初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转综合与测试学案

第14讲  旋转图形综合探究

考点一 轴对称与中心对称图形

1. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.

2. 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

3. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分 ．关于中心对称的两个图形是全等图形.

4. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号嫌烦，即点关于原点的对称点为.

考点二 以等边三角形为背景的旋转问题

举例： 如图，△BCM中，∠BMC＝120°，以BC为边向三角形外作等边△ABC，把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置.

举例：如图，已知△ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点

举例：已知：如图，P为等边三角形ABC内一点求相应的度数.

考点三 以等腰直角三角形或正方形为背景的旋转问题

举例：

举例：如图，在正方形ABCD中，∠EDF=45°

举例：如图，D为等腰直角三角形ABC的斜边BC上一点

【例1】如图1，已知等边△ABC，过点B作BG⊥AC于点G，D为AB上一点，ED∥BC交BG的延长线于点E.如图2，将△BDE绕点B顺时针旋转，取AE的中点M，连接DM，CM，试确定DM与CM的关系.

【解析】

DM⊥MC且MC＝DM.理由如下：

方法一：延长CM至点N，使MN＝MC，连接AN，DN，DC，NE，四边形ACEN为平行四边形，设AC交DE于点O，则∠DEN＝∠EOC，在四边形BDCO中∠BDO＝120°，∠BCO＝60°，故∠DOC＝360°－120°－60°－∠DBC＝180°－∠DBC，故∠DEN＝∠EOC＝∠DBC，又NE＝AC＝BC，BD＝DE.故△BDC≌△EDN.∴DN＝DC，∠NDC＝∠BDE＝120°.∵DM为NC边上的中线，得Rt△DMC，且∠DCM＝30°，故DM⊥MC，MC＝DM；

方法二：延长DM至点P，使MP＝MD，连接AD，PE，AP，DC，则四边形ADEP为平行四边形，同法一有∠PAC＝∠COE＝∠DBC，△ACP≌△BCD；DC＝PC.可得∠DCP＝60°，CM为等边△DCP的边DP的中线，DM⊥MC，MC＝DM；

方法三：延长ED至T，使DT＝DE，连接TA，TB，DC，证△BTA≌△BDC，DC＝TA＝2DM，设∠ATD＝∠MDE＝α，则∠BTA＝60°＋α＝∠BDC，∠MDC＝∠BDE－∠BDC＋∠MDE＝120°－(60°＋α)＋α＝60°，倍长DM至P，△DCP为等边三角形，得证.

【例2】在△ADC中，DA＝DC＝4，∠ADC＝120°.

（1）如图1，求AC的长；

（2）如图2，M为AC上一动点（M不与点A，C重合），将AM绕点A逆时针旋转60°得AN，连接NC，DM，Q为NC的中点，连接DQ.

①求证：DM＝2DQ；

②当点M在AC上运动时，直接写出AM＋4DQ的最小值为        .

【解析】

（1）AC＝4；

（2）①倍长CD至点H，则△AHD为等边三角形，可证△ANH≌△AMD，∴DM＝HN，又点D，点Q分别为CH，CN的中点，故2DQ＝HN＝DM；

②作∠BAC＝30'＝∠DAM.使AB＝AD＝4.连接BM，MN，BH，可证△AMD≌△ABM，BM＝DM＝HN＝2DQ.AM＝AN＝MN，故HN＋MN＋MB＝4DQ＋AM≥HB，在△AHB中，AH＝AB＝4.∠HAB＝120°，△AHB≌△DAC，HB＝AC＝4，故AM＋4DQ≥4，∴AM＋4DQ的最小值为4.

【例3】如图.在△ABC中，∠ACB＝30°.

（1）如图1，AB＝AC＝2，求BC的长；

（2）如图2，AB＝AC，点P是△ABC内一点，且PA＝2，PB＝，PC＝3.求∠APC的度数；

（3）如图3，点P为△ABC内一点，AC＝4，AB＝7（CB＞CA），求PA＋PB＋PC的最小值.

