将球放回的方式抽53次．若箱子内每个球被抽到的机会相等，且前52次中抽到白球51次及红球1次，则第53次抽球时，小颖抽到红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·广东东莞可园中学初三二模）从这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是_____．
4．（2020·辽宁盘锦初三学业考试）小亮准备了红心2，红心3，红心4，黑桃2，黑桃3扑克牌各一张，将它们洗匀后，正面朝下放在桌子上，弟弟从中随机抽出一张，则他抽到红心牌的概率是_______．
5．（2020·黑龙江道里初三其他）在一个不透明的盒子中装有七张卡片，分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，这些卡片除数字不同外其余均相同．小明从盒子中随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上数字为3的倍数的概率是__________．
6．（2020·广东初三其他）不透明的袋子中装有2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，从中随机抽取1个小球，它是黑色的概率为_________________________．
定义
表示一个事件发生的可能性大小的数．
概率公式
P(A)＝(m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝.
事件类型
概率
确定性事件
1或0
必然事件
1
不可能事件
0
不确定性事件(随机事件)
0超市
女工人数占比
62.5%
62.5%
50%
75%
摸球的次数n
50
100
300
500
800
1000
2000
摸到红球的次数m
14
33
95
155
241
298
602
摸到红球的频率
0.28
0.33
0.317
0.31
0.301
0.298
0.301
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
日平均气温(°C)
t＜25
25≤t＜30
t≥30
天数(天)
18
36
36
杨梅每天需求量(斤)
200
300
500