2021届陕西省西安市长安区第一中学高三下学期第七次质量检测数学（理）试题（含解析）

2021届陕西省西安市长安区第一中学高三下学期第七次质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分别解绝对值不等式与分式不等式求得集合A,B,再求得，及．

【详解】由题意得，

，

∴，∴．故选C．

【点睛】集合与集合运算，一般先化简集合到最简形式，如果两个集合都是连续型数集，则常利用数轴求集合运算结果，如果是离散型集合运算常运用枚举法或韦恩图．

2．设，则“”是“直线与平行”的（    ）

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

【答案】C

【分析】由直线与平行，可得且，解出即可判断出．

【详解】解：直线与平行，

则且，解得，

因此“”是“直线与”平行的充要条件.

故选：C.

3．“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘加，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到，得到即终止运算，已知正整数经过次运算后得到，则的值为（）

A．或 B．或 C． D．或或

【答案】A

【分析】设经过第次运算后变为，可知，，，，，经过逆向运算，逐步推导可依次得出、、、，并对分奇数和偶数两种情况分类讨论，进而可求得的值.

【详解】设经过第次运算后变为，可知，，，，

，则，，

若为奇数，则，得，不合乎题意，所以，为偶数，且.

若为奇数，则，得，不合乎题意；

若为偶数，则.

若为奇数，则，可得；

若为偶数，则.

综上所述，或.

故选：A.

【点睛】本题考查数列递推公式的应用，考查了分类讨论思想的应用，利用逆向思维逐项推导是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

4．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中下列判断错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意还原正方体，结合正方体的结构特征和异面直线的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】根据题意，还原正方体，如图所示，

连接，可得，又由，所以，所以A正确；

由正方体的结构特征，可知，所以B正确；

因为,为在平面上的射影，所以，所以C正确；

根据正方体的结构特征和异面直线的定义，可得与是异面直线，所以D错误.

故选：D.

5．若实数满足，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用特值法，设，可求得的值，即可得到选项.

【详解】设，则，，，，可排除ABD，

故选：C.

6．设向量与的夹角为θ，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，，求得，同时可知，；结合向量求夹角的坐标公式可求得，进而求得.

【详解】设，则

，解得：，即，

，,所以．

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题考查了向量数量积的坐标运算，熟记向量求夹角公式的坐标运算是解题的关键，考查学生的运算能力，属于一般题.

7．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于年､年间提出，据考证，我国至迟在世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则，在的二项式展开式中，的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】写出二项式展开式的通项，令的指数位置等于即可求解.

【详解】展开式的通项为，

令，解得，

所以二项式展开式中，的系数为，

故选：D.

8．两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被整除的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，列举出所有的可能性，从而得到数字之积能被整除的概率.

【详解】由题意可得，同时掷两枚骰子，所得的结果是：

，

，

，

共36种情况，所得结果之积为：,  ,  , ,  , 

所得之积能被整除的概率

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用列表法求古典概率，解题的关键是明确题意，列出相应的表格，计算出相应的概率.

9．已知，，圆：上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据，求得点的轨迹是圆，然后由两圆相切求解.

【详解】设，因为，

所以 ，

整理得 ，

所以满足点的轨迹是以 为圆心，以2为半径的圆，

由题意可得，当两圆相切即可，

当两圆相外切时， ，解得 ，

当两圆相内切时，，解得 ，

故选：A

10．设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用双曲线的定义结合已知条件可得出，可求得，再由公式可求得双曲线的离心率的值.

【详解】由双曲线的定义得，又，

，即，

因此，即，则，

解得，（舍去），

因此，该双曲线的离心率为.

故选：B.

【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键就是利用双曲线的定义建立、所满足的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.

11．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

①函数的图象关于直线对称；

②函数的图象关于点对称；

③函数在区间上单调递增；

④函数在区间上有两个零点.

A．②③④ B．①③④

C．①②④ D．①②③

【答案】B

【分析】由三角函数平移变换可得解析式，采用代入检验法，将选项中的对称轴、对称中心、所给区间代入，对应正弦函数图象可验证得到正误.

【详解】，

对于①，当时，，关于直线对称，①正确；

对于②，当时，，不关于点对称，②错误；

对于③，当时，，

在上单调递增，③正确；

对于④，当时，，

则当和时，，

即在区间上有两个零点和，④正确.

故选：B.

