第24讲 相似与函数-讲义（学生版+教师版）2021-2022学年九年级数学人教版下册学案

第24讲  相似与函数

1．相似与二次函数

2．相似与反比例函数

【板块一】相似与二次函数

1．识别与构造A型，X型，K型相似模型，用坐标表示线段的长．

2．A（，），B（，）两点间距离公式AB＝，AB中点坐标为（，）

题型一 抛物线与X型相似

【例1】如图，抛物线的顶点为A，抛物线与y轴交于点C．B（3，1）在抛物线上，点P为抛物线在第一象限内一动点，过点P作PQ∥y轴，分别交直线BC与AC于点Q，M，过点M作MF∥PB，交直线CB于点F，求点F到直线PM的距离．

【解析】设点P（a，），可得A（2，0），C（0，4），直线BC解析式为y＝－x＋4，直线AC的解析式为y＝－2x＋4，∴Q（a，－a＋4），M（a，－2a＋4），PQ＝a2－3a，QM＝a，过点B作BE⊥PM，过点F作FH⊥PM，垂足分别为点E，H，FM∥BP，△BPQ∽△FMQ，∴，又BE＝，∴HF＝1，故点F到直线PM的距离为1．

题型二 抛物线与K型相似

【例2】已知抛物线与x轴的交点为A（1，0），与y轴交于点C，点D为抛物线上一点，∠ACD＝60°，求点D的横坐标．

【解析】过点A作ABAC交CD的延长线于点B，过点B作BEx轴，垂足为点E，A（1，0），C（0，），则OA＝1，OC＝，易证△OAC∽△EBA．∴．

∴BE＝OA＝，AE＝，∴B（10，）．直线CB解析式为y＝．该直线与抛物线y＝，联立得：，x＝0或，∴，故D点横坐标为

题型三 抛物线与A型相似

【例3】如图，抛物线y＝过点A（－2，y1），C（4，y2），直线l：y＝－2x－2过点A

（1）求抛物线的解析式；

（2）点B是线段AC上的动点，若过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D，过点E作DC的平行线EF与直线AC相交于点F，求BF的长．

【解析】（1）；

（2）C（4，8），直线AC的解析式为y＝x＋4，设B（m，m＋4），E（m，－2m－2），D（m，），BD＝，BE＝m＋4－（－2m－2）＝3（m＋2），BC＝．DC∥EF，∴，，代入化简得BF＝

针对练习

1．如图，直线与抛物线交于A，B两点（A在B点左侧），过点B的直线y＝2x－4与y轴交于点D，P为射线BD上的一动点，PN∥y轴，交抛物线于点N，交直线AB于点Q，PM∥AN交直线AB于点M，求MQ的长．

解：设P（a，2a－4），Q（a，），N（a，），y＝与y＝联立得，x＝4或－2，∴A（－2，1），∵AN∥MP，∴，∴，

又PQ＝，QN＝，AQ＝，

∴MQ＝

2．如图，抛物线与y轴交于点C，直线与抛物线在第一象限的交点为T，M为CT之间的抛物线上的一动点，ME⊥x轴，MF⊥OT（O为坐标原点），垂足分别为E，F，求ME＋MF的最大值．

解：设ME交OT于点G，过点T作TA⊥x轴于点A，易得C（0，），y＝与y＝－＋联立得，x＝或2，∴T（2，），OA＝2，OA＝2，OT＝

设M（t，），G（t，），则MG＝，易证△MFG∽△OAT，

∴，MF＝＝，∴ME＋MF的最大值

3．如图，直线y＝m与抛物线相交于P，Q两点．M为抛物线上位于点Q上方的一动点，N为抛物线上P，Q两点间的一点，∠MPQ＝∠NPQ，过点Q作y轴的平行线交M于点S．求证：MS＝NS．

解：分别过点M，N作直线y＝m的垂线，垂足分别为F，E，设M（a，），N（b，），

P（－t，），Q（t，），易证△PMF∽△PNE，得，，

，化简得a－t＝t－b，即QF＝QE，易证NE∥QS∥MF，∴，∴MS＝NS

【板块二】相似与反比例函数

1．作垂线构造三角形相似转化线段的比值．

2．通过线段的长度与坐标之间的关系，实现数和形的转化．

题型一  求动点横纵坐标之间的函数关系式

【例1】如图，已知A是反比例函数y＝的图象在第一象限上的动点，连接AO并延长交第三象限分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限，已知点C的位置始终在某一函数图象上运动，求这个函数的解析式．

【解析】设B(a，b)，C(x，y)，过B，C两点作x轴的垂线，垂足分别为点E，F．连接OC，则OE＝－a，BE＝－b，ab＝2，OF＝x，CF＝－y．易证OC⊥OB．△OBE∽△COF．∴ OF＝BE，CF＝OE．x＝－b，－y＝－a，－xy＝3ab＝6，∴y＝－(x ＞0)．