【解析】

（1）取BC的中点D，连接AD，∵AB＝AC＝2，∴AD⊥BC，DB＝DC.又∵∠C＝30°，∴在Rt△ADC中，AD＝AC＝1，BD＝DC＝，∴BC＝2；

（2）∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，把△ABP绕点A逆时针旋转120°，使点B落在C点处，点P落在Q点处，∴PA＝QA＝2，PB＝QC＝，又∵∠PAQ＝120°，∴PQ＝2，∴PQ2＋PC2＝QC2，∴∠QPC＝90°，又∵∠APQ＝30°，∴∠APC＝120°；

（3）.提示：把△BPC绕点C遂时针旋转60°得到△B′P′C，则∠ACB′＝90°，当A，P，P′，B′共线时，PA＋PB＋PC最小，由AC＝4，AB＝，∠C＝30°，可得BC＝3，则AB′＝.

针对练习

1.已知正方形ABCD与正方形CEFG，点M是AF的中点，连接DM，EM.

（1）如图1，点E在CD边上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，直接写出你的结论；

（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；

（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长.

解：

（1）DM⊥EM且DM＝EM，理由：延长EM交AD于点H，则△AMH≌△FME，∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM且DM＝EM；

（2）结论不变.DM⊥EM且DM＝EM.理由：延长EM交AD的延长线于点H，∵

四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMHS≌△FME，∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE.∵∠EDH＝90°，DM⊥EM，DM＝ME；

（3）过点M作MR⊥DE于点R，在Rt△CDE中，DE＝＝12，∵DM⊥EM，DM＝ME，MR⊥DE＝6，DR＝RE＝6，在Rt△FMR中，FM＝＝＝，如备用图2，过点M作MR⊥DE于R，在Rt△MRF中，MF＝＝，故MF的长为或.

2.在等腰直角△ABC和△DEC中，DE＝CE，AC＝AB，∠CED＝∠CAB＝90°.

（1）将ADCE绕点C旋转至如图1位置，N是BD中点，试探究EN与AN的关系并证明你的结论；

（2）如图2，M是CD的中点，求的值.

解：

（1）EN＝AN且EN⊥AN.理由如下：延长EN至点F.且使NF＝EN，连接FB，∴△DEN≌△BFN（SAS），∴DE＝BF＝CE，DE∥BF，连接AE，AF，延长CE交BF于点G，∵∠DEC＝90°，∴∠CGB＝90°.由八字型得，∠ACE＝∠ABF，∴△ACE ≌△ABF（SAS），∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，∵∠CAB＝90°，∴∠EAF＝90°，∴△AEF为等腰直角三角形，∵N为EF的中点，∴EN＝AN，EN⊥AN；

（2）将线段AM绕点A顺时针旋转90°至AG，连接MG，根据共顶点等腰三角形的旋转，得△ACM≌△ABG（SAS），∴BG＝MC.连接EM，∵M是CD的中点，∴ME＝CM＝BG，延长ME交BA的延长线于点H，∵∠EMC＝∠CAH＝90°，∴在四边形ACMH中，∠MHA＋∠MCA＝180.∵∠MCA＝∠ABG，∴∠MHA＋∠ABG＝180°，∴MH∥BG，又∵ME＝BG，∴四边MEBG为平行四边形，∴BE＝MG，∵△MAG为等腰直角三角形，∴＝，∴＝.

3.如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C，其中∠EDC＝120°，AB＝CE＝2，连接BE，P为BE的中点，连接PD，AD.

（1）为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系；

（2）如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，若∠ACD＝45°，求△PAD的面积.

解：（1）AD＝2PD；

（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：延长ED至点F，使DF＝ED，连接BF，CF，连接BF，CF，∵BP＝EP，∴DP是△BEF的中位线，∴BF＝2PD且BF//PD，∵∠EDC＝120°，∴∠FDC＝60°，∴△CDF是等边三角形，∵BC＝AC，∠BCF＝∠ACD，CF＝CD，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD，∴AD＝2PD；

（3）如图3，延长ED至点F，使DF＝DE，连接BF，CF，延长BF交AD于点G，由（2）得∠FBC＝∠DAC，∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∵DP∥GB，∴∠ADP＝∠AGB＝60°，在等腰△CDE中，∵CE＝2，∴CD＝2，过点D作DM⊥AC于点M，过点P作PN⊥AD于点N，∵∠ACD＝45°，∴CM＝DM＝2，AM＝2－2，在Rt△ADM中，AD2＝(2－2)2＋22＝32－8，PN＝PD＝AD，在△PAD中，S△PAD＝ADPN＝AD2＝4－3.