【点睛】方法点睛：判断是否为正弦型函数的对称轴、对称中心、单调区间和零点时，通常采用代入检验的方式，即将的取值代入，整体对应的对称轴、对称中心、单调区间和零点，由此验证得到结果.

12．已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】不等式为()，

当时，()式即为，，

又（时取等号），

（时取等号），

所以，

当时，()式为，，

又（当时取等号），

（当时取等号），

所以，

综上．故选A．

【解析】不等式、恒成立问题

【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.

二、填空题

13．已知实数，满足约束条件，令，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】先根据不等式组作出可行域，再由目标函数的几何意义是可行域的点与定点的距离的平方与6的差，可求得所求的范围.

【详解】根据不等式组作出可行域如下图所示，由解得点，

而表示可行域的点与定点的距离的平方与6的差，从下图得：

当以点为圆心的圆与线段AB相切时，z取得最小值，

当以点为圆心的圆过点时，z取得最大值，

所以的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

14．某奶茶包装可以近似为一个圆台，其上下底面圆周都在一个直径为的球面上，上下底面半径分别为，，则此容器可容纳___________的奶茶.

【答案】

【分析】根据球的直径为，和上下底面半径分别为，，得到下底面为球的大圆，再求得圆台的高，代入公式求解.

【详解】圆台的轴截面，如图所示：

因为球的直径为，上下底面半径分别为，，

所以下底面为球的大圆，所以O为球心，

因为，

所以，

所以，

，

故答案：.

15．数列中，，，，且为等比数列，则数列的前2021项和___________.(只需写出表达式)

【答案】或

【分析】令，根据为等比数列，求出通项公式，由利用等比数列的求和公式计算即可得解.

【详解】，，， 为等比数列，

令，则，

公比，

.

故答案为：或

三、双空题

16．已知复数，其中为虚数单位，则___________，的共轭复数的虚部为___________.

【答案】       

【分析】利用复数的乘法可求得，利用可化简，进而可得出复数的共轭复数的虚部.

【详解】，则，

所以，

所以，所以，的共轭复数为，

即的共轭复数的虚部为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数，若的图象上相邻最近的一条对称轴和一个对称中心之间的距离为，图像过点.

（1）求的表达式和的递增区间；

（2）若为的最大内角，，，求周长的最大值.

【答案】（1），递增区间为；（2）.

【分析】（1）利用辅助角公式化简得到，根据最小正周期和可求得解析式；令，解出的范围即为所求的递增区间；

（2）由可求得，可利用正弦定理将化为角的形式，利用三角函数值域来求解，或利用余弦定理构造方程，利用基本不等式求得结果.

【详解】（1），

图象上相邻最近的一条对称轴和一个对称中心之间的距离为，，

解得：，

图象过点，，解得：，

；

令，解得：，

的递增区间为.

（2）由得：，

为的最大内角，，，

，解得：.

方法一：，，

由正弦定理得：，，

的周长为，

，

，，

当，即时，的周长取得最大值，最大值为.

方法二：，即，，

由余弦定理可得：，即，

（当且仅当时取等号），

，当时，取得最大值，最大值为.

【点睛】方法点睛：求解三角形周长和面积最大值通常有两种方法：

①利用正弦定理边化角，将周长或面积转化为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解；

②利用余弦定理构造方程，结合基本不等式求得最大值；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件.

18．如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）线段上是否存在点使得⊥平面，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）见解析.

【详解】试题分析：（1）证线面平行，则要在平面找一线与之平行即可，显然分析即得证，（2）求二面角可借助空间直角坐标系将两个平面的法向量一一求出，再根据向量的数量积公式便可求解（3）存在问题可以根据结论反推即可，容易得因为，所以与不垂直，故不存在

试题解析：

（Ⅰ）因为，且，，所以，

所以.

因为为正三角形，所以，

又由已知可知为平面四边形，所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）由点在平面上的射影为可得平面，

所以，.

以分别为建立空间直角坐标系，则由已知可知，，，.

平面的法向量，

设为平面的一个法向量，则

由可得

令，则，所以平面的一个法向量，

所以，

所以二面角的余弦值为.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，，

因为，

所以与不垂直，

所以在线段上不存在点使得⊥平面.