题型二  反比例函数与比例线段

【例2】如图，在平面直角坐标系xoy中，反比例函数y＝的图象经过点A(6，1)．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)过点A的直线与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，与y轴交于点P．若AP＝3PB，求点B的坐标．

【解析】(1)；

(2)当点P在y轴正半轴上时，则点B在第一象限．过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点M，N．则AM＝6，OM＝1，易证△P1AM∽△P1B1N1．∴，∴，∴点B1的横坐标为2．x＝2时，y＝＝3．∴B1(2，3)；当点P在y轴负半轴上时，点B在第三象限，同理可得B2(－2，－3)．故点B的坐标为(2，3)或(－2，－3)．

题型三  反比例函数与特殊几何图形

【例3】如图，在平面直角坐标系xoy中，B(0，4)，C(2，0)，点D在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，且CD＝，∠BCD＝90°，以BC为边作□BCEF，其中点F在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点E在x轴上，求点E的横坐标．

【解析】过点D作DH⊥x轴，垂足为点H．OB＝4，OC＝2，BC＝2．易证△BOC∽△CHD，∴．∴CH＝2．DH＝1．∴D(4，1)．∵点D在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∴k＝4，y＝．y＝4代入得x＝1．∴F(1，4)，BF＝1．∴在□BCEF中，CE＝BF＝1，OE＝3．故点E的横坐标为3．

题型四  反比例函数与位置关系

【例4】如图，过点P(－4，3)作x轴，y轴的垂线，分别交x轴，y轴于A，B两点，交双曲线y＝(k＞0)于E，F两点．

(1)点E的坐标是     ，点F的坐标是     (均用含k的式子表示)；

(2)判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论．

【解析】(1)E(－4，－)，F(，3)；

(2)结论EF∥AB，∵，，∴，∵∠P＝∠P，∴△ABP∽△EFP，∴∠PAB＝∠PEF，∴EF∥AB．

题型五  直线与反比例函数关系中k的几何意义

【例5】如图，已知直线y＝－x＋m与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于A，B两点(点A在点B的左侧)，分别与x，y轴交于点C，D，AE⊥x轴于点E．若OE·CE＝12，求k的值．

【解析】∵直线y＝－x＋m与x轴交于点C，与y轴交于点D，∴D(0，m)，C(2m，0)．∴OC＝2m，OD＝m，∵AE∥OD．∴，∴,设点A(a，b)，则AE＝b，OE＝a，EC＝2b，∵OE·EC＝12，∴2ab＝12，∴ab＝6，∴k＝ab＝6．

针对练习2

1．如图，一次函数y＝－x＋2的图象与反比例函数y＝的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C．若AC＝2BC，求m的值．

解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．∴△ACD∽△BCE．∴，∴AD＝2BE．设B点纵坐标为－n，则A点纵坐标为2n．∵直线AB的解析式为y＝－x＋2，∴A(3－3n，2n)，B(3＋n，－n)，∵反比例函数y＝的图象经过A，B两点，∴(3－3n)·2n＝(3＋n)·(－n)，解得n＝2或n＝0(舍去)，∴m＝(3－3n)·2n＝－3×4＝－12．

2．如图，A，B为反比例函数y1＝的图象上两点，连接AB，线段AB经过原点O，C是反比例函数y2＝(k＜0)，在第二象限内的图象上一点，当△CAB是以AB为底的等腰三角形，且时，求k的值．

解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F．连接OC．∵CA：AB＝5：8．AO＝OB．∴CA：OA＝5：4．∴CO：OA＝3：4，易证△CFO∽△OEA，∴，∵S△AOE＝2,可得S△COF＝，∴k＝－．

3．如图，直线y＝k1x＋b1如与反比例函数y＝在第一象限的一支交于A，B两点，A在B的左边，若A(1，3)，第三象限的双曲线上有一点C，连接AC，BC，设直线BC解析式为y＝kx＋6，当AC⊥AB时，求证：k为定值．

解：过点A作直线l∥x轴，过C点作CM⊥l于M点，过B点作BN⊥l于N点，易证△AMC∽△BNA．∴AM·AN＝CM·BN，设C(x1，y1)，B(x2，y2)，∴(1－x1)(x2－1)＝(3－y1)(3－y2)＝(3－)(3－),∴x1x2＝－9，联立y＝kx＋b与y＝．∴＝kx＋b，kx2＋bx－3＝0，x1x2＝－＝－9，∴k＝．

4．如图，已知点A是反比例函数y＝的图象在第一象限上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC使点C落在第二象限，且边BC交x轴于点D，若△ACD与△ABD的面积之比为1：2，求点C的坐标．

解：过点C作CM⊥OD于点M，过点A作AE⊥OD于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接CO．

易得DF∥CO，∴，∴，，易得DF＝BF＝2FO，

易证△DFO∽△AEO．∴，∴AE＝2OE，

∵点A是反比例函数y＝的图象在第一象限上的动点，

∴AE·OE＝2，∴AE＝2，OE＝1易证△COM∽△OAE，

∴＝，∴CM＝，MO＝6，∵点C在第二象限．∴C(－6，)．