点睛：对于立体几何问题，首先要明确线面平行，线面垂直，以及二面角的定义和判定定理，而对于二面角问题我们通常首选建立坐标系用向量来解题，但在写坐标时要求其注意坐标的准确性

19．某地区年至年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如表：

（1）若关于的线性回归方程为，根据图中数据求出实数并预测年该地区农村居民家庭人均纯收入；

（2）在年至年中随机选取三年，用表示三年中人均纯收入高于千元的个数，求的分布列和.

【答案】（1），年该地区农村居民家庭人均纯收入为千元；（2）分布列见解析，数学期望为.

【分析】（1）计算、的值，将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，再将代入回归直线方程可得结果；

（2）由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得随机变量的数学期望.

【详解】（1）由题意，，

由得，所以回归直线方程为，

当时，（千元），即年该地区农村居民家庭人均纯收入为千元.

（2）这七年中人均纯收入高于千元的有四年，所以的取值为、、、，

，，

，.

则的分布列：

因此，.

【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：

（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；

（2）求出每一个随机变量取值的概率；

（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.

20．在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线上存在点，且过点的椭圆的两条切线相互垂直，求实数的取值范围．

【答案】(1) (2)

【分析】（1）根据离心率为的椭圆过点，结合性质  ，列出关于 、 、的方程组，求出 、即可得结果；（2）设切线方程为，代入椭圆方程得，则，化为，利用直线与圆有公共点，即可得结果.

【详解】（1）由题意，解得，又，解得

所以椭圆C的标准方程为．

（2）①当过点的椭圆的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于轴，易得

②当过点的椭圆的切线的斜率均存在时，设

切线方程为，

代入椭圆方程得，

，

化简得：，

由此得，

设过点的椭圆的切线的斜率分别为，所以．

因为两条切线相互垂直，所以，即，

由①②知在圆上，又点在直线上，

所以直线与圆有公共点，

所以，所以．

综上所述，的取值范围为．

【点睛】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.

21．已知函数，其导函数的最大值为.

（1）求实数的值；

（2）若，证明：.

【答案】（1）；（2）见解析

【分析】（1）先对求导，然后根据导数形式对进行分类讨论，通过导函数最大值为0，求得的值.

（2）要证，则需证，再利用的单调性，证，利用条件把换掉，构造函数

证明，对求导，研究其单调性和极值，得到结论.

【详解】（1）由题意，函数的定义域为，其导函数

记则.

当时，恒成立，所以在上单调递增，且.

所以，有，故时不成立；

当时，若，则；若，则.

所以在单调递增，在单调递减．

所以.

令，则.

当时，；当时，.所以在的单减，在单增.

所以，故.

（2）当时，，则.

由（1）知恒成立，

所以在上单调递减，

且，

不妨设，则，

欲证，只需证，因为在上单调递减，

则只需证，又因为，

则只需证，即.

令（其中），且.

所以欲证，只需证，

由，

整理得：，

，

所以在区间上单调递增，

所以，，

所以函数在区间上单调递减，

所以有，，故.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，涉及分类讨论的数学思想，构造函数解决极值点偏移问题，题目较综合，属于难题.

22．在直角坐标系xoy中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若点P，Q分别是曲线，上的点，求的最小值．

【答案】(1) (2)

【分析】(1)消掉参数得到曲线的普通方程，利用极坐标化直角坐标的公式化简即可得到曲线的直角坐标方程；

(2)利用曲线的参数方程设出点P的坐标，求出点P到直线的距离，即可得到的最小值．

【详解】解：（1）∵，∴

又∴，即

∴

（2）设，则P到直线的距离

当时，

∴

【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化以及极坐标化直角坐标方程，属于中档题.

23．设a＞0，b＞0，且a+b＝ab．

（1）若不等式|x|+|x﹣2|≤a+b恒成立，求实数x的取值范围．

（2）是否存在实数a，b，使得4a+b＝8？并说明理由．

【答案】（1）；（2）见解析

【分析】（1）先求的最小值，然后对绝对值不等式进行分类讨论，得到的取值范围.

（2）求出的最小值，然后进行判断

【详解】由，得 ，当且仅当时成立.

不等式即为.

当时，不等式为，此时；

当时，不等式成立，此时；

当时，不等式为，此时；

综上，实数的取值范围是.

由于.

则 .

当且仅当，即时，取得最小值.

所以不存在实数，使得成立.

【点睛】本题考查基本不等式，绝对值不等式通过分类讨论进行求解，难度不大，属于简单题.